Giải tích Ví dụ

$\sqrt{1 - t^{2}}$

Bước 1

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt{1 - t^{2}}$ ở dạng ${(1 - t^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d t} [{(1 - t^{2})}^{\frac{1}{2}}]$

Bước 2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ là $f' (g (t)) g' (t)$ trong đó $f (t) = t^{\frac{1}{2}}$ và $g (t) = 1 - t^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u$ ở dạng $1 - t^{2}$ .

$\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d t} [1 - t^{2}]$

Bước 2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ là $n u^{n - 1}$ trong đó $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d t} [1 - t^{2}]$

Bước 2.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $1 - t^{2}$ .

$\frac{1}{2} {(1 - t^{2})}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d t} [1 - t^{2}]$

Bước 3

Để viết $- 1$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(1 - t^{2})}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d t} [1 - t^{2}]$

Bước 4

Kết hợp $- 1$ và $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(1 - t^{2})}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d t} [1 - t^{2}]$

Bước 5

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{1}{2} {(1 - t^{2})}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d t} [1 - t^{2}]$

Bước 6

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Nhân $- 1$ với $2$ .

$\frac{1}{2} {(1 - t^{2})}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d t} [1 - t^{2}]$

Bước 6.2

Trừ $2$ khỏi $1$ .

$\frac{1}{2} {(1 - t^{2})}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d t} [1 - t^{2}]$

Bước 7

Kết hợp các phân số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$\frac{1}{2} {(1 - t^{2})}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [1 - t^{2}]$

Bước 7.2

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và ${(1 - t^{2})}^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{{(1 - t^{2})}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d t} [1 - t^{2}]$

Bước 7.3

Di chuyển ${(1 - t^{2})}^{- \frac{1}{2}}$ sang mẫu số bằng quy tắc số mũ âm $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{2 {(1 - t^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d t} [1 - t^{2}]$

Bước 8

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $1 - t^{2}$ đối với $t$ là $\frac{d}{d t} [1] + \frac{d}{d t} [- t^{2}]$ .

$\frac{1}{2 {(1 - t^{2})}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d t} [1] + \frac{d}{d t} [- t^{2}])$

Bước 9

Vì $1$ là hằng số đối với $t$ , đạo hàm của $1$ đối với $t$ là $0$ .

$\frac{1}{2 {(1 - t^{2})}^{\frac{1}{2}}} (0 + \frac{d}{d t} [- t^{2}])$

Bước 10

Cộng $0$ và $\frac{d}{d t} [- t^{2}]$ .

$\frac{1}{2 {(1 - t^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d t} [- t^{2}]$

Bước 11

Vì $- 1$ không đổi đối với $t$ , nên đạo hàm của $- t^{2}$ đối với $t$ là $- \frac{d}{d t} [t^{2}]$ .

$\frac{1}{2 {(1 - t^{2})}^{\frac{1}{2}}} (- \frac{d}{d t} [t^{2}])$

Bước 12

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ là $n t^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$\frac{1}{2 {(1 - t^{2})}^{\frac{1}{2}}} (- (2 t))$

Bước 13

Rút gọn các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 13.1

Nhân $2$ với $- 1$ .

$\frac{1}{2 {(1 - t^{2})}^{\frac{1}{2}}} (- 2 t)$

Bước 13.2

Kết hợp $- 2$ và $\frac{1}{2 {(1 - t^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{- 2}{2 {(1 - t^{2})}^{\frac{1}{2}}} t$

Bước 13.3

Kết hợp $\frac{- 2}{2 {(1 - t^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ và $t$ .

$\frac{- 2 t}{2 {(1 - t^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Bước 13.4

Đưa $2$ ra ngoài $- 2 t$ .

$\frac{2 (- t)}{2 {(1 - t^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Bước 14

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 14.1

Đưa $2$ ra ngoài $2 {(1 - t^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{2 (- t)}{2 ({(1 - t^{2})}^{\frac{1}{2}})}$

Bước 14.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{2 (- t)}{2 {(1 - t^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Bước 14.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{- t}{{(1 - t^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Bước 15

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$- \frac{t}{{(1 - t^{2})}^{\frac{1}{2}}}$