Giải tích Ví dụ

Ước Tính Bằng Cách Sử Dụng Quy Tắc L''Hôpital giới hạn khi x tiến dần đến infinity của (e^(3x)+5)^(2/x)
Bước 1
Sử dụng các tính chất của logarit để rút gọn giới hạn.
Nhấp để xem thêm các bước...
Bước 1.1
Viết lại ở dạng .
Bước 1.2
Khai triển bằng cách di chuyển ra bên ngoài lôgarit.
Bước 2
Tính giới hạn.
Nhấp để xem thêm các bước...
Bước 2.1
Đưa giới hạn vào trong số mũ.
Bước 2.2
Kết hợp .
Bước 2.3
Chuyển số hạng ra bên ngoài giới hạn vì nó là đại lượng không đổi đối với .
Bước 3
Áp dụng quy tắc l'Hôpital
Nhấp để xem thêm các bước...
Bước 3.1
Tính giới hạn của tử số và giới hạn của mẫu số.
Nhấp để xem thêm các bước...
Bước 3.1.1
Lấy giới hạn của tử số và giới hạn của mẫu số.
Bước 3.1.2
Vì logarit tiến dần đến vô cực, nên giá trị tiến đến .
Bước 3.1.3
Giới hạn ở vô cực của một đa thức có hệ số của số hạng cao nhất dương là vô cực.
Bước 3.1.4
Vô cùng chia cho vô cùng là không xác định.
Không xác định
Bước 3.2
ở dạng không xác định, nên ta áp dụng quy tắc L'Hôpital. Quy tắc L'Hôpital khẳng định rằng giới hạn của một thương của các hàm số bằng giới hạn của thương của các đạo hàm của chúng.
Bước 3.3
Tìm đạo hàm của tử số và mẫu số.
Nhấp để xem thêm các bước...
Bước 3.3.1
Tính đạo hàm tử số và mẫu số.
Bước 3.3.2
Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng trong đó .
Nhấp để xem thêm các bước...
Bước 3.3.2.1
Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập ở dạng .
Bước 3.3.2.2
Đạo hàm của đối với .
Bước 3.3.2.3
Thay thế tất cả các lần xuất hiện của với .
Bước 3.3.3
Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của đối với .
Bước 3.3.4
Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng trong đó .
Nhấp để xem thêm các bước...
Bước 3.3.4.1
Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập ở dạng .
Bước 3.3.4.2
Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc mũ, quy tắc nói rằng trong đó =.
Bước 3.3.4.3
Thay thế tất cả các lần xuất hiện của với .
Bước 3.3.5
không đổi đối với , nên đạo hàm của đối với .
Bước 3.3.6
Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng trong đó .
Bước 3.3.7
Nhân với .
Bước 3.3.8
Di chuyển sang phía bên trái của .
Bước 3.3.9
là hằng số đối với , đạo hàm của đối với .
Bước 3.3.10
Cộng .
Bước 3.3.11
Kết hợp .
Bước 3.3.12
Kết hợp .
Bước 3.3.13
Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng trong đó .
Bước 3.4
Nhân tử số với nghịch đảo của mẫu số.
Bước 3.5
Nhân với .
Bước 4
Chuyển số hạng ra bên ngoài giới hạn vì nó là đại lượng không đổi đối với .
Bước 5
Áp dụng quy tắc l'Hôpital
Nhấp để xem thêm các bước...
Bước 5.1
Tính giới hạn của tử số và giới hạn của mẫu số.
Nhấp để xem thêm các bước...
Bước 5.1.1
Lấy giới hạn của tử số và giới hạn của mẫu số.
Bước 5.1.2
Vì số mũ tiến dần đến , nên số lượng tiến dần đến .
Bước 5.1.3
Tính giới hạn của mẫu số.
Nhấp để xem thêm các bước...
Bước 5.1.3.1
Tách giới hạn bằng quy tắc tổng của giới hạn trên giới hạn khi tiến dần đến .
Bước 5.1.3.2
Vì số mũ tiến dần đến , nên số lượng tiến dần đến .
Bước 5.1.3.3
Tính giới hạn của mà không đổi khi tiến dần đến .
Bước 5.1.3.4
Vô cùng cộng hoặc trừ một số là vô cùng.
Bước 5.1.3.5
Vô cùng chia cho vô cùng là không xác định.
Không xác định
Bước 5.1.4
Vô cùng chia cho vô cùng là không xác định.
Không xác định
Bước 5.2
ở dạng không xác định, nên ta áp dụng quy tắc L'Hôpital. Quy tắc L'Hôpital khẳng định rằng giới hạn của một thương của các hàm số bằng giới hạn của thương của các đạo hàm của chúng.
Bước 5.3
Tìm đạo hàm của tử số và mẫu số.
Nhấp để xem thêm các bước...
Bước 5.3.1
Tính đạo hàm tử số và mẫu số.
Bước 5.3.2
Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng trong đó .
Nhấp để xem thêm các bước...
Bước 5.3.2.1
Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập ở dạng .
Bước 5.3.2.2
Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc mũ, quy tắc nói rằng trong đó =.
Bước 5.3.2.3
Thay thế tất cả các lần xuất hiện của với .
Bước 5.3.3
không đổi đối với , nên đạo hàm của đối với .
Bước 5.3.4
Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng trong đó .
Bước 5.3.5
Nhân với .
Bước 5.3.6
Di chuyển sang phía bên trái của .
Bước 5.3.7
Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của đối với .
Bước 5.3.8
Tính .
Nhấp để xem thêm các bước...
Bước 5.3.8.1
Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng trong đó .
Nhấp để xem thêm các bước...
Bước 5.3.8.1.1
Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập ở dạng .
Bước 5.3.8.1.2
Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc mũ, quy tắc nói rằng trong đó =.
Bước 5.3.8.1.3
Thay thế tất cả các lần xuất hiện của với .
Bước 5.3.8.2
không đổi đối với , nên đạo hàm của đối với .
Bước 5.3.8.3
Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng trong đó .
Bước 5.3.8.4
Nhân với .
Bước 5.3.8.5
Di chuyển sang phía bên trái của .
Bước 5.3.9
là hằng số đối với , đạo hàm của đối với .
Bước 5.3.10
Cộng .
Bước 5.4
Rút gọn.
Nhấp để xem thêm các bước...
Bước 5.4.1
Triệt tiêu thừa số chung .
Nhấp để xem thêm các bước...
Bước 5.4.1.1
Triệt tiêu thừa số chung.
Bước 5.4.1.2
Viết lại biểu thức.
Bước 5.4.2
Triệt tiêu thừa số chung .
Nhấp để xem thêm các bước...
Bước 5.4.2.1
Triệt tiêu thừa số chung.
Bước 5.4.2.2
Viết lại biểu thức.
Bước 6
Tính giới hạn của mà không đổi khi tiến dần đến .
Bước 7
Nhân .
Nhấp để xem thêm các bước...
Bước 7.1
Nhân với .
Bước 7.2
Nhân với .