Giải tích Ví dụ

$\int x \sqrt{1 - x^{4}} d x$

Bước 1

Giả sử $u_{1} = x^{2}$ . Sau đó $d u_{1} = 2 x d x$ , nên $\frac{1}{2} d u_{1} = x d x$ . Viết lại bằng $u_{1}$ và $d$ $u_{1}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Hãy đặt $u_{1} = x^{2}$ . Tìm $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1

Tính đạo hàm $x^{2}$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}]$

Bước 1.1.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$2 x$

Bước 1.2

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u_{1}$ và $d u_{1}$ .

$\int \sqrt{1 - {\sqrt{u_{1}}}^{4}} \frac{1}{2} d u_{1}$

Bước 2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Viết lại ${\sqrt{u_{1}}}^{4}$ ở dạng ${u_{1}}^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.1

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt{u_{1}}$ ở dạng ${u_{1}}^{\frac{1}{2}}$ .

$\int \sqrt{1 - {({u_{1}}^{\frac{1}{2}})}^{4}} \frac{1}{2} d u_{1}$

Bước 2.1.2

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int \sqrt{1 - {u_{1}}^{\frac{1}{2} \cdot 4}} \frac{1}{2} d u_{1}$

Bước 2.1.3

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $4$ .

$\int \sqrt{1 - {u_{1}}^{\frac{4}{2}}} \frac{1}{2} d u_{1}$

Bước 2.1.4

Triệt tiêu thừa số chung của $4$ và $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.4.1

Đưa $2$ ra ngoài $4$ .

$\int \sqrt{1 - {u_{1}}^{\frac{2 \cdot 2}{2}}} \frac{1}{2} d u_{1}$

Bước 2.1.4.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.4.2.1

Đưa $2$ ra ngoài $2$ .

$\int \sqrt{1 - {u_{1}}^{\frac{2 \cdot 2}{2 (1)}}} \frac{1}{2} d u_{1}$

Bước 2.1.4.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\int \sqrt{1 - {u_{1}}^{\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1}}} \frac{1}{2} d u_{1}$

Bước 2.1.4.2.3

Viết lại biểu thức.

$\int \sqrt{1 - {u_{1}}^{\frac{2}{1}}} \frac{1}{2} d u_{1}$

Bước 2.1.4.2.4

Chia $2$ cho $1$ .

$\int \sqrt{1 - {u_{1}}^{2}} \frac{1}{2} d u_{1}$

Bước 2.2

Kết hợp $\sqrt{1 - {u_{1}}^{2}}$ và $\frac{1}{2}$ .

$\int \frac{\sqrt{1 - {u_{1}}^{2}}}{2} d u_{1}$

Bước 3

Vì $\frac{1}{2}$ không đổi đối với $u_{1}$ , hãy di chuyển $\frac{1}{2}$ ra khỏi tích phân.

$\frac{1}{2} \int \sqrt{1 - {u_{1}}^{2}} d u_{1}$

Bước 4

Giả sử $u_{1} = \sin (t)$ , trong đó $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ . Sau đó $d u_{1} = \cos (t) d t$ . Lưu ý rằng vì $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ , nên $\cos (t)$ dương.

$\frac{1}{2} \int \sqrt{1 - \sin^{2} (t)} \cos (t) d t$

Bước 5

Rút gọn các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Rút gọn $\sqrt{1 - \sin^{2} (t)}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1.1

Áp dụng đẳng thức pytago.

$\frac{1}{2} \int \sqrt{\cos^{2} (t)} \cos (t) d t$

Bước 5.1.2

Đưa các số hạng dưới dấu căn ra ngoài, giả sử đó là các số thực dương.

$\frac{1}{2} \int \cos (t) \cos (t) d t$

Bước 5.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.1

Nâng $\cos (t)$ lên lũy thừa $1$ .

$\frac{1}{2} \int \cos^{1} (t) \cos (t) d t$

Bước 5.2.2

Nâng $\cos (t)$ lên lũy thừa $1$ .

$\frac{1}{2} \int \cos^{1} (t) \cos^{1} (t) d t$

Bước 5.2.3

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\frac{1}{2} \int {\cos (t)}^{1 + 1} d t$

Bước 5.2.4

Cộng $1$ và $1$ .

$\frac{1}{2} \int \cos^{2} (t) d t$

Bước 6

Sử dụng công thức góc chia đôi để viết lại $\cos^{2} (t)$ ở dạng $\frac{1 + \cos (2 t)}{2}$ .

$\frac{1}{2} \int \frac{1 + \cos (2 t)}{2} d t$

Bước 7

Vì $\frac{1}{2}$ không đổi đối với $t$ , hãy di chuyển $\frac{1}{2}$ ra khỏi tích phân.

$\frac{1}{2} (\frac{1}{2} \int 1 + \cos (2 t) d t)$

Bước 8

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.1

Nhân $\frac{1}{2}$ với $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2 \cdot 2} \int 1 + \cos (2 t) d t$

Bước 8.2

Nhân $2$ với $2$ .

$\frac{1}{4} \int 1 + \cos (2 t) d t$

Bước 9

Chia tích phân đơn thành nhiều tích phân.

$\frac{1}{4} (\int d t + \int \cos (2 t) d t)$

Bước 10

Áp dụng quy tắc hằng số.

$\frac{1}{4} (t + C + \int \cos (2 t) d t)$

Bước 11

Giả sử $u_{2} = 2 t$ . Sau đó $d u_{2} = 2 d t$ , nên $\frac{1}{2} d u_{2} = d t$ . Viết lại bằng $u_{2}$ và $d$ $u_{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.1

Hãy đặt $u_{2} = 2 t$ . Tìm $\frac{d u_{2}}{d t}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.1.1

Tính đạo hàm $2 t$ .

$\frac{d}{d t} [2 t]$

Bước 11.1.2

Vì $2$ không đổi đối với $t$ , nên đạo hàm của $2 t$ đối với $t$ là $2 \frac{d}{d t} [t]$ .

$2 \frac{d}{d t} [t]$

Bước 11.1.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ là $n t^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Bước 11.1.4

Nhân $2$ với $1$ .

$2$

Bước 11.2

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u_{2}$ và $d u_{2}$ .

$\frac{1}{4} (t + C + \int \cos (u_{2}) \frac{1}{2} d u_{2})$

Bước 12

Kết hợp $\cos (u_{2})$ và $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{4} (t + C + \int \frac{\cos (u_{2})}{2} d u_{2})$

Bước 13

Vì $\frac{1}{2}$ không đổi đối với $u_{2}$ , hãy di chuyển $\frac{1}{2}$ ra khỏi tích phân.

$\frac{1}{4} (t + C + \frac{1}{2} \int \cos (u_{2}) d u_{2})$

Bước 14

Tích phân của $\cos (u_{2})$ đối với $u_{2}$ là $\sin (u_{2})$ .

$\frac{1}{4} (t + C + \frac{1}{2} (\sin (u_{2}) + C))$

Bước 15

Rút gọn.

$\frac{1}{4} (t + \frac{1}{2} \sin (u_{2})) + C$

Bước 16

Thay trở lại cho mỗi biến thay thế tích phân.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 16.1

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $t$ với $\arcsin (u_{1})$ .

$\frac{1}{4} (\arcsin (u_{1}) + \frac{1}{2} \sin (u_{2})) + C$

Bước 16.2

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{2}$ với $2 t$ .

$\frac{1}{4} (\arcsin (u_{1}) + \frac{1}{2} \sin (2 t)) + C$

Bước 16.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{1}$ với $x^{2}$ .

$\frac{1}{4} (\arcsin (x^{2}) + \frac{1}{2} \sin (2 t)) + C$

Bước 16.4

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $t$ với $\arcsin (u_{1})$ .

$\frac{1}{4} (\arcsin (x^{2}) + \frac{1}{2} \sin (2 \arcsin (u_{1}))) + C$

Bước 16.5

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{1}$ với $x^{2}$ .

$\frac{1}{4} (\arcsin (x^{2}) + \frac{1}{2} \sin (2 \arcsin (x^{2}))) + C$

Bước 17

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 17.1

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $\sin (2 \arcsin (x^{2}))$ .

$\frac{1}{4} (\arcsin (x^{2}) + \frac{\sin (2 \arcsin (x^{2}))}{2}) + C$

Bước 17.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{1}{4} \arcsin (x^{2}) + \frac{1}{4} \cdot \frac{\sin (2 \arcsin (x^{2}))}{2} + C$

Bước 17.3

Kết hợp $\frac{1}{4}$ và $\arcsin (x^{2})$ .

$\frac{\arcsin (x^{2})}{4} + \frac{1}{4} \cdot \frac{\sin (2 \arcsin (x^{2}))}{2} + C$

Bước 17.4

Kết hợp.

$\frac{\arcsin (x^{2})}{4} + \frac{1 \sin (2 \arcsin (x^{2}))}{4 \cdot 2} + C$

Bước 17.5

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 17.5.1

Nhân $\sin (2 \arcsin (x^{2}))$ với $1$ .

$\frac{\arcsin (x^{2})}{4} + \frac{\sin (2 \arcsin (x^{2}))}{4 \cdot 2} + C$

Bước 17.5.2

Nhân $4$ với $2$ .

$\frac{\arcsin (x^{2})}{4} + \frac{\sin (2 \arcsin (x^{2}))}{8} + C$

Bước 18

Sắp xếp lại các số hạng.

$\frac{1}{4} \arcsin (x^{2}) + \frac{1}{8} \sin (2 \arcsin (x^{2})) + C$