Giải tích Ví dụ

$\sqrt[3]{x} - \frac{1}{\sqrt[3]{x}}$

Bước 1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $\sqrt[3]{x} - \frac{1}{\sqrt[3]{x}}$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [\sqrt[3]{x}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{\sqrt[3]{x}}]$ .

$\frac{d}{d x} [\sqrt[3]{x}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{\sqrt[3]{x}}]$

Bước 2

Tính $\frac{d}{d x} [\sqrt[3]{x}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt[3]{x}$ ở dạng $x^{\frac{1}{3}}$ .

$\frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{\sqrt[3]{x}}]$

Bước 2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = \frac{1}{3}$ .

$\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1} + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{\sqrt[3]{x}}]$

Bước 2.3

Để viết $- 1$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{3}{3}$ .

$\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{\sqrt[3]{x}}]$

Bước 2.4

Kết hợp $- 1$ và $\frac{3}{3}$ .

$\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{\sqrt[3]{x}}]$

Bước 2.5

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{1}{3} x^{\frac{1 - 1 \cdot 3}{3}} + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{\sqrt[3]{x}}]$

Bước 2.6

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.6.1

Nhân $- 1$ với $3$ .

$\frac{1}{3} x^{\frac{1 - 3}{3}} + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{\sqrt[3]{x}}]$

Bước 2.6.2

Trừ $3$ khỏi $1$ .

$\frac{1}{3} x^{\frac{- 2}{3}} + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{\sqrt[3]{x}}]$

Bước 2.7

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$\frac{1}{3} x^{- \frac{2}{3}} + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{\sqrt[3]{x}}]$

Bước 3

Tính $\frac{d}{d x} [- \frac{1}{\sqrt[3]{x}}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt[3]{x}$ ở dạng $x^{\frac{1}{3}}$ .

$\frac{1}{3} x^{- \frac{2}{3}} + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{x^{\frac{1}{3}}}]$

Bước 3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc tích số, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ là $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ trong đó $f (x) = - 1$ và $g (x) = \frac{1}{x^{\frac{1}{3}}}$ .

$\frac{1}{3} x^{- \frac{2}{3}} - \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{1}{3}}}] + \frac{1}{x^{\frac{1}{3}}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Bước 3.3

Viết lại $\frac{1}{x^{\frac{1}{3}}}$ ở dạng ${(x^{\frac{1}{3}})}^{- 1}$ .

$\frac{1}{3} x^{- \frac{2}{3}} - \frac{d}{d x} [{(x^{\frac{1}{3}})}^{- 1}] + \frac{1}{x^{\frac{1}{3}}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Bước 3.4

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = x^{- 1}$ và $g (x) = x^{\frac{1}{3}}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u$ ở dạng $x^{\frac{1}{3}}$ .

$\frac{1}{3} x^{- \frac{2}{3}} - (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}]) + \frac{1}{x^{\frac{1}{3}}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Bước 3.4.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ là $n u^{n - 1}$ trong đó $n = - 1$ .

$\frac{1}{3} x^{- \frac{2}{3}} - (- u^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}]) + \frac{1}{x^{\frac{1}{3}}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Bước 3.4.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $x^{\frac{1}{3}}$ .

$\frac{1}{3} x^{- \frac{2}{3}} - (- {(x^{\frac{1}{3}})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}]) + \frac{1}{x^{\frac{1}{3}}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Bước 3.5

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = \frac{1}{3}$ .

$\frac{1}{3} x^{- \frac{2}{3}} - (- {(x^{\frac{1}{3}})}^{- 2} (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1})) + \frac{1}{x^{\frac{1}{3}}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Bước 3.6

Vì $- 1$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $- 1$ đối với $x$ là $0$ .

$\frac{1}{3} x^{- \frac{2}{3}} - (- {(x^{\frac{1}{3}})}^{- 2} (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1})) + \frac{1}{x^{\frac{1}{3}}} \cdot 0$

Bước 3.7

Nhân các số mũ trong ${(x^{\frac{1}{3}})}^{- 2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.7.1

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{3} x^{- \frac{2}{3}} - (- x^{\frac{1}{3} \cdot - 2} (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1})) + \frac{1}{x^{\frac{1}{3}}} \cdot 0$

Bước 3.7.2

Kết hợp $\frac{1}{3}$ và $- 2$ .

$\frac{1}{3} x^{- \frac{2}{3}} - (- x^{\frac{- 2}{3}} (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1})) + \frac{1}{x^{\frac{1}{3}}} \cdot 0$

Bước 3.7.3

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$\frac{1}{3} x^{- \frac{2}{3}} - (- x^{- \frac{2}{3}} (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1})) + \frac{1}{x^{\frac{1}{3}}} \cdot 0$

Bước 3.8

Để viết $- 1$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{3}{3}$ .

$\frac{1}{3} x^{- \frac{2}{3}} - (- x^{- \frac{2}{3}} (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}})) + \frac{1}{x^{\frac{1}{3}}} \cdot 0$

Bước 3.9

Kết hợp $- 1$ và $\frac{3}{3}$ .

$\frac{1}{3} x^{- \frac{2}{3}} - (- x^{- \frac{2}{3}} (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}})) + \frac{1}{x^{\frac{1}{3}}} \cdot 0$

Bước 3.10

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{1}{3} x^{- \frac{2}{3}} - (- x^{- \frac{2}{3}} (\frac{1}{3} x^{\frac{1 - 1 \cdot 3}{3}})) + \frac{1}{x^{\frac{1}{3}}} \cdot 0$

Bước 3.11

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.11.1

Nhân $- 1$ với $3$ .

$\frac{1}{3} x^{- \frac{2}{3}} - (- x^{- \frac{2}{3}} (\frac{1}{3} x^{\frac{1 - 3}{3}})) + \frac{1}{x^{\frac{1}{3}}} \cdot 0$

Bước 3.11.2

Trừ $3$ khỏi $1$ .

$\frac{1}{3} x^{- \frac{2}{3}} - (- x^{- \frac{2}{3}} (\frac{1}{3} x^{\frac{- 2}{3}})) + \frac{1}{x^{\frac{1}{3}}} \cdot 0$

Bước 3.12

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$\frac{1}{3} x^{- \frac{2}{3}} - (- x^{- \frac{2}{3}} (\frac{1}{3} x^{- \frac{2}{3}})) + \frac{1}{x^{\frac{1}{3}}} \cdot 0$

Bước 3.13

Kết hợp $\frac{1}{3}$ và $x^{- \frac{2}{3}}$ .

$\frac{1}{3} x^{- \frac{2}{3}} - (- x^{- \frac{2}{3}} \frac{x^{- \frac{2}{3}}}{3}) + \frac{1}{x^{\frac{1}{3}}} \cdot 0$

Bước 3.14

Kết hợp $\frac{x^{- \frac{2}{3}}}{3}$ và $x^{- \frac{2}{3}}$ .

$\frac{1}{3} x^{- \frac{2}{3}} - - \frac{x^{- \frac{2}{3}} x^{- \frac{2}{3}}}{3} + \frac{1}{x^{\frac{1}{3}}} \cdot 0$

Bước 3.15

Nhân $x^{- \frac{2}{3}}$ với $x^{- \frac{2}{3}}$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.15.1

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\frac{1}{3} x^{- \frac{2}{3}} - - \frac{x^{- \frac{2}{3} - \frac{2}{3}}}{3} + \frac{1}{x^{\frac{1}{3}}} \cdot 0$

Bước 3.15.2

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{1}{3} x^{- \frac{2}{3}} - - \frac{x^{\frac{- 2 - 2}{3}}}{3} + \frac{1}{x^{\frac{1}{3}}} \cdot 0$

Bước 3.15.3

Trừ $2$ khỏi $- 2$ .

$\frac{1}{3} x^{- \frac{2}{3}} - - \frac{x^{\frac{- 4}{3}}}{3} + \frac{1}{x^{\frac{1}{3}}} \cdot 0$

Bước 3.15.4

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$\frac{1}{3} x^{- \frac{2}{3}} - - \frac{x^{- \frac{4}{3}}}{3} + \frac{1}{x^{\frac{1}{3}}} \cdot 0$

Bước 3.16

Di chuyển $x^{- \frac{4}{3}}$ sang mẫu số bằng quy tắc số mũ âm $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{3} x^{- \frac{2}{3}} - - \frac{1}{3 x^{\frac{4}{3}}} + \frac{1}{x^{\frac{1}{3}}} \cdot 0$

Bước 3.17

Nhân $- 1$ với $- 1$ .

$\frac{1}{3} x^{- \frac{2}{3}} + 1 \frac{1}{3 x^{\frac{4}{3}}} + \frac{1}{x^{\frac{1}{3}}} \cdot 0$

Bước 3.18

Nhân $\frac{1}{3 x^{\frac{4}{3}}}$ với $1$ .

$\frac{1}{3} x^{- \frac{2}{3}} + \frac{1}{3 x^{\frac{4}{3}}} + \frac{1}{x^{\frac{1}{3}}} \cdot 0$

Bước 3.19

Nhân $\frac{1}{x^{\frac{1}{3}}}$ với $0$ .

$\frac{1}{3} x^{- \frac{2}{3}} + \frac{1}{3 x^{\frac{4}{3}}} + 0$

Bước 3.20

Cộng $\frac{1}{3 x^{\frac{4}{3}}}$ và $0$ .

$\frac{1}{3} x^{- \frac{2}{3}} + \frac{1}{3 x^{\frac{4}{3}}}$

Bước 4

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Viết lại biểu thức bằng quy tắc số mũ âm $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{x^{\frac{2}{3}}} + \frac{1}{3 x^{\frac{4}{3}}}$

Bước 4.2

Nhân $\frac{1}{3}$ với $\frac{1}{x^{\frac{2}{3}}}$ .

$\frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}} + \frac{1}{3 x^{\frac{4}{3}}}$