Giải tích Ví dụ

$\int 4 x^{3} (4 x^{4} + 5) d x$

Bước 1

Giả sử $u = 4 x^{4} + 5$ . Sau đó $d u = 16 x^{3} d x$ , nên $\frac{1}{16} d u = x^{3} d x$ . Viết lại bằng $u$ và $d$ $u$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Hãy đặt $u = 4 x^{4} + 5$ . Tìm $\frac{d u}{d x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1

Tính đạo hàm $4 x^{4} + 5$ .

$\frac{d}{d x} [4 x^{4} + 5]$

Bước 1.1.2

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $4 x^{4} + 5$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [4 x^{4}] + \frac{d}{d x} [5]$ .

$\frac{d}{d x} [4 x^{4}] + \frac{d}{d x} [5]$

Bước 1.1.3

Tính $\frac{d}{d x} [4 x^{4}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.3.1

Vì $4$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $4 x^{4}$ đối với $x$ là $4 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$4 \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [5]$

Bước 1.1.3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 4$ .

$4 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [5]$

Bước 1.1.3.3

Nhân $4$ với $4$ .

$16 x^{3} + \frac{d}{d x} [5]$

Bước 1.1.4

Tìm đạo hàm bằng quy tắc hằng số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.4.1

Vì $5$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $5$ đối với $x$ là $0$ .

$16 x^{3} + 0$

Bước 1.1.4.2

Cộng $16 x^{3}$ và $0$ .

$16 x^{3}$

Bước 1.2

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u$ và $d u$ .

$\int 4 u \frac{1}{16} d u$

Bước 2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Kết hợp $\frac{1}{16}$ và $4$ .

$\int \frac{4}{16} u d u$

Bước 2.2

Kết hợp $\frac{4}{16}$ và $u$ .

$\int \frac{4 u}{16} d u$

Bước 2.3

Triệt tiêu thừa số chung của $4$ và $16$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1

Đưa $4$ ra ngoài $4 u$ .

$\int \frac{4 (u)}{16} d u$

Bước 2.3.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.2.1

Đưa $4$ ra ngoài $16$ .

$\int \frac{4 u}{4 \cdot 4} d u$

Bước 2.3.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\int \frac{4 u}{4 \cdot 4} d u$

Bước 2.3.2.3

Viết lại biểu thức.

$\int \frac{u}{4} d u$

Bước 3

Vì $\frac{1}{4}$ không đổi đối với $u$ , hãy di chuyển $\frac{1}{4}$ ra khỏi tích phân.

$\frac{1}{4} \int u d u$

Bước 4

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $u$ đối với $u$ là $\frac{1}{2} u^{2}$ .

$\frac{1}{4} (\frac{1}{2} u^{2} + C)$

Bước 5

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Viết lại $\frac{1}{4} (\frac{1}{2} u^{2} + C)$ ở dạng $\frac{1}{4} \cdot \frac{1}{2} u^{2} + C$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{1}{2} u^{2} + C$

Bước 5.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.1

Nhân $\frac{1}{4}$ với $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{4 \cdot 2} u^{2} + C$

Bước 5.2.2

Nhân $4$ với $2$ .

$\frac{1}{8} u^{2} + C$

Bước 6

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $4 x^{4} + 5$ .

$\frac{1}{8} {(4 x^{4} + 5)}^{2} + C$