Giải tích Ví dụ

$lim_{x \to 0^{+}} x^{\sin (x)}$

Bước 1

Sử dụng các tính chất của logarit để rút gọn giới hạn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Viết lại $x^{\sin (x)}$ ở dạng $e^{\ln (x^{\sin (x)})}$ .

$lim_{x \to 0^{+}} e^{\ln (x^{\sin (x)})}$

Bước 1.2

Khai triển $\ln (x^{\sin (x)})$ bằng cách di chuyển $\sin (x)$ ra bên ngoài lôgarit.

$lim_{x \to 0^{+}} e^{\sin (x) \ln (x)}$

Bước 2

Đưa giới hạn vào trong số mũ.

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \sin (x) \ln (x)}$

Bước 3

Viết lại $\sin (x) \ln (x)$ ở dạng $\frac{\ln (x)}{\frac{1}{\sin (x)}}$ .

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\ln (x)}{\frac{1}{\sin (x)}}}$

Bước 4

Áp dụng quy tắc l'Hôpital

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Tính giới hạn của tử số và giới hạn của mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.1

Lấy giới hạn của tử số và giới hạn của mẫu số.

$e^{\frac{lim_{x \to 0^{+}} \ln (x)}{lim_{x \to 0^{+}} \frac{1}{\sin (x)}}}$

Bước 4.1.2

Vì $x$ tiến dần đến $0$ từ phía bên phải, nên $\ln (x)$ giảm không giới hạn.

$e^{\frac{- \infty}{lim_{x \to 0^{+}} \frac{1}{\sin (x)}}}$

Bước 4.1.3

Tính giới hạn của mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.3.1

Quy đổi từ $\frac{1}{\sin (x)}$ sang $\csc (x)$ .

$e^{\frac{- \infty}{lim_{x \to 0^{+}} \csc (x)}}$

Bước 4.1.3.2

Khi giá trị $x$ tiến dần đến $0$ từ phía bên phải, giá trị hàm số tăng mà không bị giới hạn.

$e^{\frac{- \infty}{\infty}}$

Bước 4.1.3.3

Vô cùng chia cho vô cùng là không xác định.

Không xác định

$e^{\frac{- \infty}{\infty}}$

Bước 4.1.4

Vô cùng chia cho vô cùng là không xác định.

Không xác định

$e^{\frac{- \infty}{\infty}}$

Bước 4.2

Vì $\frac{- \infty}{\infty}$ ở dạng không xác định, nên ta áp dụng quy tắc L'Hôpital. Quy tắc L'Hôpital khẳng định rằng giới hạn của một thương của các hàm số bằng giới hạn của thương của các đạo hàm của chúng.

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\ln (x)}{\frac{1}{\sin (x)}} = lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (x)]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{\sin (x)}]}$

Bước 4.3

Tìm đạo hàm của tử số và mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.1

Tính đạo hàm tử số và mẫu số.

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (x)]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{\sin (x)}]}}$

Bước 4.3.2

Đạo hàm của $\ln (x)$ đối với $x$ là $\frac{1}{x}$ .

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{x}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{\sin (x)}]}}$

Bước 4.3.3

Viết lại $\frac{1}{\sin (x)}$ ở dạng $\sin^{- 1} (x)$ .

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{x}}{\frac{d}{d x} [\sin^{- 1} (x)]}}$

Bước 4.3.4

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = x^{- 1}$ và $g (x) = \sin (x)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.4.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u$ ở dạng $\sin (x)$ .

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{x}}{\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [\sin (x)]}}$

Bước 4.3.4.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ là $n u^{n - 1}$ trong đó $n = - 1$ .

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{x}}{- u^{- 2} \frac{d}{d x} [\sin (x)]}}$

Bước 4.3.4.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $\sin (x)$ .

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{x}}{- \sin^{- 2} (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]}}$

Bước 4.3.5

Đạo hàm của $\sin (x)$ đối với $x$ là $\cos (x)$ .

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{x}}{- \sin^{- 2} (x) \cos (x)}}$

Bước 4.3.6

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.6.1

Viết lại biểu thức bằng quy tắc số mũ âm $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{x}}{- \frac{1}{\sin^{2} (x)} \cos (x)}}$

Bước 4.3.6.2

Kết hợp $\cos (x)$ và $\frac{1}{\sin^{2} (x)}$ .

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{x}}{- \frac{\cos (x)}{\sin^{2} (x)}}}$

Bước 4.4

Nhân tử số với nghịch đảo của mẫu số.

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{1}{x} \cdot - 1 \frac{\sin^{2} (x)}{\cos (x)}}$

Bước 4.5

Nhân $\frac{1}{x}$ với $\frac{\sin^{2} (x)}{\cos (x)}$ .

$e^{lim_{x \to 0^{+}} - \frac{\sin^{2} (x)}{x \cos (x)}}$

Bước 4.6

Đưa $\sin (x)$ ra ngoài $\sin^{2} (x)$ .

$e^{lim_{x \to 0^{+}} - \frac{\sin (x) \sin (x)}{x \cos (x)}}$

Bước 4.7

Tách các phân số.

$e^{lim_{x \to 0^{+}} - \frac{\sin (x)}{x} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)}}$

Bước 4.8

Quy đổi từ $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ sang $\tan (x)$ .

$e^{lim_{x \to 0^{+}} - \frac{\sin (x)}{x} \tan (x)}$

Bước 4.9

Kết hợp $\frac{\sin (x)}{x}$ và $\tan (x)$ .

$e^{lim_{x \to 0^{+}} - \frac{\sin (x) \tan (x)}{x}}$

Bước 5

Chuyển số hạng $- 1$ ra bên ngoài giới hạn vì nó là đại lượng không đổi đối với $x$ .

$e^{- lim_{x \to 0^{+}} \frac{\sin (x) \tan (x)}{x}}$

Bước 6

Áp dụng quy tắc l'Hôpital

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Tính giới hạn của tử số và giới hạn của mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1.1

Lấy giới hạn của tử số và giới hạn của mẫu số.

$e^{- \frac{lim_{x \to 0^{+}} \sin (x) \tan (x)}{lim_{x \to 0^{+}} x}}$

Bước 6.1.2

Tính giới hạn của tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1.2.1

Tách giới hạn bằng quy tắc tích của giới hạn trên giới hạn khi $x$ tiến dần đến $0$ .

$e^{- \frac{lim_{x \to 0^{+}} \sin (x) \cdot lim_{x \to 0^{+}} \tan (x)}{lim_{x \to 0^{+}} x}}$

Bước 6.1.2.2

Di chuyển giới hạn vào trong hàm lượng giác vì sin liên tục.

$e^{- \frac{\sin (lim_{x \to 0^{+}} x) \cdot lim_{x \to 0^{+}} \tan (x)}{lim_{x \to 0^{+}} x}}$

Bước 6.1.2.3

Di chuyển giới hạn vào trong hàm lượng giác vì tang liên tục.

$e^{- \frac{\sin (lim_{x \to 0^{+}} x) \cdot \tan (lim_{x \to 0^{+}} x)}{lim_{x \to 0^{+}} x}}$

Bước 6.1.2.4

Tính các giới hạn bằng cách điền vào $0$ cho tất cả các lần xảy ra của $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1.2.4.1

Tính giới hạn của $x$ bằng cách điền vào $0$ cho $x$ .

$e^{- \frac{\sin (0) \cdot \tan (lim_{x \to 0^{+}} x)}{lim_{x \to 0^{+}} x}}$

Bước 6.1.2.4.2

Tính giới hạn của $x$ bằng cách điền vào $0$ cho $x$ .

$e^{- \frac{\sin (0) \cdot \tan (0)}{lim_{x \to 0^{+}} x}}$

Bước 6.1.2.5

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1.2.5.1

Giá trị chính xác của $\sin (0)$ là $0$ .

$e^{- \frac{0 \cdot \tan (0)}{lim_{x \to 0^{+}} x}}$

Bước 6.1.2.5.2

Giá trị chính xác của $\tan (0)$ là $0$ .

$e^{- \frac{0 \cdot 0}{lim_{x \to 0^{+}} x}}$

Bước 6.1.2.5.3

Nhân $0$ với $0$ .

$e^{- \frac{0}{lim_{x \to 0^{+}} x}}$

Bước 6.1.3

Tính giới hạn của $x$ bằng cách điền vào $0$ cho $x$ .

$e^{- \frac{0}{0}}$

Bước 6.1.4

Biểu thức chứa một phép chia cho $0$ . Biểu thức không xác định.

Không xác định

$e^{- \frac{0}{0}}$

Bước 6.2

Vì $\frac{0}{0}$ ở dạng không xác định, nên ta áp dụng quy tắc L'Hôpital. Quy tắc L'Hôpital khẳng định rằng giới hạn của một thương của các hàm số bằng giới hạn của thương của các đạo hàm của chúng.

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\sin (x) \tan (x)}{x} = lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{d}{d x} [\sin (x) \tan (x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Bước 6.3

Tìm đạo hàm của tử số và mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.3.1

Tính đạo hàm tử số và mẫu số.

$e^{- lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{d}{d x} [\sin (x) \tan (x)]}{\frac{d}{d x} [x]}}$

Bước 6.3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc tích số, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ là $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ trong đó $f (x) = \sin (x)$ và $g (x) = \tan (x)$ .

$e^{- lim_{x \to 0^{+}} \frac{\sin (x) \frac{d}{d x} [\tan (x)] + \tan (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]}{\frac{d}{d x} [x]}}$

Bước 6.3.3

Đạo hàm của $\tan (x)$ đối với $x$ là $\sec^{2} (x)$ .

$e^{- lim_{x \to 0^{+}} \frac{\sin (x) \sec^{2} (x) + \tan (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]}{\frac{d}{d x} [x]}}$

Bước 6.3.4

Đạo hàm của $\sin (x)$ đối với $x$ là $\cos (x)$ .

$e^{- lim_{x \to 0^{+}} \frac{\sin (x) \sec^{2} (x) + \tan (x) \cos (x)}{\frac{d}{d x} [x]}}$

Bước 6.3.5

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.3.5.1

Sắp xếp lại các số hạng.

$e^{- lim_{x \to 0^{+}} \frac{\sec^{2} (x) \sin (x) + \cos (x) \tan (x)}{\frac{d}{d x} [x]}}$

Bước 6.3.5.2

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.3.5.2.1

Viết lại $\sec (x)$ theo sin và cosin.

$e^{- lim_{x \to 0^{+}} \frac{{(\frac{1}{\cos (x)})}^{2} \sin (x) + \cos (x) \tan (x)}{\frac{d}{d x} [x]}}$

Bước 6.3.5.2.2

Áp dụng quy tắc tích số cho $\frac{1}{\cos (x)}$ .

$e^{- lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1^{2}}{\cos^{2} (x)} \sin (x) + \cos (x) \tan (x)}{\frac{d}{d x} [x]}}$

Bước 6.3.5.2.3

Một mũ bất kỳ số nào là một.

$e^{- lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{\cos^{2} (x)} \sin (x) + \cos (x) \tan (x)}{\frac{d}{d x} [x]}}$

Bước 6.3.5.2.4

Kết hợp $\frac{1}{\cos^{2} (x)}$ và $\sin (x)$ .

$e^{- lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{\sin (x)}{\cos^{2} (x)} + \cos (x) \tan (x)}{\frac{d}{d x} [x]}}$

Bước 6.3.5.2.5

Viết lại theo sin và cosin, sau đó triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.3.5.2.5.1

Sắp xếp lại $\cos (x)$ và $\tan (x)$ .

$e^{- lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{\sin (x)}{\cos^{2} (x)} + \tan (x) \cos (x)}{\frac{d}{d x} [x]}}$

Bước 6.3.5.2.5.2

Viết lại $\cos (x) \tan (x)$ theo sin và cosin.

$e^{- lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{\sin (x)}{\cos^{2} (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cos (x)}{\frac{d}{d x} [x]}}$

Bước 6.3.5.2.5.3

Triệt tiêu các thừa số chung.

$e^{- lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{\sin (x)}{\cos^{2} (x)} + \sin (x)}{\frac{d}{d x} [x]}}$

Bước 6.3.6

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$e^{- lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{\sin (x)}{\cos^{2} (x)} + \sin (x)}{1}}$

Bước 6.4

Kết hợp các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.4.1

Để viết $\sin (x)$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{\cos^{2} (x)}{\cos^{2} (x)}$ .

$e^{- lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{\sin (x)}{\cos^{2} (x)} + \frac{\sin (x) \cos^{2} (x)}{\cos^{2} (x)}}{1}}$

Bước 6.4.2

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$e^{- lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{\sin (x) + \sin (x) \cos^{2} (x)}{\cos^{2} (x)}}{1}}$

Bước 6.5

Chia $\frac{\sin (x) + \sin (x) \cos^{2} (x)}{\cos^{2} (x)}$ cho $1$ .

$e^{- lim_{x \to 0^{+}} \frac{\sin (x) + \sin (x) \cos^{2} (x)}{\cos^{2} (x)}}$

Bước 7

Tính giới hạn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1

Tách giới hạn bằng quy tắc thương số của giới hạn trên giới hạn khi $x$ tiến dần đến $0$ .

$e^{- \frac{lim_{x \to 0^{+}} \sin (x) + \sin (x) \cos^{2} (x)}{lim_{x \to 0^{+}} \cos^{2} (x)}}$

Bước 7.2

Tách giới hạn bằng quy tắc tổng của giới hạn trên giới hạn khi $x$ tiến dần đến $0$ .

$e^{- \frac{lim_{x \to 0^{+}} \sin (x) + lim_{x \to 0^{+}} \sin (x) \cos^{2} (x)}{lim_{x \to 0^{+}} \cos^{2} (x)}}$

Bước 7.3

Di chuyển giới hạn vào trong hàm lượng giác vì sin liên tục.

$e^{- \frac{\sin (lim_{x \to 0^{+}} x) + lim_{x \to 0^{+}} \sin (x) \cos^{2} (x)}{lim_{x \to 0^{+}} \cos^{2} (x)}}$

Bước 7.4

Tách giới hạn bằng quy tắc tích của giới hạn trên giới hạn khi $x$ tiến dần đến $0$ .

$e^{- \frac{\sin (lim_{x \to 0^{+}} x) + lim_{x \to 0^{+}} \sin (x) \cdot lim_{x \to 0^{+}} \cos^{2} (x)}{lim_{x \to 0^{+}} \cos^{2} (x)}}$

Bước 7.5

Di chuyển giới hạn vào trong hàm lượng giác vì sin liên tục.

$e^{- \frac{\sin (lim_{x \to 0^{+}} x) + \sin (lim_{x \to 0^{+}} x) \cdot lim_{x \to 0^{+}} \cos^{2} (x)}{lim_{x \to 0^{+}} \cos^{2} (x)}}$

Bước 7.6

Đưa số mũ $2$ từ $\cos^{2} (x)$ ra ngoài giới hạn bằng quy tắc lũy thừa của giới hạn.

$e^{- \frac{\sin (lim_{x \to 0^{+}} x) + \sin (lim_{x \to 0^{+}} x) \cdot {(lim_{x \to 0^{+}} \cos (x))}^{2}}{lim_{x \to 0^{+}} \cos^{2} (x)}}$

Bước 7.7

Di chuyển giới hạn vào trong hàm lượng giác vì cosin liên tục.

$e^{- \frac{\sin (lim_{x \to 0^{+}} x) + \sin (lim_{x \to 0^{+}} x) \cdot \cos^{2} (lim_{x \to 0^{+}} x)}{lim_{x \to 0^{+}} \cos^{2} (x)}}$

Bước 7.8

Đưa số mũ $2$ từ $\cos^{2} (x)$ ra ngoài giới hạn bằng quy tắc lũy thừa của giới hạn.

$e^{- \frac{\sin (lim_{x \to 0^{+}} x) + \sin (lim_{x \to 0^{+}} x) \cdot \cos^{2} (lim_{x \to 0^{+}} x)}{{(lim_{x \to 0^{+}} \cos (x))}^{2}}}$

Bước 7.9

Di chuyển giới hạn vào trong hàm lượng giác vì cosin liên tục.

$e^{- \frac{\sin (lim_{x \to 0^{+}} x) + \sin (lim_{x \to 0^{+}} x) \cdot \cos^{2} (lim_{x \to 0^{+}} x)}{\cos^{2} (lim_{x \to 0^{+}} x)}}$

Bước 8

Tính các giới hạn bằng cách điền vào $0$ cho tất cả các lần xảy ra của $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.1

Tính giới hạn của $x$ bằng cách điền vào $0$ cho $x$ .

$e^{- \frac{\sin (0) + \sin (lim_{x \to 0^{+}} x) \cdot \cos^{2} (lim_{x \to 0^{+}} x)}{\cos^{2} (lim_{x \to 0^{+}} x)}}$

Bước 8.2

Tính giới hạn của $x$ bằng cách điền vào $0$ cho $x$ .

$e^{- \frac{\sin (0) + \sin (0) \cdot \cos^{2} (lim_{x \to 0^{+}} x)}{\cos^{2} (lim_{x \to 0^{+}} x)}}$

Bước 8.3

Tính giới hạn của $x$ bằng cách điền vào $0$ cho $x$ .

$e^{- \frac{\sin (0) + \sin (0) \cdot \cos^{2} (0)}{\cos^{2} (lim_{x \to 0^{+}} x)}}$

Bước 8.4

Tính giới hạn của $x$ bằng cách điền vào $0$ cho $x$ .

$e^{- \frac{\sin (0) + \sin (0) \cdot \cos^{2} (0)}{\cos^{2} (0)}}$

Bước 9

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.1

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.1.1

Giá trị chính xác của $\sin (0)$ là $0$ .

$e^{- \frac{0 + \sin (0) \cdot \cos^{2} (0)}{\cos^{2} (0)}}$

Bước 9.1.2

Giá trị chính xác của $\sin (0)$ là $0$ .

$e^{- \frac{0 + 0 \cdot \cos^{2} (0)}{\cos^{2} (0)}}$

Bước 9.1.3

Giá trị chính xác của $\cos (0)$ là $1$ .

$e^{- \frac{0 + 0 \cdot 1^{2}}{\cos^{2} (0)}}$

Bước 9.1.4

Một mũ bất kỳ số nào là một.

$e^{- \frac{0 + 0 \cdot 1}{\cos^{2} (0)}}$

Bước 9.1.5

Nhân $0$ với $1$ .

$e^{- \frac{0 + 0}{\cos^{2} (0)}}$

Bước 9.1.6

Cộng $0$ và $0$ .

$e^{- \frac{0}{\cos^{2} (0)}}$

Bước 9.2

Rút gọn mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.2.1

Giá trị chính xác của $\cos (0)$ là $1$ .

$e^{- \frac{0}{1^{2}}}$

Bước 9.2.2

Một mũ bất kỳ số nào là một.

$e^{- \frac{0}{1}}$

Bước 9.3

Chia $0$ cho $1$ .

$e^{- 0}$

Bước 9.4

Nhân $- 1$ với $0$ .

$e^{0}$

Bước 10

Bất kỳ đại lượng nào mũ $0$ lên đều là $1$ .

$1$