Giải tích Ví dụ

$\int_{e}^{\infty} \frac{1}{x \ln^{2} (x)} d x$

Bước 1

Viết tích phân ở dạng một giới hạn khi $t$ tiến dần đến $\infty$ .

$lim_{t \to \infty} \int_{e}^{t} \frac{1}{x \ln^{2} (x)} d x$

Bước 2

Giả sử $u = \ln (x)$ . Sau đó $d u = \frac{1}{x} d x$ , nên $x d u = d x$ . Viết lại bằng $u$ và $d$ $u$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Hãy đặt $u = \ln (x)$ . Tìm $\frac{d u}{d x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.1

Tính đạo hàm $\ln (x)$ .

$\frac{d}{d x} [\ln (x)]$

Bước 2.1.2

Đạo hàm của $\ln (x)$ đối với $x$ là $\frac{1}{x}$ .

$\frac{1}{x}$

Bước 2.2

Thay giới hạn dưới vào cho $x$ trong $u = \ln (x)$ .

$u_{lower} = \ln (e)$

Bước 2.3

Logarit tự nhiên của $e$ là $1$ .

$u_{lower} = 1$

Bước 2.4

Thay giới hạn trên vào cho $x$ trong $u = \ln (x)$ .

$u_{upper} = \ln (t)$

Bước 2.5

Các giá trị tìm được cho $u_{lower}$ và $u_{upper}$ sẽ được sử dụng để tính tích phân xác định.

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = \ln (t)$

Bước 2.6

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u$ , $d u$ , và các giới hạn mới của phép tích phân.

$lim_{t \to \infty} \int_{1}^{\ln (t)} \frac{1}{u^{2}} d u$

Bước 3

Áp dụng các quy tắc số mũ cơ bản.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Di chuyển $u^{2}$ ra ngoài mẫu số bằng cách nâng nó lên lũy thừa $- 1$ .

$lim_{t \to \infty} \int_{1}^{\ln (t)} {(u^{2})}^{- 1} d u$

Bước 3.2

Nhân các số mũ trong ${(u^{2})}^{- 1}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.1

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$lim_{t \to \infty} \int_{1}^{\ln (t)} u^{2 \cdot - 1} d u$

Bước 3.2.2

Nhân $2$ với $- 1$ .

$lim_{t \to \infty} \int_{1}^{\ln (t)} u^{- 2} d u$

Bước 4

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $u^{- 2}$ đối với $u$ là $- u^{- 1}$ .

$lim_{t \to \infty} - u^{- 1}]_{1}^{\ln (t)}$

Bước 5

Thay và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Tính $- u^{- 1}$ tại $\ln (t)$ và tại $1$ .

$lim_{t \to \infty} (- \ln^{- 1} (t)) + 1^{- 1}$

Bước 5.2

Một mũ bất kỳ số nào là một.

$lim_{t \to \infty} - \ln^{- 1} (t) + 1$

Bước 6

Tính giới hạn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Tách giới hạn bằng quy tắc tổng của giới hạn trên giới hạn khi $t$ tiến dần đến $\infty$ .

$- lim_{t \to \infty} \ln^{- 1} (t) + lim_{t \to \infty} 1$

Bước 6.2

Viết lại biểu thức bằng quy tắc số mũ âm $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- lim_{t \to \infty} \frac{1}{\ln (t)} + lim_{t \to \infty} 1$

Bước 6.3

Vì tử số của nó tiến dần đến một số thực trong khi mẫu số của nó không có biên, nên phân số $\frac{1}{\ln (t)}$ tiến dần đến $0$ .

$- 0 + lim_{t \to \infty} 1$

Bước 6.4

Tính giới hạn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.4.1

Tính giới hạn của $1$ mà không đổi khi $t$ tiến dần đến $\infty$ .

$0 + 1$

Bước 6.4.2

Cộng $0$ và $1$ .

$1$