Giải tích Ví dụ

$\int \ln (2 x + 1) d x$

Bước 1

Lấy tích phân từng phần bằng công thức $\int u d v = u v - \int v d u$ , trong đó $u = \ln (2 x + 1)$ và $d v = 1$ .

$\ln (2 x + 1) x - \int x \frac{2}{2 x + 1} d x$

Bước 2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Kết hợp $x$ và $\frac{2}{2 x + 1}$ .

$\ln (2 x + 1) x - \int \frac{x \cdot 2}{2 x + 1} d x$

Bước 2.2

Di chuyển $2$ sang phía bên trái của $x$ .

$\ln (2 x + 1) x - \int \frac{2 x}{2 x + 1} d x$

Bước 3

Vì $2$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $2$ ra khỏi tích phân.

$\ln (2 x + 1) x - (2 \int \frac{x}{2 x + 1} d x)$

Bước 4

Nhân $2$ với $- 1$ .

$\ln (2 x + 1) x - 2 \int \frac{x}{2 x + 1} d x$

Bước 5

Chia $x$ cho $2 x + 1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Lập các đa thức được chia. Nếu không có đủ số hạng cho mọi số mũ, hãy chèn một số hạng có giá trị $0$ .

$2 x$

$1$

$x$

$0$

Bước 5.2

Chia số hạng bậc cao nhất trong biểu thức bị chia $x$ cho số hạng bậc cao nhất trong biểu thức chia $2 x$ .

					$\frac{1}{2}$
	$2 x$	+	$1$		$x$	+	$0$

Bước 5.3

Nhân số hạng thương số mới với số chia.

				$\frac{1}{2}$
$2 x$	+	$1$		$x$	+	$0$
			+	$x$	+	$\frac{1}{2}$

Bước 5.4

Biểu thức cần được trừ khỏi số bị chia, vì vậy hãy đổi tất cả các dấu trong $x + \frac{1}{2}$

				$\frac{1}{2}$
$2 x$	+	$1$		$x$	+	$0$
			-	$x$	-	$\frac{1}{2}$

Bước 5.5

Sau khi đổi các dấu, cộng số bị chia cuối cùng của đa thức từ phép nhân để tìm số bị chia mới.

				$\frac{1}{2}$
$2 x$	+	$1$		$x$	+	$0$
			-	$x$	-	$\frac{1}{2}$
					-	$\frac{1}{2}$

Bước 5.6

Đáp án cuối cùng là thương cộng với phần còn lại trên số chia.

$\ln (2 x + 1) x - 2 \int \frac{1}{2} - \frac{1}{2 (2 x + 1)} d x$

Bước 6

Chia tích phân đơn thành nhiều tích phân.

$\ln (2 x + 1) x - 2 (\int \frac{1}{2} d x + \int - \frac{1}{2 (2 x + 1)} d x)$

Bước 7

Áp dụng quy tắc hằng số.

$\ln (2 x + 1) x - 2 (\frac{1}{2} x + C + \int - \frac{1}{2 (2 x + 1)} d x)$

Bước 8

Vì $- 1$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $- 1$ ra khỏi tích phân.

$\ln (2 x + 1) x - 2 (\frac{1}{2} x + C - \int \frac{1}{2 (2 x + 1)} d x)$

Bước 9

Vì $\frac{1}{2}$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $\frac{1}{2}$ ra khỏi tích phân.

$\ln (2 x + 1) x - 2 (\frac{1}{2} x + C - (\frac{1}{2} \int \frac{1}{2 x + 1} d x))$

Bước 10

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $x$ .

$\ln (2 x + 1) x - 2 (\frac{x}{2} + C - \frac{1}{2} \int \frac{1}{2 x + 1} d x)$

Bước 11

Giả sử $u = 2 x + 1$ . Sau đó $d u = 2 d x$ , nên $\frac{1}{2} d u = d x$ . Viết lại bằng $u$ và $d$ $u$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.1

Hãy đặt $u = 2 x + 1$ . Tìm $\frac{d u}{d x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.1.1

Tính đạo hàm $2 x + 1$ .

$\frac{d}{d x} [2 x + 1]$

Bước 11.1.2

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $2 x + 1$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [1]$

Bước 11.1.3

Tính $\frac{d}{d x} [2 x]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.1.3.1

Vì $2$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $2 x$ đối với $x$ là $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

Bước 11.1.3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1]$

Bước 11.1.3.3

Nhân $2$ với $1$ .

$2 + \frac{d}{d x} [1]$

Bước 11.1.4

Tìm đạo hàm bằng quy tắc hằng số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.1.4.1

Vì $1$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $1$ đối với $x$ là $0$ .

$2 + 0$

Bước 11.1.4.2

Cộng $2$ và $0$ .

$2$

Bước 11.2

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u$ và $d u$ .

$\ln (2 x + 1) x - 2 (\frac{x}{2} + C - \frac{1}{2} \int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{2} d u)$

Bước 12

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.1

Nhân $\frac{1}{u}$ với $\frac{1}{2}$ .

$\ln (2 x + 1) x - 2 (\frac{x}{2} + C - \frac{1}{2} \int \frac{1}{u \cdot 2} d u)$

Bước 12.2

Di chuyển $2$ sang phía bên trái của $u$ .

$\ln (2 x + 1) x - 2 (\frac{x}{2} + C - \frac{1}{2} \int \frac{1}{2 u} d u)$

Bước 13

Vì $\frac{1}{2}$ không đổi đối với $u$ , hãy di chuyển $\frac{1}{2}$ ra khỏi tích phân.

$\ln (2 x + 1) x - 2 (\frac{x}{2} + C - \frac{1}{2} (\frac{1}{2} \int \frac{1}{u} d u))$

Bước 14

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 14.1

Nhân $\frac{1}{2}$ với $\frac{1}{2}$ .

$\ln (2 x + 1) x - 2 (\frac{x}{2} + C - \frac{1}{2 \cdot 2} \int \frac{1}{u} d u)$

Bước 14.2

Nhân $2$ với $2$ .

$\ln (2 x + 1) x - 2 (\frac{x}{2} + C - \frac{1}{4} \int \frac{1}{u} d u)$

Bước 15

Tích phân của $\frac{1}{u}$ đối với $u$ là $\ln (| u |)$ .

$\ln (2 x + 1) x - 2 (\frac{x}{2} + C - \frac{1}{4} (\ln (| u |) + C))$

Bước 16

Rút gọn.

$\ln (2 x + 1) x - 2 (\frac{1}{2} x - \frac{1}{4} \ln (| u |)) + C$

Bước 17

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $2 x + 1$ .

$\ln (2 x + 1) x - 2 (\frac{1}{2} x - \frac{1}{4} \ln (| 2 x + 1 |)) + C$

Bước 18

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 18.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 18.1.1

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $x$ .

$\ln (2 x + 1) x - 2 (\frac{x}{2} - \frac{1}{4} \ln (| 2 x + 1 |)) + C$

Bước 18.1.2

Kết hợp $\ln (| 2 x + 1 |)$ và $\frac{1}{4}$ .

$\ln (2 x + 1) x - 2 (\frac{x}{2} - \frac{\ln (| 2 x + 1 |)}{4}) + C$

Bước 18.2

Để viết $\frac{x}{2}$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{2}{2}$ .

$\ln (2 x + 1) x - 2 (\frac{x}{2} \cdot \frac{2}{2} - \frac{\ln (| 2 x + 1 |)}{4}) + C$

Bước 18.3

Viết mỗi biểu thức với mẫu số chung là $4$ , bằng cách nhân từng biểu thức với một thừa số thích hợp của $1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 18.3.1

Nhân $\frac{x}{2}$ với $\frac{2}{2}$ .

$\ln (2 x + 1) x - 2 (\frac{x \cdot 2}{2 \cdot 2} - \frac{\ln (| 2 x + 1 |)}{4}) + C$

Bước 18.3.2

Nhân $2$ với $2$ .

$\ln (2 x + 1) x - 2 (\frac{x \cdot 2}{4} - \frac{\ln (| 2 x + 1 |)}{4}) + C$

Bước 18.4

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\ln (2 x + 1) x - 2 \frac{x \cdot 2 - \ln (| 2 x + 1 |)}{4} + C$

Bước 18.5

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 18.5.1

Đưa $2$ ra ngoài $- 2$ .

$\ln (2 x + 1) x + 2 (- 1) \frac{x \cdot 2 - \ln (| 2 x + 1 |)}{4} + C$

Bước 18.5.2

Đưa $2$ ra ngoài $4$ .

$\ln (2 x + 1) x + 2 \cdot - 1 \frac{x \cdot 2 - \ln (| 2 x + 1 |)}{2 \cdot 2} + C$

Bước 18.5.3

Triệt tiêu thừa số chung.

$\ln (2 x + 1) x + 2 \cdot - 1 \frac{x \cdot 2 - \ln (| 2 x + 1 |)}{2 \cdot 2} + C$

Bước 18.5.4

Viết lại biểu thức.

$\ln (2 x + 1) x - \frac{x \cdot 2 - \ln (| 2 x + 1 |)}{2} + C$

Bước 18.6

Di chuyển $2$ sang phía bên trái của $x$ .

$\ln (2 x + 1) x - \frac{2 x - \ln (| 2 x + 1 |)}{2} + C$

Bước 19

Sắp xếp lại các số hạng.

$\ln (2 x + 1) x - \frac{1}{2} (2 x - \ln (| 2 x + 1 |)) + C$

Bước 20

Viết lại $\ln (2 x + 1) x - \frac{1}{2} (2 x - \ln (| 2 x + 1 |)) + C$ ở dạng $\ln (2 x + 1) x - 1 x + \frac{\ln (| 2 x + 1 |)}{2} + C$ .

$\ln (2 x + 1) x - 1 x + \frac{\ln (| 2 x + 1 |)}{2} + C$

Bước 21

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 21.1

Viết lại $- 1 x$ ở dạng $- x$ .

$\ln (2 x + 1) x - x + \frac{\ln (| 2 x + 1 |)}{2} + C$

Bước 21.2

Để viết $- x$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{2}{2}$ .

$\ln (2 x + 1) x - x \cdot \frac{2}{2} + \frac{\ln (| 2 x + 1 |)}{2} + C$

Bước 21.3

Kết hợp $- x$ và $\frac{2}{2}$ .

$\ln (2 x + 1) x + \frac{- x \cdot 2}{2} + \frac{\ln (| 2 x + 1 |)}{2} + C$

Bước 21.4

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\ln (2 x + 1) x + \frac{- x \cdot 2 + \ln (| 2 x + 1 |)}{2} + C$

Bước 21.5

Nhân $2$ với $- 1$ .

$\ln (2 x + 1) x + \frac{- 2 x + \ln (| 2 x + 1 |)}{2} + C$

Bước 21.6

Kết hợp $\ln (2 x + 1) x$ và $\frac{- 2 x + \ln (| 2 x + 1 |)}{2}$ bằng mẫu số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 21.6.1

Sắp xếp lại $\ln (2 x + 1)$ và $x$ .

$x \ln (2 x + 1) + \frac{- 2 x + \ln (| 2 x + 1 |)}{2} + C$

Bước 21.6.2

Để viết $x \ln (2 x + 1)$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{2}{2}$ .

$x \ln (2 x + 1) \cdot \frac{2}{2} + \frac{- 2 x + \ln (| 2 x + 1 |)}{2} + C$

Bước 21.6.3

Kết hợp $x \ln (2 x + 1)$ và $\frac{2}{2}$ .

$\frac{x \ln (2 x + 1) \cdot 2}{2} + \frac{- 2 x + \ln (| 2 x + 1 |)}{2} + C$

Bước 21.6.4

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{x \ln (2 x + 1) \cdot 2 - 2 x + \ln (| 2 x + 1 |)}{2} + C$

Bước 21.7

Di chuyển $2$ sang phía bên trái của $x \ln (2 x + 1)$ .

$\frac{2 x \ln (2 x + 1) - 2 x + \ln (| 2 x + 1 |)}{2} + C$

Bước 22

Sắp xếp lại các số hạng.

$\frac{1}{2} (2 x \ln (2 x + 1) - 2 x + \ln (| 2 x + 1 |)) + C$