Giải tích Ví dụ

$4 y^{2} + x y - 2 x^{2} = 3$

Bước 1

Tính đạo hàm hai vế của phương trình.

$\frac{d}{d x} (4 y^{2} + x y - 2 x^{2}) = \frac{d}{d x} (3)$

Bước 2

Tính đạo hàm vế trái của phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $4 y^{2} + x y - 2 x^{2}$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [4 y^{2}] + \frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [4 y^{2}] + \frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{2}]$

Bước 2.2

Tính $\frac{d}{d x} [4 y^{2}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1

Vì $4$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $4 y^{2}$ đối với $x$ là $4 \frac{d}{d x} [y^{2}]$ .

$4 \frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{2}]$

Bước 2.2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = x^{2}$ và $g (x) = y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.2.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u$ ở dạng $y$ .

$4 (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{2}]$

Bước 2.2.2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ là $n u^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$4 (2 u \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{2}]$

Bước 2.2.2.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $y$ .

$4 (2 y \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{2}]$

Bước 2.2.3

Viết lại $\frac{d}{d x} [y]$ ở dạng $y'$ .

$4 (2 y y') + \frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{2}]$

Bước 2.2.4

Nhân $2$ với $4$ .

$8 y y' + \frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{2}]$

Bước 2.3

Tính $\frac{d}{d x} [x y]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc tích số, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ là $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ trong đó $f (x) = x$ và $g (x) = y$ .

$8 y y' + x \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{2}]$

Bước 2.3.2

Viết lại $\frac{d}{d x} [y]$ ở dạng $y'$ .

$8 y y' + x y' + y \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{2}]$

Bước 2.3.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$8 y y' + x y' + y \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 2 x^{2}]$

Bước 2.3.4

Nhân $y$ với $1$ .

$8 y y' + x y' + y + \frac{d}{d x} [- 2 x^{2}]$

Bước 2.4

Tính $\frac{d}{d x} [- 2 x^{2}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.4.1

Vì $- 2$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $- 2 x^{2}$ đối với $x$ là $- 2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$8 y y' + x y' + y - 2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Bước 2.4.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$8 y y' + x y' + y - 2 (2 x)$

Bước 2.4.3

Nhân $2$ với $- 2$ .

$8 y y' + x y' + y - 4 x$

Bước 2.5

Sắp xếp lại các số hạng.

$8 y y' + x y' - 4 x + y$

Bước 3

Vì $3$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $3$ đối với $x$ là $0$ .

$0$

Bước 4

Thiết lập lại phương trình bằng cách đặt vế trái bằng vế phải.

$8 y y' + x y' - 4 x + y = 0$

Bước 5

Giải tìm $y'$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Di chuyển tất cả các số hạng không chứa $y'$ sang vế phải của phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1.1

Cộng $4 x$ cho cả hai vế của phương trình.

$8 y y' + x y' + y = 4 x$

Bước 5.1.2

Trừ $y$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$8 y y' + x y' = 4 x - y$

Bước 5.2

Đưa $y'$ ra ngoài $8 y y' + x y'$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.1

Đưa $y'$ ra ngoài $8 y y'$ .

$y' (8 y) + x (y') = 4 x - y$

Bước 5.2.2

Đưa $y'$ ra ngoài $x y'$ .

$y' (8 y) + y' (x) = 4 x - y$

Bước 5.2.3

Đưa $y'$ ra ngoài $y' (8 y) + y' (x)$ .

$y' (8 y + x) = 4 x - y$

Bước 5.3

Chia mỗi số hạng trong $y' (8 y + x) = 4 x - y$ cho $8 y + x$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.1

Chia mỗi số hạng trong $y' (8 y + x) = 4 x - y$ cho $8 y + x$ .

$\frac{y' (8 y + x)}{8 y + x} = \frac{4 x}{8 y + x} + \frac{- y}{8 y + x}$

Bước 5.3.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $8 y + x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{y' (8 y + x)}{8 y + x} = \frac{4 x}{8 y + x} + \frac{- y}{8 y + x}$

Bước 5.3.2.1.2

Chia $y'$ cho $1$ .

$y' = \frac{4 x}{8 y + x} + \frac{- y}{8 y + x}$

Bước 5.3.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.3.1

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$y' = \frac{4 x - y}{8 y + x}$

Bước 6

Thay thế $y'$ bằng $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{4 x - y}{8 y + x}$