Giải tích Ví dụ

$y = k \sqrt{x} + x \sqrt{k}$

Bước 1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $k \sqrt{x} + x \sqrt{k}$ đối với $k$ là $\frac{d}{d k} [k \sqrt{x}] + \frac{d}{d k} [x \sqrt{k}]$ .

$\frac{d}{d k} [k \sqrt{x}] + \frac{d}{d k} [x \sqrt{k}]$

Bước 2

Tính $\frac{d}{d k} [k \sqrt{x}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Vì $\sqrt{x}$ không đổi đối với $k$ , nên đạo hàm của $k \sqrt{x}$ đối với $k$ là $\sqrt{x} \frac{d}{d k} [k]$ .

$\sqrt{x} \frac{d}{d k} [k] + \frac{d}{d k} [x \sqrt{k}]$

Bước 2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d k} [k^{n}]$ là $n k^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$\sqrt{x} \cdot 1 + \frac{d}{d k} [x \sqrt{k}]$

Bước 2.3

Nhân $\sqrt{x}$ với $1$ .

$\sqrt{x} + \frac{d}{d k} [x \sqrt{k}]$

Bước 3

Tính $\frac{d}{d k} [x \sqrt{k}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt{k}$ ở dạng $k^{\frac{1}{2}}$ .

$\sqrt{x} + \frac{d}{d k} [x k^{\frac{1}{2}}]$

Bước 3.2

Vì $x$ không đổi đối với $k$ , nên đạo hàm của $x k^{\frac{1}{2}}$ đối với $k$ là $x \frac{d}{d k} [k^{\frac{1}{2}}]$ .

$\sqrt{x} + x \frac{d}{d k} [k^{\frac{1}{2}}]$

Bước 3.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d k} [k^{n}]$ là $n k^{n - 1}$ trong đó $n = \frac{1}{2}$ .

$\sqrt{x} + x (\frac{1}{2} k^{\frac{1}{2} - 1})$

Bước 3.4

Để viết $- 1$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{2}{2}$ .

$\sqrt{x} + x (\frac{1}{2} k^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})$

Bước 3.5

Kết hợp $- 1$ và $\frac{2}{2}$ .

$\sqrt{x} + x (\frac{1}{2} k^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})$

Bước 3.6

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\sqrt{x} + x (\frac{1}{2} k^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}})$

Bước 3.7

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.7.1

Nhân $- 1$ với $2$ .

$\sqrt{x} + x (\frac{1}{2} k^{\frac{1 - 2}{2}})$

Bước 3.7.2

Trừ $2$ khỏi $1$ .

$\sqrt{x} + x (\frac{1}{2} k^{\frac{- 1}{2}})$

Bước 3.8

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$\sqrt{x} + x (\frac{1}{2} k^{- \frac{1}{2}})$

Bước 3.9

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $k^{- \frac{1}{2}}$ .

$\sqrt{x} + x \frac{k^{- \frac{1}{2}}}{2}$

Bước 3.10

Kết hợp $x$ và $\frac{k^{- \frac{1}{2}}}{2}$ .

$\sqrt{x} + \frac{x k^{- \frac{1}{2}}}{2}$

Bước 3.11

Di chuyển $k^{- \frac{1}{2}}$ sang mẫu số bằng quy tắc số mũ âm $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\sqrt{x} + \frac{x}{2 k^{\frac{1}{2}}}$

Bước 4

Sắp xếp lại các số hạng.

$\frac{x}{2 k^{\frac{1}{2}}} + \sqrt{x}$