Giải tích Ví dụ

$y = \ln (e^{x} + x e^{x})$

Bước 1

Để $y = f (x)$ , lấy logarit tự nhiên của cả hai vế $\ln (y) = \ln (f (x))$ .

$\ln (y) = \ln (\ln (e^{x} + x e^{x}))$

Bước 2

Differentiate the expression using the chain rule, keeping in mind that $y$ is a function of $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Tìm đạo hàm vế trái $\ln (y)$ bằng quy tắc chuỗi.

$\frac{y'}{y} = \ln (\ln (e^{x} + x e^{x}))$

Bước 2.2

Tìm đạo hàm vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1

Tính đạo hàm $\ln (\ln (e^{x} + x e^{x}))$ .

$\frac{y'}{y} = \frac{d}{d x} [\ln (\ln (e^{x} + x e^{x}))]$

Bước 2.2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = \ln (x)$ và $g (x) = \ln (e^{x} + x e^{x})$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.2.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u_{1}$ ở dạng $\ln (e^{x} + x e^{x})$ .

$\frac{y'}{y} = \frac{d}{d u_{1}} [\ln (u_{1})] \frac{d}{d x} [\ln (e^{x} + x e^{x})]$

Bước 2.2.2.2

Đạo hàm của $\ln (u_{1})$ đối với $u_{1}$ là $\frac{1}{u_{1}}$ .

$\frac{y'}{y} = \frac{1}{u_{1}} \frac{d}{d x} [\ln (e^{x} + x e^{x})]$

Bước 2.2.2.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{1}$ với $\ln (e^{x} + x e^{x})$ .

$\frac{y'}{y} = \frac{1}{\ln (e^{x} + x e^{x})} \frac{d}{d x} [\ln (e^{x} + x e^{x})]$

Bước 2.2.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = \ln (x)$ và $g (x) = e^{x} + x e^{x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.3.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u_{2}$ ở dạng $e^{x} + x e^{x}$ .

$\frac{y'}{y} = \frac{1}{\ln (e^{x} + x e^{x})} (\frac{d}{d u_{2}} [\ln (u_{2})] \frac{d}{d x} [e^{x} + x e^{x}])$

Bước 2.2.3.2

Đạo hàm của $\ln (u_{2})$ đối với $u_{2}$ là $\frac{1}{u_{2}}$ .

$\frac{y'}{y} = \frac{1}{\ln (e^{x} + x e^{x})} (\frac{1}{u_{2}} \frac{d}{d x} [e^{x} + x e^{x}])$

Bước 2.2.3.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{2}$ với $e^{x} + x e^{x}$ .

$\frac{y'}{y} = \frac{1}{\ln (e^{x} + x e^{x})} (\frac{1}{e^{x} + x e^{x}} \frac{d}{d x} [e^{x} + x e^{x}])$

Bước 2.2.4

Tính đạo hàm bằng quy tắc tổng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.4.1

Nhân $\frac{1}{e^{x} + x e^{x}}$ với $\frac{1}{\ln (e^{x} + x e^{x})}$ .

$\frac{y'}{y} = \frac{1}{(e^{x} + x e^{x}) \ln (e^{x} + x e^{x})} \frac{d}{d x} [e^{x} + x e^{x}]$

Bước 2.2.4.2

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $e^{x} + x e^{x}$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [x e^{x}]$ .

$\frac{y'}{y} = \frac{1}{(e^{x} + x e^{x}) \ln (e^{x} + x e^{x})} (\frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [x e^{x}])$

Bước 2.2.5

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc mũ, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ là $a^{x} \ln (a)$ trong đó $a$ = $e$ .

$\frac{y'}{y} = \frac{1}{(e^{x} + x e^{x}) \ln (e^{x} + x e^{x})} (e^{x} + \frac{d}{d x} [x e^{x}])$

Bước 2.2.6

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc tích số, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ là $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ trong đó $f (x) = x$ và $g (x) = e^{x}$ .

$\frac{y'}{y} = \frac{1}{(e^{x} + x e^{x}) \ln (e^{x} + x e^{x})} (e^{x} + x \frac{d}{d x} [e^{x}] + e^{x} \frac{d}{d x} [x])$

Bước 2.2.7

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc mũ, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ là $a^{x} \ln (a)$ trong đó $a$ = $e$ .

$\frac{y'}{y} = \frac{1}{(e^{x} + x e^{x}) \ln (e^{x} + x e^{x})} (e^{x} + x e^{x} + e^{x} \frac{d}{d x} [x])$

Bước 2.2.8

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.8.1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$\frac{y'}{y} = \frac{1}{(e^{x} + x e^{x}) \ln (e^{x} + x e^{x})} (e^{x} + x e^{x} + e^{x} \cdot 1)$

Bước 2.2.8.2

Rút gọn bằng cách cộng các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.8.2.1

Nhân $e^{x}$ với $1$ .

$\frac{y'}{y} = \frac{1}{(e^{x} + x e^{x}) \ln (e^{x} + x e^{x})} (e^{x} + x e^{x} + e^{x})$

Bước 2.2.8.2.2

Cộng $e^{x}$ và $e^{x}$ .

$\frac{y'}{y} = \frac{1}{(e^{x} + x e^{x}) \ln (e^{x} + x e^{x})} (x e^{x} + 2 e^{x})$

Bước 2.2.9

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.9.1

Sắp xếp lại các thừa số của $\frac{1}{(e^{x} + x e^{x}) \ln (e^{x} + x e^{x})} (x e^{x} + 2 e^{x})$ .

$\frac{y'}{y} = (x e^{x} + 2 e^{x}) \frac{1}{(e^{x} + x e^{x}) \ln (e^{x} + x e^{x})}$

Bước 2.2.9.2

Đưa $e^{x}$ ra ngoài $e^{x} + x e^{x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.9.2.1

Nhân với $1$ .

$\frac{y'}{y} = (x e^{x} + 2 e^{x}) \frac{1}{(e^{x} \cdot 1 + x e^{x}) \ln (e^{x} + x e^{x})}$

Bước 2.2.9.2.2

Đưa $e^{x}$ ra ngoài $x e^{x}$ .

$\frac{y'}{y} = (x e^{x} + 2 e^{x}) \frac{1}{(e^{x} \cdot 1 + e^{x} x) \ln (e^{x} + x e^{x})}$

Bước 2.2.9.2.3

Đưa $e^{x}$ ra ngoài $e^{x} \cdot 1 + e^{x} x$ .

$\frac{y'}{y} = (x e^{x} + 2 e^{x}) \frac{1}{e^{x} (1 + x) \ln (e^{x} + x e^{x})}$

Bước 2.2.9.3

Nhân $x e^{x} + 2 e^{x}$ với $\frac{1}{e^{x} (1 + x) \ln (e^{x} + x e^{x})}$ .

$\frac{y'}{y} = \frac{x e^{x} + 2 e^{x}}{e^{x} (1 + x) \ln (e^{x} + x e^{x})}$

Bước 2.2.9.4

Đưa $e^{x}$ ra ngoài $x e^{x} + 2 e^{x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.9.4.1

Đưa $e^{x}$ ra ngoài $x e^{x}$ .

$\frac{y'}{y} = \frac{e^{x} x + 2 e^{x}}{e^{x} (1 + x) \ln (e^{x} + x e^{x})}$

Bước 2.2.9.4.2

Đưa $e^{x}$ ra ngoài $2 e^{x}$ .

$\frac{y'}{y} = \frac{e^{x} x + e^{x} \cdot 2}{e^{x} (1 + x) \ln (e^{x} + x e^{x})}$

Bước 2.2.9.4.3

Đưa $e^{x}$ ra ngoài $e^{x} x + e^{x} \cdot 2$ .

$\frac{y'}{y} = \frac{e^{x} (x + 2)}{e^{x} (1 + x) \ln (e^{x} + x e^{x})}$

Bước 2.2.9.5

Triệt tiêu thừa số chung $e^{x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.9.5.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{y'}{y} = \frac{e^{x} (x + 2)}{e^{x} (1 + x) \ln (e^{x} + x e^{x})}$

Bước 2.2.9.5.2

Viết lại biểu thức.

$\frac{y'}{y} = \frac{x + 2}{(1 + x) \ln (e^{x} + x e^{x})}$

Bước 2.2.9.6

Sắp xếp lại các thừa số trong $\frac{x + 2}{(1 + x) \ln (e^{x} + x e^{x})}$ .

$\frac{y'}{y} = \frac{x + 2}{\ln (e^{x} + x e^{x}) (1 + x)}$

Bước 3

Tách riêng $y'$ và thay hàm số ban đầu cho $y$ ở vế phải.

$y' = \frac{x + 2}{\ln (e^{x} + x e^{x}) (1 + x)} \ln (e^{x} + x e^{x})$

Bước 4

Triệt tiêu thừa số chung $\ln (e^{x} + x e^{x})$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$y' = \frac{x + 2}{\ln (e^{x} + x e^{x}) (1 + x)} \ln (e^{x} + x e^{x})$

Bước 4.2

Viết lại biểu thức.

$y' = \frac{x + 2}{1 + x}$