Giải tích Ví dụ

$\int {(2 - \frac{1}{p^{2}})}^{2} d p$

Bước 1

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Viết lại ${(2 - \frac{1}{p^{2}})}^{2}$ ở dạng $(2 - \frac{1}{p^{2}}) (2 - \frac{1}{p^{2}})$ .

$\int (2 - \frac{1}{p^{2}}) (2 - \frac{1}{p^{2}}) d p$

Bước 1.2

Khai triển $(2 - \frac{1}{p^{2}}) (2 - \frac{1}{p^{2}})$ bằng cách sử dụng Phương pháp FOIL.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\int 2 (2 - \frac{1}{p^{2}}) - \frac{1}{p^{2}} (2 - \frac{1}{p^{2}}) d p$

Bước 1.2.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\int 2 \cdot 2 + 2 (- \frac{1}{p^{2}}) - \frac{1}{p^{2}} (2 - \frac{1}{p^{2}}) d p$

Bước 1.2.3

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\int 2 \cdot 2 + 2 (- \frac{1}{p^{2}}) - \frac{1}{p^{2}} \cdot 2 - \frac{1}{p^{2}} (- \frac{1}{p^{2}}) d p$

Bước 1.3

Rút gọn và kết hợp các số hạng đồng dạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.1.1

Nhân $2$ với $2$ .

$\int 4 + 2 (- \frac{1}{p^{2}}) - \frac{1}{p^{2}} \cdot 2 - \frac{1}{p^{2}} (- \frac{1}{p^{2}}) d p$

Bước 1.3.1.2

Nhân $2 (- \frac{1}{p^{2}})$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.1.2.1

Nhân $- 1$ với $2$ .

$\int 4 - 2 \frac{1}{p^{2}} - \frac{1}{p^{2}} \cdot 2 - \frac{1}{p^{2}} (- \frac{1}{p^{2}}) d p$

Bước 1.3.1.2.2

Kết hợp $- 2$ và $\frac{1}{p^{2}}$ .

$\int 4 + \frac{- 2}{p^{2}} - \frac{1}{p^{2}} \cdot 2 - \frac{1}{p^{2}} (- \frac{1}{p^{2}}) d p$

Bước 1.3.1.3

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$\int 4 - \frac{2}{p^{2}} - \frac{1}{p^{2}} \cdot 2 - \frac{1}{p^{2}} (- \frac{1}{p^{2}}) d p$

Bước 1.3.1.4

Nhân $- \frac{1}{p^{2}} \cdot 2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.1.4.1

Nhân $2$ với $- 1$ .

$\int 4 - \frac{2}{p^{2}} - 2 \frac{1}{p^{2}} - \frac{1}{p^{2}} (- \frac{1}{p^{2}}) d p$

Bước 1.3.1.4.2

Kết hợp $- 2$ và $\frac{1}{p^{2}}$ .

$\int 4 - \frac{2}{p^{2}} + \frac{- 2}{p^{2}} - \frac{1}{p^{2}} (- \frac{1}{p^{2}}) d p$

Bước 1.3.1.5

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$\int 4 - \frac{2}{p^{2}} - \frac{2}{p^{2}} - \frac{1}{p^{2}} (- \frac{1}{p^{2}}) d p$

Bước 1.3.1.6

Nhân $- \frac{1}{p^{2}} (- \frac{1}{p^{2}})$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.1.6.1

Nhân $- 1$ với $- 1$ .

$\int 4 - \frac{2}{p^{2}} - \frac{2}{p^{2}} + 1 \frac{1}{p^{2}} \frac{1}{p^{2}} d p$

Bước 1.3.1.6.2

Nhân $\frac{1}{p^{2}}$ với $1$ .

$\int 4 - \frac{2}{p^{2}} - \frac{2}{p^{2}} + \frac{1}{p^{2}} \cdot \frac{1}{p^{2}} d p$

Bước 1.3.1.6.3

Nhân $\frac{1}{p^{2}}$ với $\frac{1}{p^{2}}$ .

$\int 4 - \frac{2}{p^{2}} - \frac{2}{p^{2}} + \frac{1}{p^{2} p^{2}} d p$

Bước 1.3.1.6.4

Nhân $p^{2}$ với $p^{2}$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.1.6.4.1

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\int 4 - \frac{2}{p^{2}} - \frac{2}{p^{2}} + \frac{1}{p^{2 + 2}} d p$

Bước 1.3.1.6.4.2

Cộng $2$ và $2$ .

$\int 4 - \frac{2}{p^{2}} - \frac{2}{p^{2}} + \frac{1}{p^{4}} d p$

Bước 1.3.2

Trừ $\frac{2}{p^{2}}$ khỏi $- \frac{2}{p^{2}}$ .

$\int 4 - 2 \frac{2}{p^{2}} + \frac{1}{p^{4}} d p$

Bước 1.4

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.4.1

Nhân $- 2 \frac{2}{p^{2}}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.4.1.1

Kết hợp $- 2$ và $\frac{2}{p^{2}}$ .

$\int 4 + \frac{- 2 \cdot 2}{p^{2}} + \frac{1}{p^{4}} d p$

Bước 1.4.1.2

Nhân $- 2$ với $2$ .

$\int 4 + \frac{- 4}{p^{2}} + \frac{1}{p^{4}} d p$

Bước 1.4.2

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$\int 4 - \frac{4}{p^{2}} + \frac{1}{p^{4}} d p$

Bước 2

Chia tích phân đơn thành nhiều tích phân.

$\int 4 d p + \int - \frac{4}{p^{2}} d p + \int \frac{1}{p^{4}} d p$

Bước 3

Áp dụng quy tắc hằng số.

$4 p + C + \int - \frac{4}{p^{2}} d p + \int \frac{1}{p^{4}} d p$

Bước 4

Vì $- 1$ không đổi đối với $p$ , hãy di chuyển $- 1$ ra khỏi tích phân.

$4 p + C - \int \frac{4}{p^{2}} d p + \int \frac{1}{p^{4}} d p$

Bước 5

Vì $4$ không đổi đối với $p$ , hãy di chuyển $4$ ra khỏi tích phân.

$4 p + C - (4 \int \frac{1}{p^{2}} d p) + \int \frac{1}{p^{4}} d p$

Bước 6

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Nhân $4$ với $- 1$ .

$4 p + C - 4 \int \frac{1}{p^{2}} d p + \int \frac{1}{p^{4}} d p$

Bước 6.2

Di chuyển $p^{2}$ ra ngoài mẫu số bằng cách nâng nó lên lũy thừa $- 1$ .

$4 p + C - 4 \int {(p^{2})}^{- 1} d p + \int \frac{1}{p^{4}} d p$

Bước 6.3

Nhân các số mũ trong ${(p^{2})}^{- 1}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.3.1

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$4 p + C - 4 \int p^{2 \cdot - 1} d p + \int \frac{1}{p^{4}} d p$

Bước 6.3.2

Nhân $2$ với $- 1$ .

$4 p + C - 4 \int p^{- 2} d p + \int \frac{1}{p^{4}} d p$

Bước 7

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $p^{- 2}$ đối với $p$ là $- p^{- 1}$ .

$4 p + C - 4 (- p^{- 1} + C) + \int \frac{1}{p^{4}} d p$

Bước 8

Áp dụng các quy tắc số mũ cơ bản.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.1

Di chuyển $p^{4}$ ra ngoài mẫu số bằng cách nâng nó lên lũy thừa $- 1$ .

$4 p + C - 4 (- p^{- 1} + C) + \int {(p^{4})}^{- 1} d p$

Bước 8.2

Nhân các số mũ trong ${(p^{4})}^{- 1}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.2.1

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$4 p + C - 4 (- p^{- 1} + C) + \int p^{4 \cdot - 1} d p$

Bước 8.2.2

Nhân $4$ với $- 1$ .

$4 p + C - 4 (- p^{- 1} + C) + \int p^{- 4} d p$

Bước 9

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $p^{- 4}$ đối với $p$ là $- \frac{1}{3} p^{- 3}$ .

$4 p + C - 4 (- p^{- 1} + C) - \frac{1}{3} p^{- 3} + C$

Bước 10

Rút gọn.

$4 p + \frac{4}{p} - \frac{1}{3} p^{- 3} + C$