Giải tích Ví dụ

$f (x) = x^{3} - x^{2} + 5$ , $a = - 2$

Bước 1

Xét hàm số đã sử dụng để tìm sự tuyến tính hóa tại $a$ .

$L (x) = f (a) + f' (a) (x - a)$

Bước 2

Thay giá trị của $a = - 2$ vào hàm số tuyến tính hóa.

$L (x) = f (- 2) + f' (- 2) (x - - 2)$

Bước 3

Tính $f (- 2)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Thay thế biến $x$ bằng $- 2$ trong biểu thức.

$f (- 2) = {(- 2)}^{3} - {(- 2)}^{2} + 5$

Bước 3.2

Rút gọn ${(- 2)}^{3} - {(- 2)}^{2} + 5$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.1

Loại bỏ các dấu ngoặc đơn.

${(- 2)}^{3} - {(- 2)}^{2} + 5$

Bước 3.2.2

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.2.1

Nâng $- 2$ lên lũy thừa $3$ .

$- 8 - {(- 2)}^{2} + 5$

Bước 3.2.2.2

Nâng $- 2$ lên lũy thừa $2$ .

$- 8 - 1 \cdot 4 + 5$

Bước 3.2.2.3

Nhân $- 1$ với $4$ .

$- 8 - 4 + 5$

Bước 3.2.3

Rút gọn bằng cách cộng và trừ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.3.1

Trừ $4$ khỏi $- 8$ .

$- 12 + 5$

Bước 3.2.3.2

Cộng $- 12$ và $5$ .

$- 7$

Bước 4

Tìm đạo hàm và tính giá trị của nó tại $- 2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Tìm đạo hàm của $f (x) = x^{3} - x^{2} + 5$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.1

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.1.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $x^{3} - x^{2} + 5$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [5]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [5]$

Bước 4.1.1.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 3$ .

$3 x^{2} + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [5]$

Bước 4.1.2

Tính $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.2.1

Vì $- 1$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $- x^{2}$ đối với $x$ là $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$3 x^{2} - \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [5]$

Bước 4.1.2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$3 x^{2} - (2 x) + \frac{d}{d x} [5]$

Bước 4.1.2.3

Nhân $2$ với $- 1$ .

$3 x^{2} - 2 x + \frac{d}{d x} [5]$

Bước 4.1.3

Tìm đạo hàm bằng quy tắc hằng số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.3.1

Vì $5$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $5$ đối với $x$ là $0$ .

$3 x^{2} - 2 x + 0$

Bước 4.1.3.2

Cộng $3 x^{2} - 2 x$ và $0$ .

$3 x^{2} - 2 x$

Bước 4.2

Thay thế biến $x$ bằng $- 2$ trong biểu thức.

$3 {(- 2)}^{2} - 2 \cdot - 2$

Bước 4.3

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.1.1

Nâng $- 2$ lên lũy thừa $2$ .

$3 \cdot 4 - 2 \cdot - 2$

Bước 4.3.1.2

Nhân $3$ với $4$ .

$12 - 2 \cdot - 2$

Bước 4.3.1.3

Nhân $- 2$ với $- 2$ .

$12 + 4$

Bước 4.3.2

Cộng $12$ và $4$ .

$16$

Bước 5

Thay các thành phần vào hàm tuyến tính hóa để tìm sự tuyến tính hóa tại $a$ .

$L (x) = - 7 + 16 (x - - 2)$

Bước 6

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$L (x) = - 7 + 16 x + 16 \cdot 2$

Bước 6.1.2

Nhân $16$ với $2$ .

$L (x) = - 7 + 16 x + 32$

Bước 6.2

Cộng $- 7$ và $32$ .

$L (x) = 16 x + 25$

Bước 7