Giải tích Ví dụ

$f (x) = 2 x^{2} - x^{4}$

Bước 1

Tìm đạo hàm bậc một của hàm số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $2 x^{2} - x^{4}$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x^{4}]$ .

$\frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x^{4}]$

Bước 1.2

Tính $\frac{d}{d x} [2 x^{2}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.1

Vì $2$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $2 x^{2}$ đối với $x$ là $2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x^{4}]$

Bước 1.2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$2 (2 x) + \frac{d}{d x} [- x^{4}]$

Bước 1.2.3

Nhân $2$ với $2$ .

$4 x + \frac{d}{d x} [- x^{4}]$

Bước 1.3

Tính $\frac{d}{d x} [- x^{4}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.1

Vì $- 1$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $- x^{4}$ đối với $x$ là $- \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$4 x - \frac{d}{d x} [x^{4}]$

Bước 1.3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 4$ .

$4 x - (4 x^{3})$

Bước 1.3.3

Nhân $4$ với $- 1$ .

$4 x - 4 x^{3}$

Bước 1.4

Sắp xếp lại các số hạng.

$- 4 x^{3} + 4 x$

Bước 2

Tìm đạo hàm bậc hai của hàm số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $- 4 x^{3} + 4 x$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [- 4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [4 x]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (- 4 x^{3}) + \frac{d}{d x} (4 x)$

Bước 2.2

Tính $\frac{d}{d x} [- 4 x^{3}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1

Vì $- 4$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $- 4 x^{3}$ đối với $x$ là $- 4 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$f'' (x) = - 4 \frac{d}{d x} x^{3} + \frac{d}{d x} (4 x)$

Bước 2.2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 3$ .

$f'' (x) = - 4 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (4 x)$

Bước 2.2.3

Nhân $3$ với $- 4$ .

$f'' (x) = - 12 x^{2} + \frac{d}{d x} (4 x)$

Bước 2.3

Tính $\frac{d}{d x} [4 x]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1

Vì $4$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $4 x$ đối với $x$ là $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = - 12 x^{2} + 4 \frac{d}{d x} (x)$

Bước 2.3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$f'' (x) = - 12 x^{2} + 4 \cdot 1$

Bước 2.3.3

Nhân $4$ với $1$ .

$f'' (x) = - 12 x^{2} + 4$

Bước 3

Để tìm các giá trị cực đại địa phương và cực tiểu địa phương của hàm số, đặt đạo hàm bằng $0$ và giải.

$- 4 x^{3} + 4 x = 0$

Bước 4

Tìm đạo hàm bậc một.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Tìm đạo hàm bậc một.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $2 x^{2} - x^{4}$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x^{4}]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (2 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- x^{4})$

Bước 4.1.2

Tính $\frac{d}{d x} [2 x^{2}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.2.1

Vì $2$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $2 x^{2}$ đối với $x$ là $2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f' (x) = 2 \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- x^{4})$

Bước 4.1.2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$f' (x) = 2 (2 x) + \frac{d}{d x} (- x^{4})$

Bước 4.1.2.3

Nhân $2$ với $2$ .

$f' (x) = 4 x + \frac{d}{d x} (- x^{4})$

Bước 4.1.3

Tính $\frac{d}{d x} [- x^{4}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.3.1

Vì $- 1$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $- x^{4}$ đối với $x$ là $- \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$f' (x) = 4 x - \frac{d}{d x} x^{4}$

Bước 4.1.3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 4$ .

$f' (x) = 4 x - (4 x^{3})$

Bước 4.1.3.3

Nhân $4$ với $- 1$ .

$f' (x) = 4 x - 4 x^{3}$

Bước 4.1.4

Sắp xếp lại các số hạng.

$f' (x) = - 4 x^{3} + 4 x$

Bước 4.2

Đạo hàm bậc nhất của $f (x)$ đối với $x$ là $- 4 x^{3} + 4 x$ .

$- 4 x^{3} + 4 x$

Bước 5

Cho đạo hàm bằng $0$ rồi giải phương trình $- 4 x^{3} + 4 x = 0$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Cho đạo hàm bằng $0$ .

$- 4 x^{3} + 4 x = 0$

Bước 5.2

Phân tích vế trái của phương trình thành thừa số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.1

Đưa $- 4 x$ ra ngoài $- 4 x^{3} + 4 x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.1.1

Đưa $- 4 x$ ra ngoài $- 4 x^{3}$ .

$- 4 x \cdot x^{2} + 4 x = 0$

Bước 5.2.1.2

Đưa $- 4 x$ ra ngoài $4 x$ .

$- 4 x \cdot x^{2} - 4 x \cdot - 1 = 0$

Bước 5.2.1.3

Đưa $- 4 x$ ra ngoài $- 4 x (x^{2}) - 4 x (- 1)$ .

$- 4 x (x^{2} - 1) = 0$

Bước 5.2.2

Viết lại $1$ ở dạng $1^{2}$ .

$- 4 x (x^{2} - 1^{2}) = 0$

Bước 5.2.3

Phân tích thành thừa số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.3.1

Vì cả hai số hạng đều là số chính phương, nên ta phân tích thành thừa số bằng công thức hiệu của hai bình phương, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ trong đó $a = x$ và $b = 1$ .

$- 4 x ((x + 1) (x - 1)) = 0$

Bước 5.2.3.2

Loại bỏ các dấu ngoặc đơn không cần thiết.

$- 4 x (x + 1) (x - 1) = 0$

Bước 5.3

Nếu bất kỳ thừa số riêng lẻ nào ở vế trái của phương trình bằng $0$ , toàn bộ biểu thức sẽ bằng $0$ .

$x = 0$

$x + 1 = 0$

$x - 1 = 0$

Bước 5.4

Đặt $x$ bằng với $0$ .

$x = 0$

Bước 5.5

Đặt $x + 1$ bằng $0$ và giải tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.5.1

Đặt $x + 1$ bằng với $0$ .

$x + 1 = 0$

Bước 5.5.2

Trừ $1$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$x = - 1$

Bước 5.6

Đặt $x - 1$ bằng $0$ và giải tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.6.1

Đặt $x - 1$ bằng với $0$ .

$x - 1 = 0$

Bước 5.6.2

Cộng $1$ cho cả hai vế của phương trình.

$x = 1$

Bước 5.7

Đáp án cuối cùng là tất cả các giá trị làm cho $- 4 x (x + 1) (x - 1) = 0$ đúng.

$x = 0, - 1, 1$

Bước 6

Tìm các giá trị có đạo hàm tại đó không xác định.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Tập xác định của biểu thức là tất cả các số thực trừ trường hợp biểu thức không xác định. Trong trường hợp này, không có số thực nào làm cho biểu thức không xác định.

Bước 7

Các điểm cực trị cần tính.

$x = 0, - 1, 1$

Bước 8

Tính đạo hàm bậc hai tại $x = 0$ . Nếu đạo hàm bậc hai dương, thì đây là một cực tiểu địa phương. Nếu nó âm, thì đây là một cực đại địa phương.

$- 12 {(0)}^{2} + 4$

Bước 9

Tính đạo hàm bậc hai.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.1.1

Nâng $0$ lên bất kỳ số mũ dương nào sẽ cho $0$ .

$- 12 \cdot 0 + 4$

Bước 9.1.2

Nhân $- 12$ với $0$ .

$0 + 4$

Bước 9.2

Cộng $0$ và $4$ .

$4$

Bước 10

$x = 0$ là một cực tiểu địa phương vì giá trị của đạo hàm bậc hai dương. Đây được gọi là phép kiểm định đạo hàm bậc hai.

$x = 0$ là cực tiểu địa phương

Bước 11

Tìm giá trị y khi $x = 0$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.1

Thay thế biến $x$ bằng $0$ trong biểu thức.

$f (0) = 2 {(0)}^{2} - {(0)}^{4}$

Bước 11.2

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.2.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.2.1.1

Nâng $0$ lên bất kỳ số mũ dương nào sẽ cho $0$ .

$f (0) = 2 \cdot 0 - {(0)}^{4}$

Bước 11.2.1.2

Nhân $2$ với $0$ .

$f (0) = 0 - {(0)}^{4}$

Bước 11.2.1.3

Nâng $0$ lên bất kỳ số mũ dương nào sẽ cho $0$ .

$f (0) = 0 - 0$

Bước 11.2.1.4

Nhân $- 1$ với $0$ .

$f (0) = 0 + 0$

Bước 11.2.2

Cộng $0$ và $0$ .

$f (0) = 0$

Bước 11.2.3

Câu trả lời cuối cùng là $0$ .

$y = 0$

Bước 12

Tính đạo hàm bậc hai tại $x = - 1$ . Nếu đạo hàm bậc hai dương, thì đây là một cực tiểu địa phương. Nếu nó âm, thì đây là một cực đại địa phương.

$- 12 {(- 1)}^{2} + 4$

Bước 13

Tính đạo hàm bậc hai.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 13.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 13.1.1

Nâng $- 1$ lên lũy thừa $2$ .

$- 12 \cdot 1 + 4$

Bước 13.1.2

Nhân $- 12$ với $1$ .

$- 12 + 4$

Bước 13.2

Cộng $- 12$ và $4$ .

$- 8$

Bước 14

$x = - 1$ là một cực đại địa phương vì giá trị của đạo hàm bậc hai âm. Đây được gọi là phép kiểm định đạo hàm bậc hai.

$x = - 1$ là cực đại địa phương

Bước 15

Tìm giá trị y khi $x = - 1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 15.1

Thay thế biến $x$ bằng $- 1$ trong biểu thức.

$f (- 1) = 2 {(- 1)}^{2} - {(- 1)}^{4}$

Bước 15.2

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 15.2.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 15.2.1.1

Nâng $- 1$ lên lũy thừa $2$ .

$f (- 1) = 2 \cdot 1 - {(- 1)}^{4}$

Bước 15.2.1.2

Nhân $2$ với $1$ .

$f (- 1) = 2 - {(- 1)}^{4}$

Bước 15.2.1.3

Nhân $- 1$ với ${(- 1)}^{4}$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 15.2.1.3.1

Nhân $- 1$ với ${(- 1)}^{4}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 15.2.1.3.1.1

Nâng $- 1$ lên lũy thừa $1$ .

$f (- 1) = 2 + (- 1) {(- 1)}^{4}$

Bước 15.2.1.3.1.2

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$f (- 1) = 2 + {(- 1)}^{1 + 4}$

Bước 15.2.1.3.2

Cộng $1$ và $4$ .

$f (- 1) = 2 + {(- 1)}^{5}$

Bước 15.2.1.4

Nâng $- 1$ lên lũy thừa $5$ .

$f (- 1) = 2 - 1$

Bước 15.2.2

Trừ $1$ khỏi $2$ .

$f (- 1) = 1$

Bước 15.2.3

Câu trả lời cuối cùng là $1$ .

$y = 1$

Bước 16

Tính đạo hàm bậc hai tại $x = 1$ . Nếu đạo hàm bậc hai dương, thì đây là một cực tiểu địa phương. Nếu nó âm, thì đây là một cực đại địa phương.

$- 12 {(1)}^{2} + 4$

Bước 17

Tính đạo hàm bậc hai.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 17.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 17.1.1

Một mũ bất kỳ số nào là một.

$- 12 \cdot 1 + 4$

Bước 17.1.2

Nhân $- 12$ với $1$ .

$- 12 + 4$

Bước 17.2

Cộng $- 12$ và $4$ .

$- 8$

Bước 18

$x = 1$ là một cực đại địa phương vì giá trị của đạo hàm bậc hai âm. Đây được gọi là phép kiểm định đạo hàm bậc hai.

$x = 1$ là cực đại địa phương

Bước 19

Tìm giá trị y khi $x = 1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 19.1

Thay thế biến $x$ bằng $1$ trong biểu thức.

$f (1) = 2 {(1)}^{2} - {(1)}^{4}$

Bước 19.2

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 19.2.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 19.2.1.1

Một mũ bất kỳ số nào là một.

$f (1) = 2 \cdot 1 - {(1)}^{4}$

Bước 19.2.1.2

Nhân $2$ với $1$ .

$f (1) = 2 - {(1)}^{4}$

Bước 19.2.1.3

Một mũ bất kỳ số nào là một.

$f (1) = 2 - 1 \cdot 1$

Bước 19.2.1.4

Nhân $- 1$ với $1$ .

$f (1) = 2 - 1$

Bước 19.2.2

Trừ $1$ khỏi $2$ .

$f (1) = 1$

Bước 19.2.3

Câu trả lời cuối cùng là $1$ .

$y = 1$

Bước 20

Đây là những cực trị địa phương cho $f (x) = 2 x^{2} - x^{4}$ .

$(0, 0)$ là một cực tiểu địa phương

$(- 1, 1)$ là một cực đại địa phuơng

$(1, 1)$ là một cực đại địa phuơng

Bước 21