Giải tích Ví dụ

$x e^{- x} - 2 e^{- x}$

Bước 1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $x e^{- x} - 2 e^{- x}$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [x e^{- x}] + \frac{d}{d x} [- 2 e^{- x}]$ .

$\frac{d}{d x} [x e^{- x}] + \frac{d}{d x} [- 2 e^{- x}]$

Bước 2

Tính $\frac{d}{d x} [x e^{- x}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc tích số, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ là $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ trong đó $f (x) = x$ và $g (x) = e^{- x}$ .

$x \frac{d}{d x} [e^{- x}] + e^{- x} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2 e^{- x}]$

Bước 2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = e^{x}$ và $g (x) = - x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u_{1}$ ở dạng $- x$ .

$x (\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [- x]) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2 e^{- x}]$

Bước 2.2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc mũ, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ là $a^{u_{1}} \ln (a)$ trong đó $a$ = $e$ .

$x (e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [- x]) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2 e^{- x}]$

Bước 2.2.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{1}$ với $- x$ .

$x (e^{- x} \frac{d}{d x} [- x]) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2 e^{- x}]$

Bước 2.3

Vì $- 1$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $- x$ đối với $x$ là $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$x (e^{- x} (- \frac{d}{d x} [x])) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2 e^{- x}]$

Bước 2.4

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$x (e^{- x} (- 1 \cdot 1)) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2 e^{- x}]$

Bước 2.5

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$x (e^{- x} (- 1 \cdot 1)) + e^{- x} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 2 e^{- x}]$

Bước 2.6

Nhân $- 1$ với $1$ .

$x (e^{- x} \cdot - 1) + e^{- x} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 2 e^{- x}]$

Bước 2.7

Di chuyển $- 1$ sang phía bên trái của $e^{- x}$ .

$x (- 1 \cdot e^{- x}) + e^{- x} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 2 e^{- x}]$

Bước 2.8

Viết lại $- 1 e^{- x}$ ở dạng $- e^{- x}$ .

$x (- e^{- x}) + e^{- x} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 2 e^{- x}]$

Bước 2.9

Nhân $e^{- x}$ với $1$ .

$x (- e^{- x}) + e^{- x} + \frac{d}{d x} [- 2 e^{- x}]$

Bước 3

Tính $\frac{d}{d x} [- 2 e^{- x}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Vì $- 2$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $- 2 e^{- x}$ đối với $x$ là $- 2 \frac{d}{d x} [e^{- x}]$ .

$x (- e^{- x}) + e^{- x} - 2 \frac{d}{d x} [e^{- x}]$

Bước 3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = e^{x}$ và $g (x) = - x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u_{2}$ ở dạng $- x$ .

$x (- e^{- x}) + e^{- x} - 2 (\frac{d}{d u_{2}} [e^{u_{2}}] \frac{d}{d x} [- x])$

Bước 3.2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc mũ, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ là $a^{u_{2}} \ln (a)$ trong đó $a$ = $e$ .

$x (- e^{- x}) + e^{- x} - 2 (e^{u_{2}} \frac{d}{d x} [- x])$

Bước 3.2.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{2}$ với $- x$ .

$x (- e^{- x}) + e^{- x} - 2 (e^{- x} \frac{d}{d x} [- x])$

Bước 3.3

Vì $- 1$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $- x$ đối với $x$ là $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$x (- e^{- x}) + e^{- x} - 2 (e^{- x} (- \frac{d}{d x} [x]))$

Bước 3.4

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$x (- e^{- x}) + e^{- x} - 2 (e^{- x} (- 1 \cdot 1))$

Bước 3.5

Nhân $- 1$ với $1$ .

$x (- e^{- x}) + e^{- x} - 2 (e^{- x} \cdot - 1)$

Bước 3.6

Di chuyển $- 1$ sang phía bên trái của $e^{- x}$ .

$x (- e^{- x}) + e^{- x} - 2 (- 1 \cdot e^{- x})$

Bước 3.7

Viết lại $- 1 e^{- x}$ ở dạng $- e^{- x}$ .

$x (- e^{- x}) + e^{- x} - 2 (- e^{- x})$

Bước 3.8

Nhân $- 1$ với $- 2$ .

$x (- e^{- x}) + e^{- x} + 2 e^{- x}$

Bước 4

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Cộng $e^{- x}$ và $2 e^{- x}$ .

$x (- e^{- x}) + 3 e^{- x}$

Bước 4.2

Sắp xếp lại các số hạng.

$- e^{- x} x + 3 e^{- x}$

Bước 4.3

Sắp xếp lại các thừa số trong $- e^{- x} x + 3 e^{- x}$ .

$- x e^{- x} + 3 e^{- x}$