Giải tích Ví dụ

$\int_{0}^{1} 14 \sqrt[3]{1 + 7 x} d x$

Bước 1

Vì $14$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $14$ ra khỏi tích phân.

$14 \int_{0}^{1} \sqrt[3]{1 + 7 x} d x$

Bước 2

Giả sử $u = 1 + 7 x$ . Sau đó $d u = 7 d x$ , nên $\frac{1}{7} d u = d x$ . Viết lại bằng $u$ và $d$ $u$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Hãy đặt $u = 1 + 7 x$ . Tìm $\frac{d u}{d x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.1

Tính đạo hàm $1 + 7 x$ .

$\frac{d}{d x} [1 + 7 x]$

Bước 2.1.2

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.2.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $1 + 7 x$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [7 x]$ .

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [7 x]$

Bước 2.1.2.2

Vì $1$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $1$ đối với $x$ là $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [7 x]$

Bước 2.1.3

Tính $\frac{d}{d x} [7 x]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.3.1

Vì $7$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $7 x$ đối với $x$ là $7 \frac{d}{d x} [x]$ .

$0 + 7 \frac{d}{d x} [x]$

Bước 2.1.3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$0 + 7 \cdot 1$

Bước 2.1.3.3

Nhân $7$ với $1$ .

$0 + 7$

Bước 2.1.4

Cộng $0$ và $7$ .

$7$

Bước 2.2

Thay giới hạn dưới vào cho $x$ trong $u = 1 + 7 x$ .

$u_{lower} = 1 + 7 \cdot 0$

Bước 2.3

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1

Nhân $7$ với $0$ .

$u_{lower} = 1 + 0$

Bước 2.3.2

Cộng $1$ và $0$ .

$u_{lower} = 1$

Bước 2.4

Thay giới hạn trên vào cho $x$ trong $u = 1 + 7 x$ .

$u_{upper} = 1 + 7 \cdot 1$

Bước 2.5

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.5.1

Nhân $7$ với $1$ .

$u_{upper} = 1 + 7$

Bước 2.5.2

Cộng $1$ và $7$ .

$u_{upper} = 8$

Bước 2.6

Các giá trị tìm được cho $u_{lower}$ và $u_{upper}$ sẽ được sử dụng để tính tích phân xác định.

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = 8$

Bước 2.7

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u$ , $d u$ , và các giới hạn mới của phép tích phân.

$14 \int_{1}^{8} \sqrt[3]{u} \frac{1}{7} d u$

Bước 3

Kết hợp $\sqrt[3]{u}$ và $\frac{1}{7}$ .

$14 \int_{1}^{8} \frac{\sqrt[3]{u}}{7} d u$

Bước 4

Vì $\frac{1}{7}$ không đổi đối với $u$ , hãy di chuyển $\frac{1}{7}$ ra khỏi tích phân.

$14 (\frac{1}{7} \int_{1}^{8} \sqrt[3]{u} d u)$

Bước 5

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1.1

Kết hợp $\frac{1}{7}$ và $14$ .

$\frac{14}{7} \int_{1}^{8} \sqrt[3]{u} d u$

Bước 5.1.2

Triệt tiêu thừa số chung của $14$ và $7$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1.2.1

Đưa $7$ ra ngoài $14$ .

$\frac{7 \cdot 2}{7} \int_{1}^{8} \sqrt[3]{u} d u$

Bước 5.1.2.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1.2.2.1

Đưa $7$ ra ngoài $7$ .

$\frac{7 \cdot 2}{7 (1)} \int_{1}^{8} \sqrt[3]{u} d u$

Bước 5.1.2.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{7 \cdot 2}{7 \cdot 1} \int_{1}^{8} \sqrt[3]{u} d u$

Bước 5.1.2.2.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{2}{1} \int_{1}^{8} \sqrt[3]{u} d u$

Bước 5.1.2.2.4

Chia $2$ cho $1$ .

$2 \int_{1}^{8} \sqrt[3]{u} d u$

Bước 5.2

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt[3]{u}$ ở dạng $u^{\frac{1}{3}}$ .

$2 \int_{1}^{8} u^{\frac{1}{3}} d u$

Bước 6

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $u^{\frac{1}{3}}$ đối với $u$ là $\frac{3}{4} u^{\frac{4}{3}}$ .

$2 (\frac{3}{4} u^{\frac{4}{3}}]_{1}^{8})$

Bước 7

Kết hợp $\frac{3}{4}$ và $u^{\frac{4}{3}}$ .

$2 (\frac{3 u^{\frac{4}{3}}}{4}]_{1}^{8})$

Bước 8

Thay và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.1

Tính $\frac{3 u^{\frac{4}{3}}}{4}$ tại $8$ và tại $1$ .

$2 ((\frac{3 \cdot 8^{\frac{4}{3}}}{4}) - \frac{3 \cdot 1^{\frac{4}{3}}}{4})$

Bước 8.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.2.1

Viết lại $8$ ở dạng $2^{3}$ .

$2 (\frac{3 \cdot {(2^{3})}^{\frac{4}{3}}}{4} - \frac{3 \cdot 1^{\frac{4}{3}}}{4})$

Bước 8.2.2

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$2 (\frac{3 \cdot 2^{3 (\frac{4}{3})}}{4} - \frac{3 \cdot 1^{\frac{4}{3}}}{4})$

Bước 8.2.3

Triệt tiêu thừa số chung $3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.2.3.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$2 (\frac{3 \cdot 2^{3 (\frac{4}{3})}}{4} - \frac{3 \cdot 1^{\frac{4}{3}}}{4})$

Bước 8.2.3.2

Viết lại biểu thức.

$2 (\frac{3 \cdot 2^{4}}{4} - \frac{3 \cdot 1^{\frac{4}{3}}}{4})$

Bước 8.2.4

Nâng $2$ lên lũy thừa $4$ .

$2 (\frac{3 \cdot 16}{4} - \frac{3 \cdot 1^{\frac{4}{3}}}{4})$

Bước 8.2.5

Nhân $3$ với $16$ .

$2 (\frac{48}{4} - \frac{3 \cdot 1^{\frac{4}{3}}}{4})$

Bước 8.2.6

Triệt tiêu thừa số chung của $48$ và $4$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.2.6.1

Đưa $4$ ra ngoài $48$ .

$2 (\frac{4 \cdot 12}{4} - \frac{3 \cdot 1^{\frac{4}{3}}}{4})$

Bước 8.2.6.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.2.6.2.1

Đưa $4$ ra ngoài $4$ .

$2 (\frac{4 \cdot 12}{4 (1)} - \frac{3 \cdot 1^{\frac{4}{3}}}{4})$

Bước 8.2.6.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$2 (\frac{4 \cdot 12}{4 \cdot 1} - \frac{3 \cdot 1^{\frac{4}{3}}}{4})$

Bước 8.2.6.2.3

Viết lại biểu thức.

$2 (\frac{12}{1} - \frac{3 \cdot 1^{\frac{4}{3}}}{4})$

Bước 8.2.6.2.4

Chia $12$ cho $1$ .

$2 (12 - \frac{3 \cdot 1^{\frac{4}{3}}}{4})$

Bước 8.2.7

Một mũ bất kỳ số nào là một.

$2 (12 - \frac{3 \cdot 1}{4})$

Bước 8.2.8

Nhân $3$ với $1$ .

$2 (12 - \frac{3}{4})$

Bước 8.2.9

Để viết $12$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{4}{4}$ .

$2 (12 \cdot \frac{4}{4} - \frac{3}{4})$

Bước 8.2.10

Kết hợp $12$ và $\frac{4}{4}$ .

$2 (\frac{12 \cdot 4}{4} - \frac{3}{4})$

Bước 8.2.11

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$2 \frac{12 \cdot 4 - 3}{4}$

Bước 8.2.12

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.2.12.1

Nhân $12$ với $4$ .

$2 \frac{48 - 3}{4}$

Bước 8.2.12.2

Trừ $3$ khỏi $48$ .

$2 (\frac{45}{4})$

Bước 8.2.13

Kết hợp $2$ và $\frac{45}{4}$ .

$\frac{2 \cdot 45}{4}$

Bước 8.2.14

Nhân $2$ với $45$ .

$\frac{90}{4}$

Bước 8.2.15

Triệt tiêu thừa số chung của $90$ và $4$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.2.15.1

Đưa $2$ ra ngoài $90$ .

$\frac{2 (45)}{4}$

Bước 8.2.15.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.2.15.2.1

Đưa $2$ ra ngoài $4$ .

$\frac{2 \cdot 45}{2 \cdot 2}$

Bước 8.2.15.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{2 \cdot 45}{2 \cdot 2}$

Bước 8.2.15.2.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{45}{2}$

Bước 9

Kết quả có thể được hiển thị ở nhiều dạng.

Dạng chính xác:

$\frac{45}{2}$

Dạng thập phân:

$22.5$

Dạng hỗn số:

$22 \frac{1}{2}$

Bước 10