Giải tích Ví dụ

$y = {(\sqrt{x})}^{x}$

Bước 1

Để $y = f (x)$ , lấy logarit tự nhiên của cả hai vế $\ln (y) = \ln (f (x))$ .

$\ln (y) = \ln ({(\sqrt{x})}^{x})$

Bước 2

Khai triển vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt{x}$ ở dạng $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\ln (y) = \ln ({(x^{\frac{1}{2}})}^{x})$

Bước 2.2

Khai triển $\ln ({(x^{\frac{1}{2}})}^{x})$ bằng cách di chuyển $x$ ra bên ngoài lôgarit.

$\ln (y) = x \ln (x^{\frac{1}{2}})$

Bước 2.3

Khai triển $\ln (x^{\frac{1}{2}})$ bằng cách di chuyển $\frac{1}{2}$ ra bên ngoài lôgarit.

$\ln (y) = x (\frac{1}{2} \ln (x))$

Bước 2.4

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $x$ .

$\ln (y) = \frac{x}{2} \ln (x)$

Bước 2.5

Kết hợp $\frac{x}{2}$ và $\ln (x)$ .

$\ln (y) = \frac{x \ln (x)}{2}$

Bước 3

Differentiate the expression using the chain rule, keeping in mind that $y$ is a function of $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Tìm đạo hàm vế trái $\ln (y)$ bằng quy tắc chuỗi.

$\frac{y'}{y} = \frac{x \ln (x)}{2}$

Bước 3.2

Tìm đạo hàm vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.1

Tính đạo hàm $\frac{x \ln (x)}{2}$ .

$\frac{y'}{y} = \frac{d}{d x} [\frac{x \ln (x)}{2}]$

Bước 3.2.2

Vì $\frac{1}{2}$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $\frac{x \ln (x)}{2}$ đối với $x$ là $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x \ln (x)]$ .

$\frac{y'}{y} = \frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x \ln (x)]$

Bước 3.2.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc tích số, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ là $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ trong đó $f (x) = x$ và $g (x) = \ln (x)$ .

$\frac{y'}{y} = \frac{1}{2} (x \frac{d}{d x} [\ln (x)] + \ln (x) \frac{d}{d x} [x])$

Bước 3.2.4

Đạo hàm của $\ln (x)$ đối với $x$ là $\frac{1}{x}$ .

$\frac{y'}{y} = \frac{1}{2} (x \frac{1}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x])$

Bước 3.2.5

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.5.1

Kết hợp $x$ và $\frac{1}{x}$ .

$\frac{y'}{y} = \frac{1}{2} (\frac{x}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x])$

Bước 3.2.5.2

Triệt tiêu thừa số chung $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.5.2.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{y'}{y} = \frac{1}{2} (\frac{x}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x])$

Bước 3.2.5.2.2

Viết lại biểu thức.

$\frac{y'}{y} = \frac{1}{2} (1 + \ln (x) \frac{d}{d x} [x])$

Bước 3.2.5.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$\frac{y'}{y} = \frac{1}{2} (1 + \ln (x) \cdot 1)$

Bước 3.2.5.4

Nhân $\ln (x)$ với $1$ .

$\frac{y'}{y} = \frac{1}{2} (1 + \ln (x))$

Bước 3.2.6

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.6.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{y'}{y} = \frac{1}{2} \cdot 1 + \frac{1}{2} \ln (x)$

Bước 3.2.6.2

Nhân $\frac{1}{2}$ với $1$ .

$\frac{y'}{y} = \frac{1}{2} + \frac{1}{2} \ln (x)$

Bước 3.2.6.3

Sắp xếp lại các số hạng.

$\frac{y'}{y} = \frac{1}{2} \ln (x) + \frac{1}{2}$

Bước 3.2.6.4

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $\ln (x)$ .

$\frac{y'}{y} = \frac{\ln (x)}{2} + \frac{1}{2}$

Bước 4

Tách riêng $y'$ và thay hàm số ban đầu cho $y$ ở vế phải.

$y' = (\frac{\ln (x)}{2} + \frac{1}{2}) {(\sqrt{x})}^{x}$

Bước 5

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1.1

Viết lại $\frac{\ln (x)}{2}$ ở dạng $\frac{1}{2} \ln (x)$ .

$y' = (\frac{1}{2} \ln (x) + \frac{1}{2}) {(\sqrt{x})}^{x}$

Bước 5.1.2

Rút gọn $\frac{1}{2} \ln (x)$ bằng cách di chuyển $\frac{1}{2}$ trong logarit.

$y' = (\ln (x^{\frac{1}{2}}) + \frac{1}{2}) {(\sqrt{x})}^{x}$

Bước 5.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$y' = \ln (x^{\frac{1}{2}}) {\sqrt{x}}^{x} + \frac{1}{2} {\sqrt{x}}^{x}$

Bước 5.3

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và ${\sqrt{x}}^{x}$ .

$y' = \ln (x^{\frac{1}{2}}) {\sqrt{x}}^{x} + \frac{{\sqrt{x}}^{x}}{2}$

Bước 5.4

Sắp xếp lại các thừa số trong $\ln (x^{\frac{1}{2}}) {\sqrt{x}}^{x} + \frac{{\sqrt{x}}^{x}}{2}$ .

$y' = {\sqrt{x}}^{x} \ln (x^{\frac{1}{2}}) + \frac{{\sqrt{x}}^{x}}{2}$