Giải tích Ví dụ

$\frac{1}{x^{2} - 1}$

Bước 1

Viết $\frac{1}{x^{2} - 1}$ ở dạng một hàm số.

$f (x) = \frac{1}{x^{2} - 1}$

Bước 2

Có thể tìm hàm số $F (x)$ bằng cách tìm tích phân bất định của đạo hàm $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Bước 3

Lập tích phân để giải.

$F (x) = \int \frac{1}{x^{2} - 1} d x$

Bước 4

Viết phân số bằng cách khai triển phân số từng phần.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Chia nhỏ phân số và nhân với mẫu số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.1

Phân tích phân số thành thừa số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.1.1

Viết lại $1$ ở dạng $1^{2}$ .

$\frac{1}{x^{2} - 1^{2}}$

Bước 4.1.1.2

Vì cả hai số hạng đều là số chính phương, nên ta phân tích thành thừa số bằng công thức hiệu của hai bình phương, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ trong đó $a = x$ và $b = 1$ .

$\frac{1}{(x + 1) (x - 1)}$

Bước 4.1.2

Với mỗi thừa số dưới mẫu số, ta tạo một phân số mới dùng thừa số đó làm mẫu số và một ẩn số làm tử số. Vì thừa số dưới mẫu số tuyến tính nên ta đặt một biến đơn vào vị trí của nó $A$ .

$\frac{A}{x + 1}$

Bước 4.1.3

Với mỗi thừa số dưới mẫu số, ta tạo một phân số mới dùng thừa số đó làm mẫu số và một ẩn số làm tử số. Vì thừa số dưới mẫu số tuyến tính nên ta đặt một biến đơn vào vị trí của nó $B$ .

$\frac{A}{x + 1} + \frac{B}{x - 1}$

Bước 4.1.4

Nhân mỗi phân số trong phương trình với mẫu của của biểu thức ban đầu. Trong trường hợp này, mẫu số là $(x + 1) (x - 1)$ .

$\frac{1 (x + 1) (x - 1)}{(x + 1) (x - 1)} = \frac{(A) (x + 1) (x - 1)}{x + 1} + \frac{(B) (x + 1) (x - 1)}{x - 1}$

Bước 4.1.5

Triệt tiêu thừa số chung $x + 1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.5.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{1 (x + 1) (x - 1)}{(x + 1) (x - 1)} = \frac{(A) (x + 1) (x - 1)}{x + 1} + \frac{(B) (x + 1) (x - 1)}{x - 1}$

Bước 4.1.5.2

Viết lại biểu thức.

$\frac{1 (x - 1)}{x - 1} = \frac{(A) (x + 1) (x - 1)}{x + 1} + \frac{(B) (x + 1) (x - 1)}{x - 1}$

Bước 4.1.6

Triệt tiêu thừa số chung $x - 1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.6.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{1 (x - 1)}{x - 1} = \frac{(A) (x + 1) (x - 1)}{x + 1} + \frac{(B) (x + 1) (x - 1)}{x - 1}$

Bước 4.1.6.2

Viết lại biểu thức.

$1 = \frac{(A) (x + 1) (x - 1)}{x + 1} + \frac{(B) (x + 1) (x - 1)}{x - 1}$

Bước 4.1.7

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.7.1

Triệt tiêu thừa số chung $x + 1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.7.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$1 = \frac{A (x + 1) (x - 1)}{x + 1} + \frac{(B) (x + 1) (x - 1)}{x - 1}$

Bước 4.1.7.1.2

Chia $(A) (x - 1)$ cho $1$ .

$1 = (A) (x - 1) + \frac{(B) (x + 1) (x - 1)}{x - 1}$

Bước 4.1.7.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$1 = A x + A \cdot - 1 + \frac{(B) (x + 1) (x - 1)}{x - 1}$

Bước 4.1.7.3

Di chuyển $- 1$ sang phía bên trái của $A$ .

$1 = A x - 1 \cdot A + \frac{(B) (x + 1) (x - 1)}{x - 1}$

Bước 4.1.7.4

Viết lại $- 1 A$ ở dạng $- A$ .

$1 = A x - A + \frac{(B) (x + 1) (x - 1)}{x - 1}$

Bước 4.1.7.5

Triệt tiêu thừa số chung $x - 1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.7.5.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$1 = A x - A + \frac{(B) (x + 1) (x - 1)}{x - 1}$

Bước 4.1.7.5.2

Chia $(B) (x + 1)$ cho $1$ .

$1 = A x - A + (B) (x + 1)$

Bước 4.1.7.6

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$1 = A x - A + B x + B \cdot 1$

Bước 4.1.7.7

Nhân $B$ với $1$ .

$1 = A x - A + B x + B$

Bước 4.1.8

Di chuyển $- A$ .

$1 = A x + B x - A + B$

Bước 4.2

Tạo các phương trình cho các biến của phân số từng phần và sử dụng chúng để lập một hệ phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.1

Tạo một phương trình cho các biến phân số từng phần bằng cách đặt các hệ số của $x$ từ mỗi vế của phương trình bằng nhau. Để phương trình cân bằng, các hệ số tương ứng ở mỗi vế của phương trình phải bằng nhau.

$0 = A + B$

Bước 4.2.2

Tạo một phương trình cho các biến phân số từng phần bằng cách đặt các hệ số của các số hạng không chứa $x$ bằng nhau. Để phương trình cân bằng, các hệ số tương ứng ở mỗi vế của phương trình phải bằng nhau.

$1 = - 1 A + B$

Bước 4.2.3

Lập hệ phương trình để tìm hệ số của các phân số từng phần.

$0 = A + B$

$1 = - 1 A + B$

$0 = A + B$

$1 = - 1 A + B$

Bước 4.3

Giải hệ phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.1

Giải tìm $A$ trong $0 = A + B$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.1.1

Viết lại phương trình ở dạng $A + B = 0$ .

$A + B = 0$

$1 = - 1 A + B$

Bước 4.3.1.2

Trừ $B$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$A = - B$

$1 = - 1 A + B$

$A = - B$

$1 = - 1 A + B$

Bước 4.3.2

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $A$ bằng $- B$ trong mỗi phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.2.1

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $A$ trong $1 = - 1 A + B$ bằng $- B$ .

$1 = - 1 (- B) + B$

$A = - B$

Bước 4.3.2.2

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.2.2.1

Rút gọn $- 1 (- B) + B$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.2.2.1.1

Nhân $- 1 (- B)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.2.2.1.1.1

Nhân $- 1$ với $- 1$ .

$1 = 1 B + B$

$A = - B$

Bước 4.3.2.2.1.1.2

Nhân $B$ với $1$ .

$1 = B + B$

$A = - B$

$1 = B + B$

$A = - B$

Bước 4.3.2.2.1.2

Cộng $B$ và $B$ .

$1 = 2 B$

$A = - B$

$1 = 2 B$

$A = - B$

$1 = 2 B$

$A = - B$

$1 = 2 B$

$A = - B$

Bước 4.3.3

Giải tìm $B$ trong $1 = 2 B$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.3.1

Viết lại phương trình ở dạng $2 B = 1$ .

$2 B = 1$

$A = - B$

Bước 4.3.3.2

Chia mỗi số hạng trong $2 B = 1$ cho $2$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.3.2.1

Chia mỗi số hạng trong $2 B = 1$ cho $2$ .

$\frac{2 B}{2} = \frac{1}{2}$

$A = - B$

Bước 4.3.3.2.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.3.2.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.3.2.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{2 B}{2} = \frac{1}{2}$

$A = - B$

Bước 4.3.3.2.2.1.2

Chia $B$ cho $1$ .

$B = \frac{1}{2}$

$A = - B$

$B = \frac{1}{2}$

$A = - B$

$B = \frac{1}{2}$

$A = - B$

$B = \frac{1}{2}$

$A = - B$

$B = \frac{1}{2}$

$A = - B$

Bước 4.3.4

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $B$ bằng $\frac{1}{2}$ trong mỗi phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.4.1

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $B$ trong $A = - B$ bằng $\frac{1}{2}$ .

$A = - (\frac{1}{2})$

$B = \frac{1}{2}$

Bước 4.3.4.2

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.4.2.1

Nhân $- 1$ với $\frac{1}{2}$ .

$A = - \frac{1}{2}$

$B = \frac{1}{2}$

$A = - \frac{1}{2}$

$B = \frac{1}{2}$

$A = - \frac{1}{2}$

$B = \frac{1}{2}$

Bước 4.3.5

Liệt kê tất cả các đáp án.

$A = - \frac{1}{2}, B = \frac{1}{2}$

Bước 4.4

Thay thế từng hệ số phân số từng phần trong $\frac{A}{x + 1} + \frac{B}{x - 1}$ bằng các giá trị tìm được cho $A$ và $B$ .

$\frac{- \frac{1}{2}}{x + 1} + \frac{\frac{1}{2}}{x - 1}$

Bước 4.5

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.5.1

Nhân tử số với nghịch đảo của mẫu số.

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{x + 1} + \frac{\frac{1}{2}}{x - 1}$

Bước 4.5.2

Nhân $\frac{1}{x + 1}$ với $\frac{1}{2}$ .

$- \frac{1}{(x + 1) \cdot 2} + \frac{\frac{1}{2}}{x - 1}$

Bước 4.5.3

Di chuyển $2$ sang phía bên trái của $x + 1$ .

$- \frac{1}{2 (x + 1)} + \frac{\frac{1}{2}}{x - 1}$

Bước 4.5.4

Nhân tử số với nghịch đảo của mẫu số.

$- \frac{1}{2 (x + 1)} + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{x - 1}$

Bước 4.5.5

Nhân $\frac{1}{2}$ với $\frac{1}{x - 1}$ .

$\int - \frac{1}{2 (x + 1)} + \frac{1}{2 (x - 1)} d x$

Bước 5

Chia tích phân đơn thành nhiều tích phân.

$\int - \frac{1}{2 (x + 1)} d x + \int \frac{1}{2 (x - 1)} d x$

Bước 6

Vì $- 1$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $- 1$ ra khỏi tích phân.

$- \int \frac{1}{2 (x + 1)} d x + \int \frac{1}{2 (x - 1)} d x$

Bước 7

Vì $\frac{1}{2}$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $\frac{1}{2}$ ra khỏi tích phân.

$- (\frac{1}{2} \int \frac{1}{x + 1} d x) + \int \frac{1}{2 (x - 1)} d x$

Bước 8

Giả sử $u_{1} = x + 1$ . Sau đó $d u_{1} = d x$ . Viết lại bằng $u_{1}$ và $d$ $u_{1}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.1

Hãy đặt $u_{1} = x + 1$ . Tìm $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.1.1

Tính đạo hàm $x + 1$ .

$\frac{d}{d x} [x + 1]$

Bước 8.1.2

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $x + 1$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

Bước 8.1.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [1]$

Bước 8.1.4

Vì $1$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $1$ đối với $x$ là $0$ .

$1 + 0$

Bước 8.1.5

Cộng $1$ và $0$ .

$1$

Bước 8.2

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u_{1}$ và $d u_{1}$ .

$- \frac{1}{2} \int \frac{1}{u_{1}} d u_{1} + \int \frac{1}{2 (x - 1)} d x$

Bước 9

Tích phân của $\frac{1}{u_{1}}$ đối với $u_{1}$ là $\ln (| u_{1} |)$ .

$- \frac{1}{2} (\ln (| u_{1} |) + C) + \int \frac{1}{2 (x - 1)} d x$

Bước 10

Vì $\frac{1}{2}$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $\frac{1}{2}$ ra khỏi tích phân.

$- \frac{1}{2} (\ln (| u_{1} |) + C) + \frac{1}{2} \int \frac{1}{x - 1} d x$

Bước 11

Giả sử $u_{2} = x - 1$ . Sau đó $d u_{2} = d x$ . Viết lại bằng $u_{2}$ và $d$ $u_{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.1

Hãy đặt $u_{2} = x - 1$ . Tìm $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.1.1

Tính đạo hàm $x - 1$ .

$\frac{d}{d x} [x - 1]$

Bước 11.1.2

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $x - 1$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Bước 11.1.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [- 1]$

Bước 11.1.4

Vì $- 1$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $- 1$ đối với $x$ là $0$ .

$1 + 0$

Bước 11.1.5

Cộng $1$ và $0$ .

$1$

Bước 11.2

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u_{2}$ và $d u_{2}$ .

$- \frac{1}{2} (\ln (| u_{1} |) + C) + \frac{1}{2} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

Bước 12

Tích phân của $\frac{1}{u_{2}}$ đối với $u_{2}$ là $\ln (| u_{2} |)$ .

$- \frac{1}{2} (\ln (| u_{1} |) + C) + \frac{1}{2} (\ln (| u_{2} |) + C)$

Bước 13

Rút gọn.

$- \frac{1}{2} \ln (| u_{1} |) + \frac{1}{2} \ln (| u_{2} |) + C$

Bước 14

Thay trở lại cho mỗi biến thay thế tích phân.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 14.1

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{1}$ với $x + 1$ .

$- \frac{1}{2} \ln (| x + 1 |) + \frac{1}{2} \ln (| u_{2} |) + C$

Bước 14.2

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{2}$ với $x - 1$ .

$- \frac{1}{2} \ln (| x + 1 |) + \frac{1}{2} \ln (| x - 1 |) + C$

Bước 15

Câu trả lời là nguyên hàm của hàm số $f (x) = \frac{1}{x^{2} - 1}$ .

$F (x) =$ $- \frac{1}{2} \ln (| x + 1 |) + \frac{1}{2} \ln (| x - 1 |) + C$