Toán cơ bản Ví dụ

$\frac{k^{2}}{(k + 1) (k - 1)} - \frac{2 k^{2} - k - 3}{(k + 1) (k + 2)}$

Bước 1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Phân tích thành thừa số bằng cách nhóm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1

Đối với đa thức có dạng $a x^{2} + b x + c$ , hãy viết lại số hạng ở giữa là tổng của hai số hạng có tích là $a \cdot c = 2 \cdot - 3 = - 6$ và có tổng là $b = - 1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1.1

Đưa $- 1$ ra ngoài $- k$ .

$\frac{k^{2}}{(k + 1) (k - 1)} - \frac{2 k^{2} - (k) - 3}{(k + 1) (k + 2)}$

Bước 1.1.1.2

Viết lại $- 1$ ở dạng $2$ cộng $- 3$

$\frac{k^{2}}{(k + 1) (k - 1)} - \frac{2 k^{2} + (2 - 3) k - 3}{(k + 1) (k + 2)}$

Bước 1.1.1.3

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{k^{2}}{(k + 1) (k - 1)} - \frac{2 k^{2} + 2 k - 3 k - 3}{(k + 1) (k + 2)}$

Bước 1.1.2

Đưa ước số chung lớn nhất từ từng nhóm ra ngoài.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.2.1

Nhóm hai số hạng đầu tiên và hai số hạng cuối.

$\frac{k^{2}}{(k + 1) (k - 1)} - \frac{(2 k^{2} + 2 k) - 3 k - 3}{(k + 1) (k + 2)}$

Bước 1.1.2.2

Đưa ước số chung lớn nhất (ƯCLN) từ từng nhóm ra ngoài.

$\frac{k^{2}}{(k + 1) (k - 1)} - \frac{2 k (k + 1) - 3 (k + 1)}{(k + 1) (k + 2)}$

Bước 1.1.3

Phân tích đa thức thành thừa số bằng cách đưa ước số chung lớn nhất ra ngoài, $k + 1$ .

$\frac{k^{2}}{(k + 1) (k - 1)} - \frac{(k + 1) (2 k - 3)}{(k + 1) (k + 2)}$

Bước 1.2

Triệt tiêu thừa số chung $k + 1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{k^{2}}{(k + 1) (k - 1)} - \frac{(k + 1) (2 k - 3)}{(k + 1) (k + 2)}$

Bước 1.2.2

Viết lại biểu thức.

$\frac{k^{2}}{(k + 1) (k - 1)} - \frac{2 k - 3}{k + 2}$

Bước 2

Để viết $\frac{k^{2}}{(k + 1) (k - 1)}$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{k + 2}{k + 2}$ .

$\frac{k^{2}}{(k + 1) (k - 1)} \cdot \frac{k + 2}{k + 2} - \frac{2 k - 3}{k + 2}$

Bước 3

Để viết $- \frac{2 k - 3}{k + 2}$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{(k + 1) (k - 1)}{(k + 1) (k - 1)}$ .

$\frac{k^{2}}{(k + 1) (k - 1)} \cdot \frac{k + 2}{k + 2} - \frac{2 k - 3}{k + 2} \cdot \frac{(k + 1) (k - 1)}{(k + 1) (k - 1)}$

Bước 4

Viết mỗi biểu thức với mẫu số chung là $(k + 1) (k - 1) (k + 2)$ , bằng cách nhân từng biểu thức với một thừa số thích hợp của $1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Nhân $\frac{k^{2}}{(k + 1) (k - 1)}$ với $\frac{k + 2}{k + 2}$ .

$\frac{k^{2} (k + 2)}{(k + 1) (k - 1) (k + 2)} - \frac{2 k - 3}{k + 2} \cdot \frac{(k + 1) (k - 1)}{(k + 1) (k - 1)}$

Bước 4.2

Nhân $\frac{2 k - 3}{k + 2}$ với $\frac{(k + 1) (k - 1)}{(k + 1) (k - 1)}$ .

$\frac{k^{2} (k + 2)}{(k + 1) (k - 1) (k + 2)} - \frac{(2 k - 3) ((k + 1) (k - 1))}{(k + 2) ((k + 1) (k - 1))}$

Bước 4.3

Sắp xếp lại các thừa số của $(k + 1) (k - 1) (k + 2)$ .

$\frac{k^{2} (k + 2)}{(k + 1) (k + 2) (k - 1)} - \frac{(2 k - 3) ((k + 1) (k - 1))}{(k + 2) ((k + 1) (k - 1))}$

Bước 4.4

Sắp xếp lại các thừa số của $(k + 2) ((k + 1) (k - 1))$ .

$\frac{k^{2} (k + 2)}{(k + 1) (k + 2) (k - 1)} - \frac{(2 k - 3) ((k + 1) (k - 1))}{(k + 1) (k + 2) (k - 1)}$

Bước 5

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{k^{2} (k + 2) - (2 k - 3) ((k + 1) (k - 1))}{(k + 1) (k + 2) (k - 1)}$

Bước 6

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{k^{2} k + k^{2} \cdot 2 - (2 k - 3) ((k + 1) (k - 1))}{(k + 1) (k + 2) (k - 1)}$

Bước 6.2

Nhân $k^{2}$ với $k$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.1

Nhân $k^{2}$ với $k$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.1.1

Nâng $k$ lên lũy thừa $1$ .

$\frac{k^{2} k^{1} + k^{2} \cdot 2 - (2 k - 3) ((k + 1) (k - 1))}{(k + 1) (k + 2) (k - 1)}$

Bước 6.2.1.2

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\frac{k^{2 + 1} + k^{2} \cdot 2 - (2 k - 3) ((k + 1) (k - 1))}{(k + 1) (k + 2) (k - 1)}$

Bước 6.2.2

Cộng $2$ và $1$ .

$\frac{k^{3} + k^{2} \cdot 2 - (2 k - 3) ((k + 1) (k - 1))}{(k + 1) (k + 2) (k - 1)}$

Bước 6.3

Di chuyển $2$ sang phía bên trái của $k^{2}$ .

$\frac{k^{3} + 2 \cdot k^{2} - (2 k - 3) ((k + 1) (k - 1))}{(k + 1) (k + 2) (k - 1)}$

Bước 6.4

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{k^{3} + 2 k^{2} + (- (2 k) - - 3) ((k + 1) (k - 1))}{(k + 1) (k + 2) (k - 1)}$

Bước 6.5

Nhân $2$ với $- 1$ .

$\frac{k^{3} + 2 k^{2} + (- 2 k - - 3) ((k + 1) (k - 1))}{(k + 1) (k + 2) (k - 1)}$

Bước 6.6

Nhân $- 1$ với $- 3$ .

$\frac{k^{3} + 2 k^{2} + (- 2 k + 3) ((k + 1) (k - 1))}{(k + 1) (k + 2) (k - 1)}$

Bước 6.7

Khai triển $(k + 1) (k - 1)$ bằng cách sử dụng Phương pháp FOIL.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.7.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{k^{3} + 2 k^{2} + (- 2 k + 3) (k (k - 1) + 1 (k - 1))}{(k + 1) (k + 2) (k - 1)}$

Bước 6.7.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{k^{3} + 2 k^{2} + (- 2 k + 3) (k \cdot k + k \cdot - 1 + 1 (k - 1))}{(k + 1) (k + 2) (k - 1)}$

Bước 6.7.3

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{k^{3} + 2 k^{2} + (- 2 k + 3) (k \cdot k + k \cdot - 1 + 1 k + 1 \cdot - 1)}{(k + 1) (k + 2) (k - 1)}$

Bước 6.8

Rút gọn và kết hợp các số hạng đồng dạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.8.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.8.1.1

Nhân $k$ với $k$ .

$\frac{k^{3} + 2 k^{2} + (- 2 k + 3) (k^{2} + k \cdot - 1 + 1 k + 1 \cdot - 1)}{(k + 1) (k + 2) (k - 1)}$

Bước 6.8.1.2

Di chuyển $- 1$ sang phía bên trái của $k$ .

$\frac{k^{3} + 2 k^{2} + (- 2 k + 3) (k^{2} - 1 \cdot k + 1 k + 1 \cdot - 1)}{(k + 1) (k + 2) (k - 1)}$

Bước 6.8.1.3

Viết lại $- 1 k$ ở dạng $- k$ .

$\frac{k^{3} + 2 k^{2} + (- 2 k + 3) (k^{2} - k + 1 k + 1 \cdot - 1)}{(k + 1) (k + 2) (k - 1)}$

Bước 6.8.1.4

Nhân $k$ với $1$ .

$\frac{k^{3} + 2 k^{2} + (- 2 k + 3) (k^{2} - k + k + 1 \cdot - 1)}{(k + 1) (k + 2) (k - 1)}$

Bước 6.8.1.5

Nhân $- 1$ với $1$ .

$\frac{k^{3} + 2 k^{2} + (- 2 k + 3) (k^{2} - k + k - 1)}{(k + 1) (k + 2) (k - 1)}$

Bước 6.8.2

Cộng $- k$ và $k$ .

$\frac{k^{3} + 2 k^{2} + (- 2 k + 3) (k^{2} + 0 - 1)}{(k + 1) (k + 2) (k - 1)}$

Bước 6.8.3

Cộng $k^{2}$ và $0$ .

$\frac{k^{3} + 2 k^{2} + (- 2 k + 3) (k^{2} - 1)}{(k + 1) (k + 2) (k - 1)}$

Bước 6.9

Khai triển $(- 2 k + 3) (k^{2} - 1)$ bằng cách sử dụng Phương pháp FOIL.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.9.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{k^{3} + 2 k^{2} - 2 k (k^{2} - 1) + 3 (k^{2} - 1)}{(k + 1) (k + 2) (k - 1)}$

Bước 6.9.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{k^{3} + 2 k^{2} - 2 k \cdot k^{2} - 2 k \cdot - 1 + 3 (k^{2} - 1)}{(k + 1) (k + 2) (k - 1)}$

Bước 6.9.3

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{k^{3} + 2 k^{2} - 2 k \cdot k^{2} - 2 k \cdot - 1 + 3 k^{2} + 3 \cdot - 1}{(k + 1) (k + 2) (k - 1)}$

Bước 6.10

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.10.1

Nhân $k$ với $k^{2}$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.10.1.1

Di chuyển $k^{2}$ .

$\frac{k^{3} + 2 k^{2} - 2 (k^{2} k) - 2 k \cdot - 1 + 3 k^{2} + 3 \cdot - 1}{(k + 1) (k + 2) (k - 1)}$

Bước 6.10.1.2

Nhân $k^{2}$ với $k$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.10.1.2.1

Nâng $k$ lên lũy thừa $1$ .

$\frac{k^{3} + 2 k^{2} - 2 (k^{2} k^{1}) - 2 k \cdot - 1 + 3 k^{2} + 3 \cdot - 1}{(k + 1) (k + 2) (k - 1)}$

Bước 6.10.1.2.2

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\frac{k^{3} + 2 k^{2} - 2 k^{2 + 1} - 2 k \cdot - 1 + 3 k^{2} + 3 \cdot - 1}{(k + 1) (k + 2) (k - 1)}$

Bước 6.10.1.3

Cộng $2$ và $1$ .

$\frac{k^{3} + 2 k^{2} - 2 k^{3} - 2 k \cdot - 1 + 3 k^{2} + 3 \cdot - 1}{(k + 1) (k + 2) (k - 1)}$

Bước 6.10.2

Nhân $- 1$ với $- 2$ .

$\frac{k^{3} + 2 k^{2} - 2 k^{3} + 2 k + 3 k^{2} + 3 \cdot - 1}{(k + 1) (k + 2) (k - 1)}$

Bước 6.10.3

Nhân $3$ với $- 1$ .

$\frac{k^{3} + 2 k^{2} - 2 k^{3} + 2 k + 3 k^{2} - 3}{(k + 1) (k + 2) (k - 1)}$

Bước 6.11

Trừ $2 k^{3}$ khỏi $k^{3}$ .

$\frac{- k^{3} + 2 k^{2} + 2 k + 3 k^{2} - 3}{(k + 1) (k + 2) (k - 1)}$

Bước 6.12

Cộng $2 k^{2}$ và $3 k^{2}$ .

$\frac{- k^{3} + 5 k^{2} + 2 k - 3}{(k + 1) (k + 2) (k - 1)}$

Bước 7

Rút gọn bằng cách đặt thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1

Đưa $- 1$ ra ngoài $- k^{3}$ .

$\frac{- (k^{3}) + 5 k^{2} + 2 k - 3}{(k + 1) (k + 2) (k - 1)}$

Bước 7.2

Đưa $- 1$ ra ngoài $5 k^{2}$ .

$\frac{- (k^{3}) - (- 5 k^{2}) + 2 k - 3}{(k + 1) (k + 2) (k - 1)}$

Bước 7.3

Đưa $- 1$ ra ngoài $- (k^{3}) - (- 5 k^{2})$ .

$\frac{- (k^{3} - 5 k^{2}) + 2 k - 3}{(k + 1) (k + 2) (k - 1)}$

Bước 7.4

Đưa $- 1$ ra ngoài $2 k$ .

$\frac{- (k^{3} - 5 k^{2}) - (- 2 k) - 3}{(k + 1) (k + 2) (k - 1)}$

Bước 7.5

Đưa $- 1$ ra ngoài $- (k^{3} - 5 k^{2}) - (- 2 k)$ .

$\frac{- (k^{3} - 5 k^{2} - 2 k) - 3}{(k + 1) (k + 2) (k - 1)}$

Bước 7.6

Viết lại $- 3$ ở dạng $- 1 (3)$ .

$\frac{- (k^{3} - 5 k^{2} - 2 k) - 1 (3)}{(k + 1) (k + 2) (k - 1)}$

Bước 7.7

Đưa $- 1$ ra ngoài $- (k^{3} - 5 k^{2} - 2 k) - 1 (3)$ .

$\frac{- (k^{3} - 5 k^{2} - 2 k + 3)}{(k + 1) (k + 2) (k - 1)}$

Bước 7.8

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.8.1

Viết lại $- (k^{3} - 5 k^{2} - 2 k + 3)$ ở dạng $- 1 (k^{3} - 5 k^{2} - 2 k + 3)$ .

$\frac{- 1 (k^{3} - 5 k^{2} - 2 k + 3)}{(k + 1) (k + 2) (k - 1)}$

Bước 7.8.2

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$- \frac{k^{3} - 5 k^{2} - 2 k + 3}{(k + 1) (k + 2) (k - 1)}$