Toán cơ bản Ví dụ

$\frac{5 k^{2} - 4 k - 1}{5 k^{2} + 16 k + 11} \div \frac{5 k^{2} + 6 k - 11}{25 k^{2} - 1}$

Bước 1

Để chia một phân số, hãy nhân với nghịch đảo của nó.

$\frac{5 k^{2} - 4 k - 1}{5 k^{2} + 16 k + 11} \cdot \frac{25 k^{2} - 1}{5 k^{2} + 6 k - 11}$

Bước 2

Phân tích thành thừa số bằng cách nhóm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Đối với đa thức có dạng $a x^{2} + b x + c$ , hãy viết lại số hạng ở giữa là tổng của hai số hạng có tích là $a \cdot c = 5 \cdot - 1 = - 5$ và có tổng là $b = - 4$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.1

Đưa $- 4$ ra ngoài $- 4 k$ .

$\frac{5 k^{2} - 4 (k) - 1}{5 k^{2} + 16 k + 11} \cdot \frac{25 k^{2} - 1}{5 k^{2} + 6 k - 11}$

Bước 2.1.2

Viết lại $- 4$ ở dạng $1$ cộng $- 5$

$\frac{5 k^{2} + (1 - 5) k - 1}{5 k^{2} + 16 k + 11} \cdot \frac{25 k^{2} - 1}{5 k^{2} + 6 k - 11}$

Bước 2.1.3

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{5 k^{2} + 1 k - 5 k - 1}{5 k^{2} + 16 k + 11} \cdot \frac{25 k^{2} - 1}{5 k^{2} + 6 k - 11}$

Bước 2.1.4

Nhân $k$ với $1$ .

$\frac{5 k^{2} + k - 5 k - 1}{5 k^{2} + 16 k + 11} \cdot \frac{25 k^{2} - 1}{5 k^{2} + 6 k - 11}$

Bước 2.2

Đưa ước số chung lớn nhất từ từng nhóm ra ngoài.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1

Nhóm hai số hạng đầu tiên và hai số hạng cuối.

$\frac{(5 k^{2} + k) - 5 k - 1}{5 k^{2} + 16 k + 11} \cdot \frac{25 k^{2} - 1}{5 k^{2} + 6 k - 11}$

Bước 2.2.2

Đưa ước số chung lớn nhất (ƯCLN) từ từng nhóm ra ngoài.

$\frac{k (5 k + 1) - (5 k + 1)}{5 k^{2} + 16 k + 11} \cdot \frac{25 k^{2} - 1}{5 k^{2} + 6 k - 11}$

Bước 2.3

Phân tích đa thức thành thừa số bằng cách đưa ước số chung lớn nhất ra ngoài, $5 k + 1$ .

$\frac{(5 k + 1) (k - 1)}{5 k^{2} + 16 k + 11} \cdot \frac{25 k^{2} - 1}{5 k^{2} + 6 k - 11}$

Bước 3

Phân tích thành thừa số bằng cách nhóm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Đối với đa thức có dạng $a x^{2} + b x + c$ , hãy viết lại số hạng ở giữa là tổng của hai số hạng có tích là $a \cdot c = 5 \cdot 11 = 55$ và có tổng là $b = 16$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1.1

Đưa $16$ ra ngoài $16 k$ .

$\frac{(5 k + 1) (k - 1)}{5 k^{2} + 16 (k) + 11} \cdot \frac{25 k^{2} - 1}{5 k^{2} + 6 k - 11}$

Bước 3.1.2

Viết lại $16$ ở dạng $5$ cộng $11$

$\frac{(5 k + 1) (k - 1)}{5 k^{2} + (5 + 11) k + 11} \cdot \frac{25 k^{2} - 1}{5 k^{2} + 6 k - 11}$

Bước 3.1.3

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{(5 k + 1) (k - 1)}{5 k^{2} + 5 k + 11 k + 11} \cdot \frac{25 k^{2} - 1}{5 k^{2} + 6 k - 11}$

Bước 3.2

Đưa ước số chung lớn nhất từ từng nhóm ra ngoài.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.1

Nhóm hai số hạng đầu tiên và hai số hạng cuối.

$\frac{(5 k + 1) (k - 1)}{(5 k^{2} + 5 k) + 11 k + 11} \cdot \frac{25 k^{2} - 1}{5 k^{2} + 6 k - 11}$

Bước 3.2.2

Đưa ước số chung lớn nhất (ƯCLN) từ từng nhóm ra ngoài.

$\frac{(5 k + 1) (k - 1)}{5 k (k + 1) + 11 (k + 1)} \cdot \frac{25 k^{2} - 1}{5 k^{2} + 6 k - 11}$

Bước 3.3

Phân tích đa thức thành thừa số bằng cách đưa ước số chung lớn nhất ra ngoài, $k + 1$ .

$\frac{(5 k + 1) (k - 1)}{(k + 1) (5 k + 11)} \cdot \frac{25 k^{2} - 1}{5 k^{2} + 6 k - 11}$

Bước 4

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Viết lại $25 k^{2}$ ở dạng ${(5 k)}^{2}$ .

$\frac{(5 k + 1) (k - 1)}{(k + 1) (5 k + 11)} \cdot \frac{{(5 k)}^{2} - 1}{5 k^{2} + 6 k - 11}$

Bước 4.2

Viết lại $1$ ở dạng $1^{2}$ .

$\frac{(5 k + 1) (k - 1)}{(k + 1) (5 k + 11)} \cdot \frac{{(5 k)}^{2} - 1^{2}}{5 k^{2} + 6 k - 11}$

Bước 4.3

Vì cả hai số hạng đều là số chính phương, nên ta phân tích thành thừa số bằng công thức hiệu của hai bình phương, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ trong đó $a = 5 k$ và $b = 1$ .

$\frac{(5 k + 1) (k - 1)}{(k + 1) (5 k + 11)} \cdot \frac{(5 k + 1) (5 k - 1)}{5 k^{2} + 6 k - 11}$

Bước 5

Phân tích thành thừa số bằng cách nhóm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Đối với đa thức có dạng $a x^{2} + b x + c$ , hãy viết lại số hạng ở giữa là tổng của hai số hạng có tích là $a \cdot c = 5 \cdot - 11 = - 55$ và có tổng là $b = 6$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1.1

Đưa $6$ ra ngoài $6 k$ .

$\frac{(5 k + 1) (k - 1)}{(k + 1) (5 k + 11)} \cdot \frac{(5 k + 1) (5 k - 1)}{5 k^{2} + 6 (k) - 11}$

Bước 5.1.2

Viết lại $6$ ở dạng $- 5$ cộng $11$

$\frac{(5 k + 1) (k - 1)}{(k + 1) (5 k + 11)} \cdot \frac{(5 k + 1) (5 k - 1)}{5 k^{2} + (- 5 + 11) k - 11}$

Bước 5.1.3

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{(5 k + 1) (k - 1)}{(k + 1) (5 k + 11)} \cdot \frac{(5 k + 1) (5 k - 1)}{5 k^{2} - 5 k + 11 k - 11}$

Bước 5.2

Đưa ước số chung lớn nhất từ từng nhóm ra ngoài.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.1

Nhóm hai số hạng đầu tiên và hai số hạng cuối.

$\frac{(5 k + 1) (k - 1)}{(k + 1) (5 k + 11)} \cdot \frac{(5 k + 1) (5 k - 1)}{(5 k^{2} - 5 k) + 11 k - 11}$

Bước 5.2.2

Đưa ước số chung lớn nhất (ƯCLN) từ từng nhóm ra ngoài.

$\frac{(5 k + 1) (k - 1)}{(k + 1) (5 k + 11)} \cdot \frac{(5 k + 1) (5 k - 1)}{5 k (k - 1) + 11 (k - 1)}$

Bước 5.3

Phân tích đa thức thành thừa số bằng cách đưa ước số chung lớn nhất ra ngoài, $k - 1$ .

$\frac{(5 k + 1) (k - 1)}{(k + 1) (5 k + 11)} \cdot \frac{(5 k + 1) (5 k - 1)}{(k - 1) (5 k + 11)}$

Bước 6

Triệt tiêu thừa số chung $k - 1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Đưa $k - 1$ ra ngoài $(5 k + 1) (k - 1)$ .

$\frac{(k - 1) (5 k + 1)}{(k + 1) (5 k + 11)} \cdot \frac{(5 k + 1) (5 k - 1)}{(k - 1) (5 k + 11)}$

Bước 6.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{(k - 1) (5 k + 1)}{(k + 1) (5 k + 11)} \cdot \frac{(5 k + 1) (5 k - 1)}{(k - 1) (5 k + 11)}$

Bước 6.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{5 k + 1}{(k + 1) (5 k + 11)} \cdot \frac{(5 k + 1) (5 k - 1)}{5 k + 11}$

Bước 7

Nhân $\frac{5 k + 1}{(k + 1) (5 k + 11)}$ với $\frac{(5 k + 1) (5 k - 1)}{5 k + 11}$ .

$\frac{(5 k + 1) ((5 k + 1) (5 k - 1))}{(k + 1) (5 k + 11) (5 k + 11)}$

Bước 8

Nâng $5 k + 1$ lên lũy thừa $1$ .

$\frac{{(5 k + 1)}^{1} (5 k + 1) (5 k - 1)}{(k + 1) (5 k + 11) (5 k + 11)}$

Bước 9

Nâng $5 k + 1$ lên lũy thừa $1$ .

$\frac{{(5 k + 1)}^{1} {(5 k + 1)}^{1} (5 k - 1)}{(k + 1) (5 k + 11) (5 k + 11)}$

Bước 10

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\frac{{(5 k + 1)}^{1 + 1} (5 k - 1)}{(k + 1) (5 k + 11) (5 k + 11)}$

Bước 11

Cộng $1$ và $1$ .

$\frac{{(5 k + 1)}^{2} (5 k - 1)}{(k + 1) (5 k + 11) (5 k + 11)}$

Bước 12

Nâng $5 k + 11$ lên lũy thừa $1$ .

$\frac{{(5 k + 1)}^{2} (5 k - 1)}{(k + 1) ({(5 k + 11)}^{1} (5 k + 11))}$

Bước 13

Nâng $5 k + 11$ lên lũy thừa $1$ .

$\frac{{(5 k + 1)}^{2} (5 k - 1)}{(k + 1) ({(5 k + 11)}^{1} {(5 k + 11)}^{1})}$

Bước 14

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\frac{{(5 k + 1)}^{2} (5 k - 1)}{(k + 1) {(5 k + 11)}^{1 + 1}}$

Bước 15

Cộng $1$ và $1$ .

$\frac{{(5 k + 1)}^{2} (5 k - 1)}{(k + 1) {(5 k + 11)}^{2}}$