Toán cơ bản Ví dụ

$\frac{\sqrt{3} (\cos (315) + i \sin (315))}{\sqrt{6} (\cos (45) + i \sin (45))}$

Bước 1

Kết hợp $\sqrt{3}$ và $\sqrt{6}$ vào một căn thức đơn.

$\frac{\sqrt{\frac{3}{6}} (\cos (315) + i \sin (315))}{\cos (45) + i \sin (45)}$

Bước 2

Triệt tiêu thừa số chung của $3$ và $6$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Đưa $3$ ra ngoài $3$ .

$\frac{\sqrt{\frac{3 (1)}{6}} (\cos (315) + i \sin (315))}{\cos (45) + i \sin (45)}$

Bước 2.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1

Đưa $3$ ra ngoài $6$ .

$\frac{\sqrt{\frac{3 \cdot 1}{3 \cdot 2}} (\cos (315) + i \sin (315))}{\cos (45) + i \sin (45)}$

Bước 2.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{\sqrt{\frac{3 \cdot 1}{3 \cdot 2}} (\cos (315) + i \sin (315))}{\cos (45) + i \sin (45)}$

Bước 2.2.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{\sqrt{\frac{1}{2}} (\cos (315) + i \sin (315))}{\cos (45) + i \sin (45)}$

Bước 3

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Áp dụng góc tham chiếu bằng cách tìm góc có các giá trị lượng giác tương đương trong góc phần tư thứ nhất.

$\frac{\sqrt{\frac{1}{2}} (\cos (45) + i \sin (315))}{\cos (45) + i \sin (45)}$

Bước 3.2

Giá trị chính xác của $\cos (45)$ là $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{\sqrt{\frac{1}{2}} (\frac{\sqrt{2}}{2} + i \sin (315))}{\cos (45) + i \sin (45)}$

Bước 3.3

Áp dụng góc tham chiếu bằng cách tìm góc có các giá trị lượng giác tương đương trong góc phần tư thứ nhất. Làm cho biểu thức âm vì sin âm trong góc phần tư thứ tư.

$\frac{\sqrt{\frac{1}{2}} (\frac{\sqrt{2}}{2} + i (- \sin (45)))}{\cos (45) + i \sin (45)}$

Bước 3.4

Giá trị chính xác của $\sin (45)$ là $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{\sqrt{\frac{1}{2}} (\frac{\sqrt{2}}{2} + i (- \frac{\sqrt{2}}{2}))}{\cos (45) + i \sin (45)}$

Bước 3.5

Kết hợp $i$ và $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{\sqrt{\frac{1}{2}} (\frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{i \sqrt{2}}{2})}{\cos (45) + i \sin (45)}$

Bước 3.6

Viết lại $\sqrt{\frac{1}{2}}$ ở dạng $\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{2}}$ .

$\frac{\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{2}} (\frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{i \sqrt{2}}{2})}{\cos (45) + i \sin (45)}$

Bước 3.7

Bất cứ nghiệm nào của $1$ đều là $1$ .

$\frac{\frac{1}{\sqrt{2}} (\frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{i \sqrt{2}}{2})}{\cos (45) + i \sin (45)}$

Bước 3.8

Nhân $\frac{1}{\sqrt{2}}$ với $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$\frac{\frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}} (\frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{i \sqrt{2}}{2})}{\cos (45) + i \sin (45)}$

Bước 3.9

Kết hợp và rút gọn mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.9.1

Nhân $\frac{1}{\sqrt{2}}$ với $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$\frac{\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}} (\frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{i \sqrt{2}}{2})}{\cos (45) + i \sin (45)}$

Bước 3.9.2

Nâng $\sqrt{2}$ lên lũy thừa $1$ .

$\frac{\frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}} (\frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{i \sqrt{2}}{2})}{\cos (45) + i \sin (45)}$

Bước 3.9.3

Nâng $\sqrt{2}$ lên lũy thừa $1$ .

$\frac{\frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}} (\frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{i \sqrt{2}}{2})}{\cos (45) + i \sin (45)}$

Bước 3.9.4

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\frac{\frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}} (\frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{i \sqrt{2}}{2})}{\cos (45) + i \sin (45)}$

Bước 3.9.5

Cộng $1$ và $1$ .

$\frac{\frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}} (\frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{i \sqrt{2}}{2})}{\cos (45) + i \sin (45)}$

Bước 3.9.6

Viết lại ${\sqrt{2}}^{2}$ ở dạng $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.9.6.1

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt{2}$ ở dạng $2^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{\frac{\sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}} (\frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{i \sqrt{2}}{2})}{\cos (45) + i \sin (45)}$

Bước 3.9.6.2

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{\frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}} (\frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{i \sqrt{2}}{2})}{\cos (45) + i \sin (45)}$

Bước 3.9.6.3

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $2$ .

$\frac{\frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}} (\frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{i \sqrt{2}}{2})}{\cos (45) + i \sin (45)}$

Bước 3.9.6.4

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.9.6.4.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{\frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}} (\frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{i \sqrt{2}}{2})}{\cos (45) + i \sin (45)}$

Bước 3.9.6.4.2

Viết lại biểu thức.

$\frac{\frac{\sqrt{2}}{2^{1}} (\frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{i \sqrt{2}}{2})}{\cos (45) + i \sin (45)}$

Bước 3.9.6.5

Tính số mũ.

$\frac{\frac{\sqrt{2}}{2} (\frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{i \sqrt{2}}{2})}{\cos (45) + i \sin (45)}$

Bước 3.10

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2} - i \sqrt{2}}{2}}{\cos (45) + i \sin (45)}$

Bước 4

Rút gọn mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Giá trị chính xác của $\cos (45)$ là $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2} - i \sqrt{2}}{2}}{\frac{\sqrt{2}}{2} + i \sin (45)}$

Bước 4.2

Giá trị chính xác của $\sin (45)$ là $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2} - i \sqrt{2}}{2}}{\frac{\sqrt{2}}{2} + i \frac{\sqrt{2}}{2}}$

Bước 4.3

Kết hợp $i$ và $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2} - i \sqrt{2}}{2}}{\frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{i \sqrt{2}}{2}}$

Bước 4.4

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2} - i \sqrt{2}}{2}}{\frac{\sqrt{2} + i \sqrt{2}}{2}}$

Bước 5

Kết hợp các phân số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Nhân $\frac{\sqrt{2}}{2}$ với $\frac{\sqrt{2} - i \sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{\frac{\sqrt{2} (\sqrt{2} - i \sqrt{2})}{2 \cdot 2}}{\frac{\sqrt{2} + i \sqrt{2}}{2}}$

Bước 5.2

Nhân $2$ với $2$ .

$\frac{\frac{\sqrt{2} (\sqrt{2} - i \sqrt{2})}{4}}{\frac{\sqrt{2} + i \sqrt{2}}{2}}$

Bước 6

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{\frac{\sqrt{2} \sqrt{2} + \sqrt{2} (- i \sqrt{2})}{4}}{\frac{\sqrt{2} + i \sqrt{2}}{2}}$

Bước 6.2

Kết hợp bằng các sử dụng quy tắc tích số cho các căn thức.

$\frac{\frac{\sqrt{2 \cdot 2} + \sqrt{2} (- i \sqrt{2})}{4}}{\frac{\sqrt{2} + i \sqrt{2}}{2}}$

Bước 6.3

Nhân $\sqrt{2} (- i \sqrt{2})$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.3.1

Nâng $\sqrt{2}$ lên lũy thừa $1$ .

$\frac{\frac{\sqrt{2 \cdot 2} - i ({\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2})}{4}}{\frac{\sqrt{2} + i \sqrt{2}}{2}}$

Bước 6.3.2

Nâng $\sqrt{2}$ lên lũy thừa $1$ .

$\frac{\frac{\sqrt{2 \cdot 2} - i ({\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1})}{4}}{\frac{\sqrt{2} + i \sqrt{2}}{2}}$

Bước 6.3.3

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\frac{\frac{\sqrt{2 \cdot 2} - i {\sqrt{2}}^{1 + 1}}{4}}{\frac{\sqrt{2} + i \sqrt{2}}{2}}$

Bước 6.3.4

Cộng $1$ và $1$ .

$\frac{\frac{\sqrt{2 \cdot 2} - i {\sqrt{2}}^{2}}{4}}{\frac{\sqrt{2} + i \sqrt{2}}{2}}$

Bước 6.4

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.4.1

Nhân $2$ với $2$ .

$\frac{\frac{\sqrt{4} - i {\sqrt{2}}^{2}}{4}}{\frac{\sqrt{2} + i \sqrt{2}}{2}}$

Bước 6.4.2

Viết lại $4$ ở dạng $2^{2}$ .

$\frac{\frac{\sqrt{2^{2}} - i {\sqrt{2}}^{2}}{4}}{\frac{\sqrt{2} + i \sqrt{2}}{2}}$

Bước 6.4.3

Đưa các số hạng dưới dấu căn ra ngoài, giả sử đó là các số thực dương.

$\frac{\frac{2 - i {\sqrt{2}}^{2}}{4}}{\frac{\sqrt{2} + i \sqrt{2}}{2}}$

Bước 6.4.4

Viết lại ${\sqrt{2}}^{2}$ ở dạng $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.4.4.1

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt{2}$ ở dạng $2^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{\frac{2 - i {(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}{4}}{\frac{\sqrt{2} + i \sqrt{2}}{2}}$

Bước 6.4.4.2

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{\frac{2 - i \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{4}}{\frac{\sqrt{2} + i \sqrt{2}}{2}}$

Bước 6.4.4.3

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $2$ .

$\frac{\frac{2 - i \cdot 2^{\frac{2}{2}}}{4}}{\frac{\sqrt{2} + i \sqrt{2}}{2}}$

Bước 6.4.4.4

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.4.4.4.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{\frac{2 - i \cdot 2^{\frac{2}{2}}}{4}}{\frac{\sqrt{2} + i \sqrt{2}}{2}}$

Bước 6.4.4.4.2

Viết lại biểu thức.

$\frac{\frac{2 - i \cdot 2^{1}}{4}}{\frac{\sqrt{2} + i \sqrt{2}}{2}}$

Bước 6.4.4.5

Tính số mũ.

$\frac{\frac{2 - i \cdot 2}{4}}{\frac{\sqrt{2} + i \sqrt{2}}{2}}$

Bước 6.4.5

Nhân $2$ với $- 1$ .

$\frac{\frac{2 - 2 i}{4}}{\frac{\sqrt{2} + i \sqrt{2}}{2}}$

Bước 6.5

Triệt tiêu thừa số chung của $2 - 2 i$ và $4$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.5.1

Đưa $2$ ra ngoài $2$ .

$\frac{\frac{2 (1) - 2 i}{4}}{\frac{\sqrt{2} + i \sqrt{2}}{2}}$

Bước 6.5.2

Đưa $2$ ra ngoài $- 2 i$ .

$\frac{\frac{2 (1) + 2 (- i)}{4}}{\frac{\sqrt{2} + i \sqrt{2}}{2}}$

Bước 6.5.3

Đưa $2$ ra ngoài $2 (1) + 2 (- i)$ .

$\frac{\frac{2 (1 - i)}{4}}{\frac{\sqrt{2} + i \sqrt{2}}{2}}$

Bước 6.5.4

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.5.4.1

Đưa $2$ ra ngoài $4$ .

$\frac{\frac{2 (1 - i)}{2 \cdot 2}}{\frac{\sqrt{2} + i \sqrt{2}}{2}}$

Bước 6.5.4.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{\frac{2 (1 - i)}{2 \cdot 2}}{\frac{\sqrt{2} + i \sqrt{2}}{2}}$

Bước 6.5.4.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{\frac{1 - i}{2}}{\frac{\sqrt{2} + i \sqrt{2}}{2}}$

Bước 7

Nhân tử số với nghịch đảo của mẫu số.

$\frac{1 - i}{2} \cdot \frac{2}{\sqrt{2} + i \sqrt{2}}$

Bước 8

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{1 - i}{2} \cdot \frac{2}{\sqrt{2} + i \sqrt{2}}$

Bước 8.2

Viết lại biểu thức.

$(1 - i) \frac{1}{\sqrt{2} + i \sqrt{2}}$

Bước 9

Nhân $\frac{1}{\sqrt{2} + i \sqrt{2}}$ với $\frac{\sqrt{2} - i \sqrt{2}}{\sqrt{2} - i \sqrt{2}}$ .

$(1 - i) (\frac{1}{\sqrt{2} + i \sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2} - i \sqrt{2}}{\sqrt{2} - i \sqrt{2}})$

Bước 10

Rút gọn các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.1

Nhân $\frac{1}{\sqrt{2} + i \sqrt{2}}$ với $\frac{\sqrt{2} - i \sqrt{2}}{\sqrt{2} - i \sqrt{2}}$ .

$(1 - i) \frac{\sqrt{2} - i \sqrt{2}}{(\sqrt{2} + i \sqrt{2}) (\sqrt{2} - i \sqrt{2})}$

Bước 10.2

Khai triển mẫu số bằng cách sử dụng phương pháp FOIL.

$(1 - i) \frac{\sqrt{2} - i \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2} - i {\sqrt{2}}^{2} + i {\sqrt{2}}^{2} - i^{2} {\sqrt{2}}^{2}}$

Bước 10.3

Rút gọn.

$(1 - i) \frac{\sqrt{2} - i \sqrt{2}}{4}$

Bước 10.4

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$1 \frac{\sqrt{2} - i \sqrt{2}}{4} - i \frac{\sqrt{2} - i \sqrt{2}}{4}$

Bước 10.5

Nhân $\frac{\sqrt{2} - i \sqrt{2}}{4}$ với $1$ .

$\frac{\sqrt{2} - i \sqrt{2}}{4} - i \frac{\sqrt{2} - i \sqrt{2}}{4}$

Bước 10.6

Kết hợp $\frac{\sqrt{2} - i \sqrt{2}}{4}$ và $i$ .

$\frac{\sqrt{2} - i \sqrt{2}}{4} - \frac{(\sqrt{2} - i \sqrt{2}) i}{4}$

Bước 10.7

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{\sqrt{2} - i \sqrt{2} - (\sqrt{2} - i \sqrt{2}) i}{4}$

Bước 11

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{\sqrt{2} - i \sqrt{2} + (- \sqrt{2} - (- i \sqrt{2})) i}{4}$

Bước 11.2

Nhân $- (- i \sqrt{2})$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.2.1

Nhân $- 1$ với $- 1$ .

$\frac{\sqrt{2} - i \sqrt{2} + (- \sqrt{2} + 1 (i \sqrt{2})) i}{4}$

Bước 11.2.2

Nhân $\sqrt{2}$ với $1$ .

$\frac{\sqrt{2} - i \sqrt{2} + (- \sqrt{2} + \sqrt{2} i) i}{4}$

Bước 11.3

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{\sqrt{2} - i \sqrt{2} - \sqrt{2} i + \sqrt{2} i i}{4}$

Bước 11.4

Nhân $\sqrt{2} i i$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.4.1

Nâng $i$ lên lũy thừa $1$ .

$\frac{\sqrt{2} - i \sqrt{2} - \sqrt{2} i + \sqrt{2} (i^{1} i)}{4}$

Bước 11.4.2

Nâng $i$ lên lũy thừa $1$ .

$\frac{\sqrt{2} - i \sqrt{2} - \sqrt{2} i + \sqrt{2} (i^{1} i^{1})}{4}$

Bước 11.4.3

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\frac{\sqrt{2} - i \sqrt{2} - \sqrt{2} i + \sqrt{2} i^{1 + 1}}{4}$

Bước 11.4.4

Cộng $1$ và $1$ .

$\frac{\sqrt{2} - i \sqrt{2} - \sqrt{2} i + \sqrt{2} i^{2}}{4}$

Bước 11.5

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.5.1

Viết lại $i^{2}$ ở dạng $- 1$ .

$\frac{\sqrt{2} - i \sqrt{2} - \sqrt{2} i + \sqrt{2} \cdot - 1}{4}$

Bước 11.5.2

Di chuyển $- 1$ sang phía bên trái của $\sqrt{2}$ .

$\frac{\sqrt{2} - i \sqrt{2} - \sqrt{2} i - 1 \cdot \sqrt{2}}{4}$

Bước 11.5.3

Viết lại $- 1 \sqrt{2}$ ở dạng $- \sqrt{2}$ .

$\frac{\sqrt{2} - i \sqrt{2} - \sqrt{2} i - \sqrt{2}}{4}$

Bước 12

Rút gọn các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.1

Trừ $\sqrt{2}$ khỏi $\sqrt{2}$ .

$\frac{- i \sqrt{2} - \sqrt{2} i + 0}{4}$

Bước 12.2

Sắp xếp lại các thừa số của $- \sqrt{2} i$ .

$\frac{- i \sqrt{2} - i \sqrt{2} + 0}{4}$

Bước 12.3

Trừ $i \sqrt{2}$ khỏi $- i \sqrt{2}$ .

$\frac{- 2 i \sqrt{2} + 0}{4}$

Bước 12.4

Cộng $- 2 i \sqrt{2}$ và $0$ .

$\frac{- 2 i \sqrt{2}}{4}$

Bước 12.5

Triệt tiêu thừa số chung của $- 2$ và $4$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.5.1

Đưa $2$ ra ngoài $- 2 i \sqrt{2}$ .

$\frac{2 (- i \sqrt{2})}{4}$

Bước 12.5.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.5.2.1

Đưa $2$ ra ngoài $4$ .

$\frac{2 (- i \sqrt{2})}{2 (2)}$

Bước 12.5.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{2 (- i \sqrt{2})}{2 \cdot 2}$

Bước 12.5.2.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{- i \sqrt{2}}{2}$

Bước 12.6

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$- \frac{i \sqrt{2}}{2}$