Toán cơ bản Ví dụ

$\frac{2^{n} + 2^{- n}}{2} = \frac{1 + 4^{n}}{2^{n} + 1}$

Bước 1

Lấy logarit của cả hai vế của phương trình.

$\ln (\frac{2^{n} + 2^{- n}}{2}) = \ln (\frac{1 + 4^{n}}{2^{n} + 1})$

Bước 2

Viết lại $\ln (\frac{2^{n} + 2^{- n}}{2})$ ở dạng $\ln (2^{n} + 2^{- n}) - \ln (2)$ .

$\ln (2^{n} + 2^{- n}) - \ln (2) = \ln (\frac{1 + 4^{n}}{2^{n} + 1})$

Bước 3

Viết lại $\ln (\frac{1 + 4^{n}}{2^{n} + 1})$ ở dạng $\ln (1 + 4^{n}) - \ln (2^{n} + 1)$ .

$\ln (2^{n} + 2^{- n}) - \ln (2) = \ln (1 + 4^{n}) - \ln (2^{n} + 1)$

Bước 4

Giải phương trình để tìm $n$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Sử dụng tính chất thương của logarit, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{2^{n} + 2^{- n}}{2}) = \ln (1 + 4^{n}) - \ln (2^{n} + 1)$

Bước 4.2

Sử dụng tính chất thương của logarit, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{2^{n} + 2^{- n}}{2}) = \ln (\frac{1 + 4^{n}}{2^{n} + 1})$

Bước 4.3

Di chuyển tất cả các số hạng chứa $n$ sang vế trái của phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.1

Trừ $\ln (\frac{1 + 4^{n}}{2^{n} + 1})$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$\ln (\frac{2^{n} + 2^{- n}}{2}) - \ln (\frac{1 + 4^{n}}{2^{n} + 1}) = 0$

Bước 4.3.2

Sử dụng tính chất thương của logarit, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{\frac{2^{n} + 2^{- n}}{2}}{\frac{1 + 4^{n}}{2^{n} + 1}}) = 0$

Bước 4.3.3

Nhân tử số với nghịch đảo của mẫu số.

$\ln (\frac{2^{n} + 2^{- n}}{2} \cdot \frac{2^{n} + 1}{1 + 4^{n}}) = 0$

Bước 4.3.4

Nhân $\frac{2^{n} + 2^{- n}}{2}$ với $\frac{2^{n} + 1}{1 + 4^{n}}$ .

$\ln (\frac{(2^{n} + 2^{- n}) (2^{n} + 1)}{2 (1 + 4^{n})}) = 0$

Bước 4.4

Viết lại $\ln (\frac{(2^{n} + 2^{- n}) (2^{n} + 1)}{2 (1 + 4^{n})}) = 0$ dưới dạng số mũ bằng định nghĩa của logarit. Nếu $x$ và $b$ là các số thực dương và $b$ $\neq$ $1$ , thì $\log_{b} (x) = y$ tương đương với $b^{y} = x$ .

$e^{0} = \frac{(2^{n} + 2^{- n}) (2^{n} + 1)}{2 (1 + 4^{n})}$

Bước 4.5

Nhân chéo để loại bỏ phân số.

$(2^{n} + 2^{- n}) (2^{n} + 1) = e^{0} (2 (1 + 4^{n}))$

Bước 4.6

Rút gọn $e^{0} (2 (1 + 4^{n}))$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.6.1

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.6.1.1

Bất kỳ đại lượng nào mũ $0$ lên đều là $1$ .

$(2^{n} + 2^{- n}) (2^{n} + 1) = 1 (2 (1 + 4^{n}))$

Bước 4.6.1.2

Nhân $2 (1 + 4^{n})$ với $1$ .

$(2^{n} + 2^{- n}) (2^{n} + 1) = 2 (1 + 4^{n})$

Bước 4.6.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$(2^{n} + 2^{- n}) (2^{n} + 1) = 2 \cdot 1 + 2 \cdot 4^{n}$

Bước 4.6.3

Nhân $2$ với $1$ .

$(2^{n} + 2^{- n}) (2^{n} + 1) = 2 + 2 \cdot 4^{n}$

Bước 4.6.4

Nhân $2 \cdot 4^{n}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.6.4.1

Viết lại $4$ ở dạng $2^{2}$ .

$(2^{n} + 2^{- n}) (2^{n} + 1) = 2 + 2 \cdot {(2^{2})}^{n}$

Bước 4.6.4.2

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$(2^{n} + 2^{- n}) (2^{n} + 1) = 2 + 2 \cdot 2^{2 n}$

Bước 4.6.4.3

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$(2^{n} + 2^{- n}) (2^{n} + 1) = 2 + 2^{1 + 2 n}$

Bước 4.7

Di chuyển tất cả các số hạng chứa $n$ sang vế trái của phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.7.1

Trừ $2^{1 + 2 n}$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$(2^{n} + 2^{- n}) (2^{n} + 1) - 2^{1 + 2 n} = 2$

Bước 4.7.2

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.7.2.1

Khai triển $(2^{n} + 2^{- n}) (2^{n} + 1)$ bằng cách sử dụng Phương pháp FOIL.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.7.2.1.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$2^{n} (2^{n} + 1) + 2^{- n} (2^{n} + 1) - 2^{1 + 2 n} = 2$

Bước 4.7.2.1.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$2^{n} \cdot 2^{n} + 2^{n} \cdot 1 + 2^{- n} (2^{n} + 1) - 2^{1 + 2 n} = 2$

Bước 4.7.2.1.3

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$2^{n} \cdot 2^{n} + 2^{n} \cdot 1 + 2^{- n} \cdot 2^{n} + 2^{- n} \cdot 1 - 2^{1 + 2 n} = 2$

Bước 4.7.2.2

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.7.2.2.1

Nhân $2^{n}$ với $2^{n}$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.7.2.2.1.1

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$2^{n + n} + 2^{n} \cdot 1 + 2^{- n} \cdot 2^{n} + 2^{- n} \cdot 1 - 2^{1 + 2 n} = 2$

Bước 4.7.2.2.1.2

Cộng $n$ và $n$ .

$2^{2 n} + 2^{n} \cdot 1 + 2^{- n} \cdot 2^{n} + 2^{- n} \cdot 1 - 2^{1 + 2 n} = 2$

Bước 4.7.2.2.2

Nhân $2^{n}$ với $1$ .

$2^{2 n} + 2^{n} + 2^{- n} \cdot 2^{n} + 2^{- n} \cdot 1 - 2^{1 + 2 n} = 2$

Bước 4.7.2.2.3

Nhân $2^{- n}$ với $2^{n}$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.7.2.2.3.1

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$2^{2 n} + 2^{n} + 2^{- n + n} + 2^{- n} \cdot 1 - 2^{1 + 2 n} = 2$

Bước 4.7.2.2.3.2

Cộng $- n$ và $n$ .

$2^{2 n} + 2^{n} + 2^{0} + 2^{- n} \cdot 1 - 2^{1 + 2 n} = 2$

Bước 4.7.2.2.4

Rút gọn $2^{0}$ .

$2^{2 n} + 2^{n} + 1 + 2^{- n} \cdot 1 - 2^{1 + 2 n} = 2$

Bước 4.7.2.2.5

Nhân $2^{- n}$ với $1$ .

$2^{2 n} + 2^{n} + 1 + 2^{- n} - 2^{1 + 2 n} = 2$

Bước 4.8

Di chuyển tất cả các số hạng không chứa $n$ sang vế phải của phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.8.1

Trừ $1$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$2^{2 n} + 2^{n} + 2^{- n} - 2^{1 + 2 n} = 2 - 1$

Bước 4.8.2

Trừ $1$ khỏi $2$ .

$2^{2 n} + 2^{n} + 2^{- n} - 2^{1 + 2 n} = 1$

Bước 4.9

Viết lại $2^{1 + 2 n}$ ở dạng $2^{1} \cdot 2^{2 n}$ .

$2^{2 n} + 2^{n} + 2^{- n} - (2 \cdot 2^{2 n}) = 1$

Bước 4.10

Viết lại $2^{2 n}$ dưới dạng số mũ.

${(2^{n})}^{2} + 2^{n} + 2^{- n} - (2 \cdot 2^{2 n}) = 1$

Bước 4.11

Viết lại $2^{- n}$ dưới dạng số mũ.

${(2^{n})}^{2} + 2^{n} + {(2^{n})}^{- 1} - (2 \cdot 2^{2 n}) = 1$

Bước 4.12

Viết lại $2^{2 n}$ dưới dạng số mũ.

${(2^{n})}^{2} + 2^{n} + {(2^{n})}^{- 1} - (2 \cdot {(2^{n})}^{2}) = 1$

Bước 4.13

Loại bỏ các dấu ngoặc đơn.

${(2^{n})}^{2} + 2^{n} + {(2^{n})}^{- 1} - 2 {(2^{n})}^{2} = 1$

Bước 4.14

Thay $u$ bằng $2^{n}$ .

$u^{2} + u + u^{- 1} - 2 u^{2} = 1$

Bước 4.15

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.15.1

Viết lại biểu thức bằng quy tắc số mũ âm $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$u^{2} + u + \frac{1}{u} - 2 u^{2} = 1$

Bước 4.15.2

Tính số mũ.

$u^{2} + u + \frac{1}{u} - 1 \cdot (2 u^{2}) = 1$

Bước 4.15.3

Nhân $- 1$ với $2$ .

$u^{2} + u + \frac{1}{u} - 2 u^{2} = 1$

Bước 4.16

Trừ $2 u^{2}$ khỏi $u^{2}$ .

$- u^{2} + u + \frac{1}{u} = 1$

Bước 4.17

Giải tìm $u$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.17.1

Tìm mẫu số chung nhỏ nhất của các số hạng trong phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.17.1.1

Tìm MCNN của các giá trị cũng giống như tìm BCNN của các mẫu số của các giá trị đó.

$1, 1, u, 1$

Bước 4.17.1.2

BCNN của một và bất kỳ biểu thức nào chính là biểu thức đó.

$u$

Bước 4.17.2

Nhân mỗi số hạng trong $- u^{2} + u + \frac{1}{u} = 1$ với $u$ để loại bỏ các phân số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.17.2.1

Nhân mỗi số hạng trong $- u^{2} + u + \frac{1}{u} = 1$ với $u$ .

$- u^{2} u + u \cdot u + \frac{1}{u} u = 1 u$

Bước 4.17.2.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.17.2.2.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.17.2.2.1.1

Nhân $u^{2}$ với $u$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.17.2.2.1.1.1

Di chuyển $u$ .

$- (u \cdot u^{2}) + u \cdot u + \frac{1}{u} u = 1 u$

Bước 4.17.2.2.1.1.2

Nhân $u$ với $u^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.17.2.2.1.1.2.1

Nâng $u$ lên lũy thừa $1$ .

$- (u^{1} u^{2}) + u \cdot u + \frac{1}{u} u = 1 u$

Bước 4.17.2.2.1.1.2.2

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$- u^{1 + 2} + u \cdot u + \frac{1}{u} u = 1 u$

Bước 4.17.2.2.1.1.3

Cộng $1$ và $2$ .

$- u^{3} + u \cdot u + \frac{1}{u} u = 1 u$

Bước 4.17.2.2.1.2

Nhân $u$ với $u$ .

$- u^{3} + u^{2} + \frac{1}{u} u = 1 u$

Bước 4.17.2.2.1.3

Triệt tiêu thừa số chung $u$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.17.2.2.1.3.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$- u^{3} + u^{2} + \frac{1}{u} u = 1 u$

Bước 4.17.2.2.1.3.2

Viết lại biểu thức.

$- u^{3} + u^{2} + 1 = 1 u$

Bước 4.17.2.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.17.2.3.1

Nhân $u$ với $1$ .

$- u^{3} + u^{2} + 1 = u$

Bước 4.17.3

Giải phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.17.3.1

Trừ $u$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$- u^{3} + u^{2} + 1 - u = 0$

Bước 4.17.3.2

Phân tích vế trái của phương trình thành thừa số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.17.3.2.1

Sắp xếp lại các số hạng.

$- u^{3} + u^{2} - u + 1 = 0$

Bước 4.17.3.2.2

Đưa ước số chung lớn nhất từ từng nhóm ra ngoài.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.17.3.2.2.1

Nhóm hai số hạng đầu tiên và hai số hạng cuối.

$(- u^{3} + u^{2}) - u + 1 = 0$

Bước 4.17.3.2.2.2

Đưa ước số chung lớn nhất (ƯCLN) từ từng nhóm ra ngoài.

$u^{2} (- u + 1) + 1 (- u + 1) = 0$

Bước 4.17.3.2.3

Phân tích đa thức thành thừa số bằng cách đưa ước số chung lớn nhất ra ngoài, $- u + 1$ .

$(- u + 1) (u^{2} + 1) = 0$

Bước 4.17.3.3

Nếu bất kỳ thừa số riêng lẻ nào ở vế trái của phương trình bằng $0$ , toàn bộ biểu thức sẽ bằng $0$ .

$- u + 1 = 0$

$u^{2} + 1 = 0$

Bước 4.17.3.4

Đặt $- u + 1$ bằng $0$ và giải tìm $u$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.17.3.4.1

Đặt $- u + 1$ bằng với $0$ .

$- u + 1 = 0$

Bước 4.17.3.4.2

Giải $- u + 1 = 0$ để tìm $u$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.17.3.4.2.1

Trừ $1$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$- u = - 1$

Bước 4.17.3.4.2.2

Chia mỗi số hạng trong $- u = - 1$ cho $- 1$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.17.3.4.2.2.1

Chia mỗi số hạng trong $- u = - 1$ cho $- 1$ .

$\frac{- u}{- 1} = \frac{- 1}{- 1}$

Bước 4.17.3.4.2.2.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.17.3.4.2.2.2.1

Chia hai giá trị âm cho nhau sẽ có kết quả là một giá trị dương.

$\frac{u}{1} = \frac{- 1}{- 1}$

Bước 4.17.3.4.2.2.2.2

Chia $u$ cho $1$ .

$u = \frac{- 1}{- 1}$

Bước 4.17.3.4.2.2.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.17.3.4.2.2.3.1

Chia $- 1$ cho $- 1$ .

$u = 1$

Bước 4.17.3.5

Đặt $u^{2} + 1$ bằng $0$ và giải tìm $u$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.17.3.5.1

Đặt $u^{2} + 1$ bằng với $0$ .

$u^{2} + 1 = 0$

Bước 4.17.3.5.2

Giải $u^{2} + 1 = 0$ để tìm $u$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.17.3.5.2.1

Trừ $1$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$u^{2} = - 1$

Bước 4.17.3.5.2.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$u = \pm \sqrt{- 1}$

Bước 4.17.3.5.2.3

Viết lại $\sqrt{- 1}$ ở dạng $i$ .

$u = \pm i$

Bước 4.17.3.5.2.4

Đáp án hoàn chỉnh là kết quả của cả hai phần dương và âm của đáp án.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.17.3.5.2.4.1

Đầu tiên, sử dụng giá trị dương của $\pm$ để tìm đáp án đầu tiên.

$u = i$

Bước 4.17.3.5.2.4.2

Tiếp theo, sử dụng giá trị âm của $\pm$ để tìm đáp án thứ hai.

$u = - i$

Bước 4.17.3.5.2.4.3

Đáp án hoàn chỉnh là kết quả của cả hai phần dương và âm của đáp án.

$u = i, - i$

Bước 4.17.3.6

Đáp án cuối cùng là tất cả các giá trị làm cho $(- u + 1) (u^{2} + 1) = 0$ đúng.

$u = 1, i, - i$

Bước 4.18

Thay $1$ cho $u$ trong $u = 2^{n}$ .

$1 = 2^{n}$

Bước 4.19

Giải $1 = 2^{n}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.19.1

Viết lại phương trình ở dạng $2^{n} = 1$ .

$2^{n} = 1$

Bước 4.19.2

Lấy logarit tự nhiên của cả hai vế của phương trình để loại bỏ biến khỏi số mũ.

$\ln (2^{n}) = \ln (1)$

Bước 4.19.3

Khai triển $\ln (2^{n})$ bằng cách di chuyển $n$ ra bên ngoài lôgarit.

$n \ln (2) = \ln (1)$

Bước 4.19.4

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.19.4.1

Logarit tự nhiên của $1$ là $0$ .

$n \ln (2) = 0$

Bước 4.19.5

Chia mỗi số hạng trong $n \ln (2) = 0$ cho $\ln (2)$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.19.5.1

Chia mỗi số hạng trong $n \ln (2) = 0$ cho $\ln (2)$ .

$\frac{n \ln (2)}{\ln (2)} = \frac{0}{\ln (2)}$

Bước 4.19.5.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.19.5.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $\ln (2)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.19.5.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{n \ln (2)}{\ln (2)} = \frac{0}{\ln (2)}$

Bước 4.19.5.2.1.2

Chia $n$ cho $1$ .

$n = \frac{0}{\ln (2)}$

Bước 4.19.5.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.19.5.3.1

Chia $0$ cho $\ln (2)$ .

$n = 0$

Bước 4.20

Thay $i$ cho $u$ trong $u = 2^{n}$ .

$i = 2^{n}$

Bước 4.21

Giải $i = 2^{n}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.21.1

Viết lại phương trình ở dạng $2^{n} = i$ .

$2^{n} = i$

Bước 4.21.2

Lấy logarit tự nhiên của cả hai vế của phương trình để loại bỏ biến khỏi số mũ.

$\ln (2^{n}) = \ln (i)$

Bước 4.21.3

Khai triển $\ln (2^{n})$ bằng cách di chuyển $n$ ra bên ngoài lôgarit.

$n \ln (2) = \ln (i)$

Bước 4.21.4

Chia mỗi số hạng trong $n \ln (2) = \ln (i)$ cho $\ln (2)$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.21.4.1

Chia mỗi số hạng trong $n \ln (2) = \ln (i)$ cho $\ln (2)$ .

$\frac{n \ln (2)}{\ln (2)} = \frac{\ln (i)}{\ln (2)}$

Bước 4.21.4.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.21.4.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $\ln (2)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.21.4.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{n \ln (2)}{\ln (2)} = \frac{\ln (i)}{\ln (2)}$

Bước 4.21.4.2.1.2

Chia $n$ cho $1$ .

$n = \frac{\ln (i)}{\ln (2)}$

Bước 4.22

Thay $- i$ cho $u$ trong $u = 2^{n}$ .

$- i = 2^{n}$

Bước 4.23

Giải $- i = 2^{n}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.23.1

Viết lại phương trình ở dạng $2^{n} = - i$ .

$2^{n} = - i$

Bước 4.23.2

Lấy logarit tự nhiên của cả hai vế của phương trình để loại bỏ biến khỏi số mũ.

$\ln (2^{n}) = \ln (- i)$

Bước 4.23.3

Không thể giải phương trình vì $\ln (- i)$ không xác định.

Không xác định

Bước 4.23.4

Không có đáp án nào cho $2^{n} = - i$

Không có đáp án

Bước 4.24

Liệt kê các đáp án và làm cho phương trình đúng.

$n = 0, \frac{\ln (i)}{\ln (2)}$