Toán cơ bản Ví dụ

$- \frac{1}{27} = r^{3}$

Bước 1

Viết lại phương trình ở dạng $r^{3} = - \frac{1}{27}$ .

$r^{3} = - \frac{1}{27}$

Bước 2

Cộng $\frac{1}{27}$ cho cả hai vế của phương trình.

$r^{3} + \frac{1}{27} = 0$

Bước 3

Phân tích vế trái của phương trình thành thừa số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Viết lại $1$ ở dạng $1^{3}$ .

$r^{3} + \frac{1^{3}}{27} = 0$

Bước 3.2

Viết lại $27$ ở dạng $3^{3}$ .

$r^{3} + \frac{1^{3}}{3^{3}} = 0$

Bước 3.3

Viết lại $\frac{1^{3}}{3^{3}}$ ở dạng ${(\frac{1}{3})}^{3}$ .

$r^{3} + {(\frac{1}{3})}^{3} = 0$

Bước 3.4

Vì cả hai số hạng đều là các số lập phương, nên ta phân tích thành thừa số bằng công thức tổng các lập phương, $a^{3} + b^{3} = (a + b) (a^{2} - a b + b^{2})$ với $a = r$ và $b = \frac{1}{3}$ .

$(r + \frac{1}{3}) (r^{2} - r \frac{1}{3} + {(\frac{1}{3})}^{2}) = 0$

Bước 3.5

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.5.1

Kết hợp $\frac{1}{3}$ và $r$ .

$(r + \frac{1}{3}) (r^{2} - \frac{r}{3} + {(\frac{1}{3})}^{2}) = 0$

Bước 3.5.2

Áp dụng quy tắc tích số cho $\frac{1}{3}$ .

$(r + \frac{1}{3}) (r^{2} - \frac{r}{3} + \frac{1^{2}}{3^{2}}) = 0$

Bước 3.5.3

Một mũ bất kỳ số nào là một.

$(r + \frac{1}{3}) (r^{2} - \frac{r}{3} + \frac{1}{3^{2}}) = 0$

Bước 3.5.4

Nâng $3$ lên lũy thừa $2$ .

$(r + \frac{1}{3}) (r^{2} - \frac{r}{3} + \frac{1}{9}) = 0$

Bước 4

Nếu bất kỳ thừa số riêng lẻ nào ở vế trái của phương trình bằng $0$ , toàn bộ biểu thức sẽ bằng $0$ .

$r + \frac{1}{3} = 0$

$r^{2} - \frac{r}{3} + \frac{1}{9} = 0$

Bước 5

Đặt $r + \frac{1}{3}$ bằng $0$ và giải tìm $r$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Đặt $r + \frac{1}{3}$ bằng với $0$ .

$r + \frac{1}{3} = 0$

Bước 5.2

Trừ $\frac{1}{3}$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$r = - \frac{1}{3}$

Bước 6

Đặt $r^{2} - \frac{r}{3} + \frac{1}{9}$ bằng $0$ và giải tìm $r$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Đặt $r^{2} - \frac{r}{3} + \frac{1}{9}$ bằng với $0$ .

$r^{2} - \frac{r}{3} + \frac{1}{9} = 0$

Bước 6.2

Giải $r^{2} - \frac{r}{3} + \frac{1}{9} = 0$ để tìm $r$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.1

Nhân với mẫu số chung nhỏ nhất $9$ , sau đó rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.1.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$9 r^{2} + 9 (- \frac{r}{3}) + 9 (\frac{1}{9}) = 0$

Bước 6.2.1.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.1.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.1.2.1.1

Di chuyển dấu âm đầu tiên trong $- \frac{r}{3}$ vào tử số.

$9 r^{2} + 9 (\frac{- r}{3}) + 9 (\frac{1}{9}) = 0$

Bước 6.2.1.2.1.2

Đưa $3$ ra ngoài $9$ .

$9 r^{2} + 3 (3) (\frac{- r}{3}) + 9 (\frac{1}{9}) = 0$

Bước 6.2.1.2.1.3

Triệt tiêu thừa số chung.

$9 r^{2} + 3 \cdot (3 (\frac{- r}{3})) + 9 (\frac{1}{9}) = 0$

Bước 6.2.1.2.1.4

Viết lại biểu thức.

$9 r^{2} + 3 (- r) + 9 (\frac{1}{9}) = 0$

Bước 6.2.1.2.2

Nhân $- 1$ với $3$ .

$9 r^{2} - 3 r + 9 (\frac{1}{9}) = 0$

Bước 6.2.1.2.3

Triệt tiêu thừa số chung $9$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.1.2.3.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$9 r^{2} - 3 r + 9 (\frac{1}{9}) = 0$

Bước 6.2.1.2.3.2

Viết lại biểu thức.

$9 r^{2} - 3 r + 1 = 0$

Bước 6.2.2

Sử dụng công thức bậc hai để tìm các đáp án.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Bước 6.2.3

Thay các giá trị $a = 9$ , $b = - 3$ , và $c = 1$ vào công thức bậc hai và giải tìm $r$ .

$\frac{3 \pm \sqrt{{(- 3)}^{2} - 4 \cdot (9 \cdot 1)}}{2 \cdot 9}$

Bước 6.2.4

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.4.1

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.4.1.1

Nâng $- 3$ lên lũy thừa $2$ .

$r = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot 9 \cdot 1}}{2 \cdot 9}$

Bước 6.2.4.1.2

Nhân $- 4 \cdot 9 \cdot 1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.4.1.2.1

Nhân $- 4$ với $9$ .

$r = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 36 \cdot 1}}{2 \cdot 9}$

Bước 6.2.4.1.2.2

Nhân $- 36$ với $1$ .

$r = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 36}}{2 \cdot 9}$

Bước 6.2.4.1.3

Trừ $36$ khỏi $9$ .

$r = \frac{3 \pm \sqrt{- 27}}{2 \cdot 9}$

Bước 6.2.4.1.4

Viết lại $- 27$ ở dạng $- 1 (27)$ .

$r = \frac{3 \pm \sqrt{- 1 \cdot 27}}{2 \cdot 9}$

Bước 6.2.4.1.5

Viết lại $\sqrt{- 1 (27)}$ ở dạng $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{27}$ .

$r = \frac{3 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{27}}{2 \cdot 9}$

Bước 6.2.4.1.6

Viết lại $\sqrt{- 1}$ ở dạng $i$ .

$r = \frac{3 \pm i \cdot \sqrt{27}}{2 \cdot 9}$

Bước 6.2.4.1.7

Viết lại $27$ ở dạng $3^{2} \cdot 3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.4.1.7.1

Đưa $9$ ra ngoài $27$ .

$r = \frac{3 \pm i \cdot \sqrt{9 (3)}}{2 \cdot 9}$

Bước 6.2.4.1.7.2

Viết lại $9$ ở dạng $3^{2}$ .

$r = \frac{3 \pm i \cdot \sqrt{3^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 9}$

Bước 6.2.4.1.8

Đưa các số hạng dưới căn thức ra ngoài.

$r = \frac{3 \pm i \cdot (3 \sqrt{3})}{2 \cdot 9}$

Bước 6.2.4.1.9

Di chuyển $3$ sang phía bên trái của $i$ .

$r = \frac{3 \pm 3 i \sqrt{3}}{2 \cdot 9}$

Bước 6.2.4.2

Nhân $2$ với $9$ .

$r = \frac{3 \pm 3 i \sqrt{3}}{18}$

Bước 6.2.4.3

Rút gọn $\frac{3 \pm 3 i \sqrt{3}}{18}$ .

$r = \frac{1 \pm i \sqrt{3}}{6}$

Bước 6.2.5

Câu trả lời cuối cùng là sự kết hợp của cả hai đáp án.

$r = \frac{1 + i \sqrt{3}}{6}, \frac{1 - i \sqrt{3}}{6}$

Bước 7

Đáp án cuối cùng là tất cả các giá trị làm cho $(r + \frac{1}{3}) (r^{2} - \frac{r}{3} + \frac{1}{9}) = 0$ đúng.

$r = - \frac{1}{3}, \frac{1 + i \sqrt{3}}{6}, \frac{1 - i \sqrt{3}}{6}$