Toán cơ bản Ví dụ

$(\frac{m}{n} - \frac{n}{m}) \cdot (\frac{m + n}{m - n} - \frac{m - n}{m + n})$

Bước 1

Để viết $\frac{m + n}{m - n}$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{m + n}{m + n}$ .

$(\frac{m}{n} - \frac{n}{m}) \cdot (\frac{m + n}{m - n} \cdot \frac{m + n}{m + n} - \frac{m - n}{m + n})$

Bước 2

Để viết $- \frac{m - n}{m + n}$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{m - n}{m - n}$ .

$(\frac{m}{n} - \frac{n}{m}) \cdot (\frac{m + n}{m - n} \cdot \frac{m + n}{m + n} - \frac{m - n}{m + n} \cdot \frac{m - n}{m - n})$

Bước 3

Viết mỗi biểu thức với mẫu số chung là $(m - n) (m + n)$ , bằng cách nhân từng biểu thức với một thừa số thích hợp của $1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Nhân $\frac{m + n}{m - n}$ với $\frac{m + n}{m + n}$ .

$(\frac{m}{n} - \frac{n}{m}) \cdot (\frac{(m + n) (m + n)}{(m - n) (m + n)} - \frac{m - n}{m + n} \cdot \frac{m - n}{m - n})$

Bước 3.2

Nhân $\frac{m - n}{m + n}$ với $\frac{m - n}{m - n}$ .

$(\frac{m}{n} - \frac{n}{m}) \cdot (\frac{(m + n) (m + n)}{(m - n) (m + n)} - \frac{(m - n) (m - n)}{(m + n) (m - n)})$

Bước 3.3

Sắp xếp lại các thừa số của $(m - n) (m + n)$ .

$(\frac{m}{n} - \frac{n}{m}) \cdot (\frac{(m + n) (m + n)}{(m + n) (m - n)} - \frac{(m - n) (m - n)}{(m + n) (m - n)})$

Bước 4

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$(\frac{m}{n} - \frac{n}{m}) \cdot \frac{(m + n) (m + n) - (m - n) (m - n)}{(m + n) (m - n)}$

Bước 5

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Nâng $m + n$ lên lũy thừa $1$ .

$(\frac{m}{n} - \frac{n}{m}) \cdot \frac{{(m + n)}^{1} (m + n) - (m - n) (m - n)}{(m + n) (m - n)}$

Bước 5.2

Nâng $m + n$ lên lũy thừa $1$ .

$(\frac{m}{n} - \frac{n}{m}) \cdot \frac{{(m + n)}^{1} {(m + n)}^{1} - (m - n) (m - n)}{(m + n) (m - n)}$

Bước 5.3

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$(\frac{m}{n} - \frac{n}{m}) \cdot \frac{{(m + n)}^{1 + 1} - (m - n) (m - n)}{(m + n) (m - n)}$

Bước 5.4

Cộng $1$ và $1$ .

$(\frac{m}{n} - \frac{n}{m}) \cdot \frac{{(m + n)}^{2} - (m - n) (m - n)}{(m + n) (m - n)}$

Bước 5.5

Viết lại $(m - n) (m - n)$ ở dạng ${(m - n)}^{2}$ .

$(\frac{m}{n} - \frac{n}{m}) \cdot \frac{{(m + n)}^{2} - {(m - n)}^{2}}{(m + n) (m - n)}$

Bước 5.6

Vì cả hai số hạng đều là số chính phương, nên ta phân tích thành thừa số bằng công thức hiệu của hai bình phương, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ trong đó $a = m + n$ và $b = m - n$ .

$(\frac{m}{n} - \frac{n}{m}) \cdot \frac{(m + n + m - n) (m + n - (m - n))}{(m + n) (m - n)}$

Bước 5.7

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.7.1

Cộng $m$ và $m$ .

$(\frac{m}{n} - \frac{n}{m}) \cdot \frac{(2 m + n - n) (m + n - (m - n))}{(m + n) (m - n)}$

Bước 5.7.2

Trừ $n$ khỏi $n$ .

$(\frac{m}{n} - \frac{n}{m}) \cdot \frac{(2 m + 0) (m + n - (m - n))}{(m + n) (m - n)}$

Bước 5.7.3

Cộng $2 m$ và $0$ .

$(\frac{m}{n} - \frac{n}{m}) \cdot \frac{2 m (m + n - (m - n))}{(m + n) (m - n)}$

Bước 5.7.4

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$(\frac{m}{n} - \frac{n}{m}) \cdot \frac{2 m (m + n - m - - n)}{(m + n) (m - n)}$

Bước 5.7.5

Nhân $- - n$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.7.5.1

Nhân $- 1$ với $- 1$ .

$(\frac{m}{n} - \frac{n}{m}) \cdot \frac{2 m (m + n - m + 1 n)}{(m + n) (m - n)}$

Bước 5.7.5.2

Nhân $n$ với $1$ .

$(\frac{m}{n} - \frac{n}{m}) \cdot \frac{2 m (m + n - m + n)}{(m + n) (m - n)}$

Bước 5.7.6

Trừ $m$ khỏi $m$ .

$(\frac{m}{n} - \frac{n}{m}) \cdot \frac{2 m (n + 0 + n)}{(m + n) (m - n)}$

Bước 5.7.7

Cộng $n$ và $0$ .

$(\frac{m}{n} - \frac{n}{m}) \cdot \frac{2 m (n + n)}{(m + n) (m - n)}$

Bước 5.7.8

Cộng $n$ và $n$ .

$(\frac{m}{n} - \frac{n}{m}) \cdot \frac{2 m \cdot 2 n}{(m + n) (m - n)}$

Bước 5.7.9

Nhân $2$ với $2$ .

$(\frac{m}{n} - \frac{n}{m}) \cdot \frac{4 m n}{(m + n) (m - n)}$

Bước 6

Nhân $\frac{m}{n} - \frac{n}{m}$ với $\frac{4 m n}{(m + n) (m - n)}$ .

$\frac{(\frac{m}{n} - \frac{n}{m}) (4 m n)}{(m + n) (m - n)}$

Bước 7

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1

Để viết $\frac{m}{n}$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{m}{m}$ .

$\frac{(\frac{m}{n} \cdot \frac{m}{m} - \frac{n}{m}) \cdot 4 m n}{(m + n) (m - n)}$

Bước 7.2

Để viết $- \frac{n}{m}$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{n}{n}$ .

$\frac{(\frac{m}{n} \cdot \frac{m}{m} - \frac{n}{m} \cdot \frac{n}{n}) \cdot 4 m n}{(m + n) (m - n)}$

Bước 7.3

Viết mỗi biểu thức với mẫu số chung là $n m$ , bằng cách nhân từng biểu thức với một thừa số thích hợp của $1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.3.1

Nhân $\frac{m}{n}$ với $\frac{m}{m}$ .

$\frac{(\frac{m \cdot m}{n m} - \frac{n}{m} \cdot \frac{n}{n}) \cdot 4 m n}{(m + n) (m - n)}$

Bước 7.3.2

Nhân $\frac{n}{m}$ với $\frac{n}{n}$ .

$\frac{(\frac{m \cdot m}{n m} - \frac{n \cdot n}{m n}) \cdot 4 m n}{(m + n) (m - n)}$

Bước 7.3.3

Sắp xếp lại các thừa số của $n m$ .

$\frac{(\frac{m \cdot m}{m n} - \frac{n \cdot n}{m n}) \cdot 4 m n}{(m + n) (m - n)}$

Bước 7.4

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{\frac{m \cdot m - n \cdot n}{m n} \cdot 4 m n}{(m + n) (m - n)}$

Bước 7.5

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.5.1

Nâng $m$ lên lũy thừa $1$ .

$\frac{\frac{m^{1} m - n \cdot n}{m n} \cdot 4 m n}{(m + n) (m - n)}$

Bước 7.5.2

Nâng $m$ lên lũy thừa $1$ .

$\frac{\frac{m^{1} m^{1} - n \cdot n}{m n} \cdot 4 m n}{(m + n) (m - n)}$

Bước 7.5.3

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\frac{\frac{m^{1 + 1} - n \cdot n}{m n} \cdot 4 m n}{(m + n) (m - n)}$

Bước 7.5.4

Cộng $1$ và $1$ .

$\frac{\frac{m^{2} - n \cdot n}{m n} \cdot 4 m n}{(m + n) (m - n)}$

Bước 7.5.5

Viết lại $n \cdot n$ ở dạng $n^{2}$ .

$\frac{\frac{m^{2} - n^{2}}{m n} \cdot 4 m n}{(m + n) (m - n)}$

Bước 7.5.6

Vì cả hai số hạng đều là số chính phương, nên ta phân tích thành thừa số bằng công thức hiệu của hai bình phương, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ trong đó $a = m$ và $b = n$ .

$\frac{\frac{(m + n) (m - n)}{m n} \cdot 4 m n}{(m + n) (m - n)}$

Bước 7.6

Kết hợp các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.6.1

Kết hợp $\frac{(m + n) (m - n)}{m n}$ và $4$ .

$\frac{\frac{(m + n) (m - n) \cdot 4}{m n} m n}{(m + n) (m - n)}$

Bước 7.6.2

Kết hợp $\frac{(m + n) (m - n) \cdot 4}{m n}$ và $m$ .

$\frac{\frac{(m + n) (m - n) \cdot 4 m}{m n} n}{(m + n) (m - n)}$

Bước 7.6.3

Kết hợp $\frac{(m + n) (m - n) \cdot 4 m}{m n}$ và $n$ .

$\frac{\frac{(m + n) (m - n) \cdot 4 m n}{m n}}{(m + n) (m - n)}$

Bước 7.7

Rút gọn biểu thức $\frac{(m + n) (m - n) \cdot 4 m n}{m n}$ bằng cách triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.7.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{\frac{(m + n) (m - n) \cdot 4 m n}{m n}}{(m + n) (m - n)}$

Bước 7.7.2

Viết lại biểu thức.

$\frac{\frac{(m + n) (m - n) \cdot 4 n}{n}}{(m + n) (m - n)}$

Bước 7.8

Triệt tiêu thừa số chung $n$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.8.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{\frac{(m + n) (m - n) \cdot 4 n}{n}}{(m + n) (m - n)}$

Bước 7.8.2

Chia $(m + n) (m - n) \cdot 4$ cho $1$ .

$\frac{(m + n) (m - n) \cdot 4}{(m + n) (m - n)}$

Bước 7.9

Khai triển $(m + n) (m - n)$ bằng cách sử dụng Phương pháp FOIL.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.9.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{(m (m - n) + n (m - n)) \cdot 4}{(m + n) (m - n)}$

Bước 7.9.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{(m \cdot m + m (- n) + n (m - n)) \cdot 4}{(m + n) (m - n)}$

Bước 7.9.3

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{(m \cdot m + m (- n) + n m + n (- n)) \cdot 4}{(m + n) (m - n)}$

Bước 7.10

Kết hợp các số hạng đối nhau trong $m \cdot m + m (- n) + n m + n (- n)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.10.1

Sắp xếp lại các thừa số trong các số hạng $m (- n)$ và $n m$ .

$\frac{(m \cdot m - m n + m n + n (- n)) \cdot 4}{(m + n) (m - n)}$

Bước 7.10.2

Cộng $- m n$ và $m n$ .

$\frac{(m \cdot m + 0 + n (- n)) \cdot 4}{(m + n) (m - n)}$

Bước 7.10.3

Cộng $m \cdot m$ và $0$ .

$\frac{(m \cdot m + n (- n)) \cdot 4}{(m + n) (m - n)}$

Bước 7.11

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.11.1

Nhân $m$ với $m$ .

$\frac{(m^{2} + n (- n)) \cdot 4}{(m + n) (m - n)}$

Bước 7.11.2

Viết lại bằng tính chất giao hoán của phép nhân.

$\frac{(m^{2} - n \cdot n) \cdot 4}{(m + n) (m - n)}$

Bước 7.11.3

Nhân $n$ với $n$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.11.3.1

Di chuyển $n$ .

$\frac{(m^{2} - (n \cdot n)) \cdot 4}{(m + n) (m - n)}$

Bước 7.11.3.2

Nhân $n$ với $n$ .

$\frac{(m^{2} - n^{2}) \cdot 4}{(m + n) (m - n)}$

Bước 7.12

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{m^{2} \cdot 4 - n^{2} \cdot 4}{(m + n) (m - n)}$

Bước 7.13

Di chuyển $4$ sang phía bên trái của $m^{2}$ .

$\frac{4 \cdot m^{2} - n^{2} \cdot 4}{(m + n) (m - n)}$

Bước 7.14

Nhân $4$ với $- 1$ .

$\frac{4 \cdot m^{2} - 4 n^{2}}{(m + n) (m - n)}$

Bước 7.15

Đưa $4$ ra ngoài $4 m^{2} - 4 n^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.15.1

Đưa $4$ ra ngoài $4 m^{2}$ .

$\frac{4 (m^{2}) - 4 n^{2}}{(m + n) (m - n)}$

Bước 7.15.2

Đưa $4$ ra ngoài $- 4 n^{2}$ .

$\frac{4 (m^{2}) + 4 (- n^{2})}{(m + n) (m - n)}$

Bước 7.15.3

Đưa $4$ ra ngoài $4 (m^{2}) + 4 (- n^{2})$ .

$\frac{4 (m^{2} - n^{2})}{(m + n) (m - n)}$

Bước 7.16

$\frac{4 (m + n) (m - n)}{(m + n) (m - n)}$

Bước 8

Rút gọn biểu thức bằng cách triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.1

Triệt tiêu thừa số chung $m + n$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{4 (m + n) (m - n)}{(m + n) (m - n)}$

Bước 8.1.2

Viết lại biểu thức.

$\frac{4 (m - n)}{m - n}$

Bước 8.2

Triệt tiêu thừa số chung $m - n$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.2.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{4 (m - n)}{m - n}$

Bước 8.2.2

Chia $4$ cho $1$ .

$4$