Toán cơ bản Ví dụ

73

$73$ ,

79

$79$ ,

79

$79$ ,

79

$79$ ,

80

$80$ ,

81

$81$ ,

83

$83$ ,

85

$85$ ,

86

$86$ ,

87

$87$ ,

90

$90$

Bước 1

Tìm giá trị trung bình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Giá trị trung bình của một tập hợp số là tổng chia cho số lượng các số hạng.

¯ x = \frac{73 + 79 + 79 + 79 + 80 + 81 + 83 + 85 + 86 + 87 + 90}{11}

$\overline{x} = \frac{73 + 79 + 79 + 79 + 80 + 81 + 83 + 85 + 86 + 87 + 90}{11}$

Bước 1.2

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.1

Cộng

73

$73$ và

79

$79$ .

¯ x = \frac{152 + 79 + 79 + 80 + 81 + 83 + 85 + 86 + 87 + 90}{11}

$\overline{x} = \frac{152 + 79 + 79 + 80 + 81 + 83 + 85 + 86 + 87 + 90}{11}$

Bước 1.2.2

Cộng

152

$152$ và

79

$79$ .

¯ x = \frac{231 + 79 + 80 + 81 + 83 + 85 + 86 + 87 + 90}{11}

$\overline{x} = \frac{231 + 79 + 80 + 81 + 83 + 85 + 86 + 87 + 90}{11}$

Bước 1.2.3

Cộng

231

$231$ và

79

$79$ .

¯ x = \frac{310 + 80 + 81 + 83 + 85 + 86 + 87 + 90}{11}

$\overline{x} = \frac{310 + 80 + 81 + 83 + 85 + 86 + 87 + 90}{11}$

Bước 1.2.4

Cộng

310

$310$ và

80

$80$ .

¯ x = \frac{390 + 81 + 83 + 85 + 86 + 87 + 90}{11}

$\overline{x} = \frac{390 + 81 + 83 + 85 + 86 + 87 + 90}{11}$

Bước 1.2.5

Cộng

390

$390$ và

81

$81$ .

¯ x = \frac{471 + 83 + 85 + 86 + 87 + 90}{11}

$\overline{x} = \frac{471 + 83 + 85 + 86 + 87 + 90}{11}$

Bước 1.2.6

Cộng

471

$471$ và

83

$83$ .

¯ x = \frac{554 + 85 + 86 + 87 + 90}{11}

$\overline{x} = \frac{554 + 85 + 86 + 87 + 90}{11}$

Bước 1.2.7

Cộng

554

$554$ và

85

$85$ .

¯ x = \frac{639 + 86 + 87 + 90}{11}

$\overline{x} = \frac{639 + 86 + 87 + 90}{11}$

Bước 1.2.8

Cộng

639

$639$ và

86

$86$ .

¯ x = \frac{725 + 87 + 90}{11}

$\overline{x} = \frac{725 + 87 + 90}{11}$

Bước 1.2.9

Cộng

725

$725$ và

87

$87$ .

¯ x = \frac{812 + 90}{11}

$\overline{x} = \frac{812 + 90}{11}$

Bước 1.2.10

Cộng

812

$812$ và

90

$90$ .

¯ x = \frac{902}{11}

$\overline{x} = \frac{902}{11}$

¯ x = \frac{902}{11}

$\overline{x} = \frac{902}{11}$

Bước 1.3

Chia

902

$902$ cho

11

$11$ .

¯ x = 82

$\overline{x} = 82$

¯ x = 82

$\overline{x} = 82$

Bước 2

Rút gọn từng giá trị trong danh sách.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Quy đổi

73

$73$ thành một giá trị thập phân.

73

$73$

Bước 2.2

Quy đổi

79

$79$ thành một giá trị thập phân.

79

$79$

Bước 2.3

Quy đổi

80

$80$ thành một giá trị thập phân.

80

$80$

Bước 2.4

Quy đổi

81

$81$ thành một giá trị thập phân.

81

$81$

Bước 2.5

Quy đổi

83

$83$ thành một giá trị thập phân.

83

$83$

Bước 2.6

Quy đổi

85

$85$ thành một giá trị thập phân.

85

$85$

Bước 2.7

Quy đổi

86

$86$ thành một giá trị thập phân.

86

$86$

Bước 2.8

Quy đổi

87

$87$ thành một giá trị thập phân.

87

$87$

Bước 2.9

Quy đổi

90

$90$ thành một giá trị thập phân.

90

$90$

Bước 2.10

Các giá trị rút gọn là

73, 79, 79, 79, 80, 81, 83, 85, 86, 87, 90

$73, 79, 79, 79, 80, 81, 83, 85, 86, 87, 90$ .

73, 79, 79, 79, 80, 81, 83, 85, 86, 87, 90

$73, 79, 79, 79, 80, 81, 83, 85, 86, 87, 90$

73, 79, 79, 79, 80, 81, 83, 85, 86, 87, 90

$73, 79, 79, 79, 80, 81, 83, 85, 86, 87, 90$

Bước 3

Lập công thức cho độ lệch chuẩn mẫu. Độ lệch chuẩn của một tập hợp các giá trị là đại lượng đo độ phân tán của các giá trị của tập hợp đó.

s = n \sum i = 1 \sqrt{\frac{{(x_{i} - x_{a v g})}_{i}^{2}}{n - 1}}

$s = \sum_{i = 1}^{n} \sqrt{\frac{{(x_{i} - x_{a v g})}^{2}}{n - 1}}$

Bước 4

Lập công thức cho độ lệch chuẩn cho tập hợp các số này.

s = \sqrt{\frac{{(73 - 82)}^{2} + {(79 - 82)}^{2} + {(79 - 82)}^{2} + {(79 - 82)}^{2} + {(80 - 82)}^{2} + {(81 - 82)}^{2} + {(83 - 82)}^{2} + {(85 - 82)}^{2} + {(86 - 82)}^{2} + {(87 - 82)}^{2} + {(90 - 82)}^{2}}{11 - 1}}

$s = \sqrt{\frac{{(73 - 82)}^{2} + {(79 - 82)}^{2} + {(79 - 82)}^{2} + {(79 - 82)}^{2} + {(80 - 82)}^{2} + {(81 - 82)}^{2} + {(83 - 82)}^{2} + {(85 - 82)}^{2} + {(86 - 82)}^{2} + {(87 - 82)}^{2} + {(90 - 82)}^{2}}{11 - 1}}$

Bước 5

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1.1

Trừ

82

$82$ khỏi

73

$73$ .

s = \sqrt{\frac{{(- 9)}^{2} + {(79 - 82)}^{2} + {(79 - 82)}^{2} + {(79 - 82)}^{2} + {(80 - 82)}^{2} + {(81 - 82)}^{2} + {(83 - 82)}^{2} + {(85 - 82)}^{2} + {(86 - 82)}^{2} + {(87 - 82)}^{2} + {(90 - 82)}^{2}}{11 - 1}}

$s = \sqrt{\frac{{(- 9)}^{2} + {(79 - 82)}^{2} + {(79 - 82)}^{2} + {(79 - 82)}^{2} + {(80 - 82)}^{2} + {(81 - 82)}^{2} + {(83 - 82)}^{2} + {(85 - 82)}^{2} + {(86 - 82)}^{2} + {(87 - 82)}^{2} + {(90 - 82)}^{2}}{11 - 1}}$

Bước 5.1.2

Nâng

- 9

$- 9$ lên lũy thừa

2

$2$ .

s = \sqrt{\frac{81 + {(79 - 82)}^{2} + {(79 - 82)}^{2} + {(79 - 82)}^{2} + {(80 - 82)}^{2} + {(81 - 82)}^{2} + {(83 - 82)}^{2} + {(85 - 82)}^{2} + {(86 - 82)}^{2} + {(87 - 82)}^{2} + {(90 - 82)}^{2}}{11 - 1}}

$s = \sqrt{\frac{81 + {(79 - 82)}^{2} + {(79 - 82)}^{2} + {(79 - 82)}^{2} + {(80 - 82)}^{2} + {(81 - 82)}^{2} + {(83 - 82)}^{2} + {(85 - 82)}^{2} + {(86 - 82)}^{2} + {(87 - 82)}^{2} + {(90 - 82)}^{2}}{11 - 1}}$

Bước 5.1.3

Trừ

82

$82$ khỏi

79

$79$ .

s = \sqrt{\frac{81 + {(- 3)}^{2} + {(79 - 82)}^{2} + {(79 - 82)}^{2} + {(80 - 82)}^{2} + {(81 - 82)}^{2} + {(83 - 82)}^{2} + {(85 - 82)}^{2} + {(86 - 82)}^{2} + {(87 - 82)}^{2} + {(90 - 82)}^{2}}{11 - 1}}

$s = \sqrt{\frac{81 + {(- 3)}^{2} + {(79 - 82)}^{2} + {(79 - 82)}^{2} + {(80 - 82)}^{2} + {(81 - 82)}^{2} + {(83 - 82)}^{2} + {(85 - 82)}^{2} + {(86 - 82)}^{2} + {(87 - 82)}^{2} + {(90 - 82)}^{2}}{11 - 1}}$

Bước 5.1.4

Nâng

- 3

$- 3$ lên lũy thừa

2

$2$ .

s = \sqrt{\frac{81 + 9 + {(79 - 82)}^{2} + {(79 - 82)}^{2} + {(80 - 82)}^{2} + {(81 - 82)}^{2} + {(83 - 82)}^{2} + {(85 - 82)}^{2} + {(86 - 82)}^{2} + {(87 - 82)}^{2} + {(90 - 82)}^{2}}{11 - 1}}

$s = \sqrt{\frac{81 + 9 + {(79 - 82)}^{2} + {(79 - 82)}^{2} + {(80 - 82)}^{2} + {(81 - 82)}^{2} + {(83 - 82)}^{2} + {(85 - 82)}^{2} + {(86 - 82)}^{2} + {(87 - 82)}^{2} + {(90 - 82)}^{2}}{11 - 1}}$

Bước 5.1.5

Trừ

$82$ khỏi

$79$ .

$s = \sqrt{\frac{81 + 9 + {(- 3)}^{2} + {(79 - 82)}^{2} + {(80 - 82)}^{2} + {(81 - 82)}^{2} + {(83 - 82)}^{2} + {(85 - 82)}^{2} + {(86 - 82)}^{2} + {(87 - 82)}^{2} + {(90 - 82)}^{2}}{11 - 1}}$

Bước 5.1.6

Nâng

$- 3$ lên lũy thừa

$2$ .

$s = \sqrt{\frac{81 + 9 + 9 + {(79 - 82)}^{2} + {(80 - 82)}^{2} + {(81 - 82)}^{2} + {(83 - 82)}^{2} + {(85 - 82)}^{2} + {(86 - 82)}^{2} + {(87 - 82)}^{2} + {(90 - 82)}^{2}}{11 - 1}}$

Bước 5.1.7

Trừ

$82$ khỏi

$79$ .

$s = \sqrt{\frac{81 + 9 + 9 + {(- 3)}^{2} + {(80 - 82)}^{2} + {(81 - 82)}^{2} + {(83 - 82)}^{2} + {(85 - 82)}^{2} + {(86 - 82)}^{2} + {(87 - 82)}^{2} + {(90 - 82)}^{2}}{11 - 1}}$

Bước 5.1.8

Nâng

$- 3$ lên lũy thừa

$2$ .

$s = \sqrt{\frac{81 + 9 + 9 + 9 + {(80 - 82)}^{2} + {(81 - 82)}^{2} + {(83 - 82)}^{2} + {(85 - 82)}^{2} + {(86 - 82)}^{2} + {(87 - 82)}^{2} + {(90 - 82)}^{2}}{11 - 1}}$

Bước 5.1.9

Trừ

$82$ khỏi

$80$ .

$s = \sqrt{\frac{81 + 9 + 9 + 9 + {(- 2)}^{2} + {(81 - 82)}^{2} + {(83 - 82)}^{2} + {(85 - 82)}^{2} + {(86 - 82)}^{2} + {(87 - 82)}^{2} + {(90 - 82)}^{2}}{11 - 1}}$

Bước 5.1.10

Nâng

$- 2$ lên lũy thừa

$2$ .

$s = \sqrt{\frac{81 + 9 + 9 + 9 + 4 + {(81 - 82)}^{2} + {(83 - 82)}^{2} + {(85 - 82)}^{2} + {(86 - 82)}^{2} + {(87 - 82)}^{2} + {(90 - 82)}^{2}}{11 - 1}}$

Bước 5.1.11

Trừ

$82$ khỏi

$81$ .

$s = \sqrt{\frac{81 + 9 + 9 + 9 + 4 + {(- 1)}^{2} + {(83 - 82)}^{2} + {(85 - 82)}^{2} + {(86 - 82)}^{2} + {(87 - 82)}^{2} + {(90 - 82)}^{2}}{11 - 1}}$

Bước 5.1.12

Nâng

$- 1$ lên lũy thừa

$2$ .

$s = \sqrt{\frac{81 + 9 + 9 + 9 + 4 + 1 + {(83 - 82)}^{2} + {(85 - 82)}^{2} + {(86 - 82)}^{2} + {(87 - 82)}^{2} + {(90 - 82)}^{2}}{11 - 1}}$

Bước 5.1.13

Trừ

$82$ khỏi

$83$ .

$s = \sqrt{\frac{81 + 9 + 9 + 9 + 4 + 1 + 1^{2} + {(85 - 82)}^{2} + {(86 - 82)}^{2} + {(87 - 82)}^{2} + {(90 - 82)}^{2}}{11 - 1}}$

Bước 5.1.14

Một mũ bất kỳ số nào là một.

$s = \sqrt{\frac{81 + 9 + 9 + 9 + 4 + 1 + 1 + {(85 - 82)}^{2} + {(86 - 82)}^{2} + {(87 - 82)}^{2} + {(90 - 82)}^{2}}{11 - 1}}$

Bước 5.1.15

Trừ

$82$ khỏi

$85$ .

$s = \sqrt{\frac{81 + 9 + 9 + 9 + 4 + 1 + 1 + 3^{2} + {(86 - 82)}^{2} + {(87 - 82)}^{2} + {(90 - 82)}^{2}}{11 - 1}}$

Bước 5.1.16

Nâng

$3$ lên lũy thừa

$2$ .

$s = \sqrt{\frac{81 + 9 + 9 + 9 + 4 + 1 + 1 + 9 + {(86 - 82)}^{2} + {(87 - 82)}^{2} + {(90 - 82)}^{2}}{11 - 1}}$

Bước 5.1.17

Trừ

$82$ khỏi

$86$ .

$s = \sqrt{\frac{81 + 9 + 9 + 9 + 4 + 1 + 1 + 9 + 4^{2} + {(87 - 82)}^{2} + {(90 - 82)}^{2}}{11 - 1}}$

Bước 5.1.18

Nâng

$4$ lên lũy thừa

$2$ .

$s = \sqrt{\frac{81 + 9 + 9 + 9 + 4 + 1 + 1 + 9 + 16 + {(87 - 82)}^{2} + {(90 - 82)}^{2}}{11 - 1}}$

Bước 5.1.19

Trừ

$82$ khỏi

$87$ .

$s = \sqrt{\frac{81 + 9 + 9 + 9 + 4 + 1 + 1 + 9 + 16 + 5^{2} + {(90 - 82)}^{2}}{11 - 1}}$

Bước 5.1.20

Nâng

$5$ lên lũy thừa

$2$ .

$s = \sqrt{\frac{81 + 9 + 9 + 9 + 4 + 1 + 1 + 9 + 16 + 25 + {(90 - 82)}^{2}}{11 - 1}}$

Bước 5.1.21

Trừ

$82$ khỏi

$90$ .

$s = \sqrt{\frac{81 + 9 + 9 + 9 + 4 + 1 + 1 + 9 + 16 + 25 + 8^{2}}{11 - 1}}$

Bước 5.1.22

Nâng

$8$ lên lũy thừa

$2$ .

$s = \sqrt{\frac{81 + 9 + 9 + 9 + 4 + 1 + 1 + 9 + 16 + 25 + 64}{11 - 1}}$

Bước 5.1.23

Cộng

$81$ và

$9$ .

$s = \sqrt{\frac{90 + 9 + 9 + 4 + 1 + 1 + 9 + 16 + 25 + 64}{11 - 1}}$

Bước 5.1.24

Cộng

$90$ và

$9$ .

$s = \sqrt{\frac{99 + 9 + 4 + 1 + 1 + 9 + 16 + 25 + 64}{11 - 1}}$

Bước 5.1.25

Cộng

$99$ và

$9$ .

$s = \sqrt{\frac{108 + 4 + 1 + 1 + 9 + 16 + 25 + 64}{11 - 1}}$

Bước 5.1.26

Cộng

$108$ và

$4$ .

$s = \sqrt{\frac{112 + 1 + 1 + 9 + 16 + 25 + 64}{11 - 1}}$

Bước 5.1.27

Cộng

$112$ và

$1$ .

$s = \sqrt{\frac{113 + 1 + 9 + 16 + 25 + 64}{11 - 1}}$

Bước 5.1.28

Cộng

$113$ và

$1$ .

$s = \sqrt{\frac{114 + 9 + 16 + 25 + 64}{11 - 1}}$

Bước 5.1.29

Cộng

$114$ và

$9$ .

$s = \sqrt{\frac{123 + 16 + 25 + 64}{11 - 1}}$

Bước 5.1.30

Cộng

$123$ và

$16$ .

$s = \sqrt{\frac{139 + 25 + 64}{11 - 1}}$

Bước 5.1.31

Cộng

$139$ và

$25$ .

$s = \sqrt{\frac{164 + 64}{11 - 1}}$

Bước 5.1.32

Cộng

$164$ và

$64$ .

$s = \sqrt{\frac{228}{11 - 1}}$

Bước 5.1.33

Trừ

$1$ khỏi

$11$ .

$s = \sqrt{\frac{228}{10}}$

Bước 5.2

Triệt tiêu thừa số chung của

$228$ và

$10$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.1

Đưa

$2$ ra ngoài

$228$ .

$s = \sqrt{\frac{2 (114)}{10}}$

Bước 5.2.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.2.1

Đưa

$2$ ra ngoài

$10$ .

$s = \sqrt{\frac{2 \cdot 114}{2 \cdot 5}}$

Bước 5.2.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$s = \sqrt{\frac{2 \cdot 114}{2 \cdot 5}}$

Bước 5.2.2.3

Viết lại biểu thức.

$s = \sqrt{\frac{114}{5}}$

Bước 5.3

Viết lại

$\sqrt{\frac{114}{5}}$ ở dạng

$\frac{\sqrt{114}}{\sqrt{5}}$ .

$s = \frac{\sqrt{114}}{\sqrt{5}}$

Bước 5.4

Nhân

$\frac{\sqrt{114}}{\sqrt{5}}$ với

$\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$ .

$s = \frac{\sqrt{114}}{\sqrt{5}} \cdot \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$

Bước 5.5

Kết hợp và rút gọn mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.5.1

Nhân

$\frac{\sqrt{114}}{\sqrt{5}}$ với

$\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$ .

$s = \frac{\sqrt{114} \sqrt{5}}{\sqrt{5} \sqrt{5}}$

Bước 5.5.2

Nâng

$\sqrt{5}$ lên lũy thừa

$1$ .

$s = \frac{\sqrt{114} \sqrt{5}}{\sqrt{5} \sqrt{5}}$

Bước 5.5.3

Nâng

$\sqrt{5}$ lên lũy thừa

$1$ .

$s = \frac{\sqrt{114} \sqrt{5}}{\sqrt{5} \sqrt{5}}$

Bước 5.5.4

Sử dụng quy tắc lũy thừa

$a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$s = \frac{\sqrt{114} \sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{1 + 1}}$

Bước 5.5.5

Cộng

$1$ và

$1$ .

$s = \frac{\sqrt{114} \sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{2}}$

Bước 5.5.6

Viết lại

${\sqrt{5}}^{2}$ ở dạng

$5$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.5.6.1

Sử dụng

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại

$\sqrt{5}$ ở dạng

$5^{\frac{1}{2}}$ .

$s = \frac{\sqrt{114} \sqrt{5}}{{(5^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Bước 5.5.6.2

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau,

${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$s = \frac{\sqrt{114} \sqrt{5}}{5^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Bước 5.5.6.3

Kết hợp

$\frac{1}{2}$ và

$2$ .

$s = \frac{\sqrt{114} \sqrt{5}}{5^{\frac{2}{2}}}$

Bước 5.5.6.4

Triệt tiêu thừa số chung

$2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.5.6.4.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$s = \frac{\sqrt{114} \sqrt{5}}{5^{\frac{2}{2}}}$

Bước 5.5.6.4.2

Viết lại biểu thức.

$s = \frac{\sqrt{114} \sqrt{5}}{5}$

Bước 5.5.6.5

Tính số mũ.

$s = \frac{\sqrt{114} \sqrt{5}}{5}$

Bước 5.6

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.6.1

Kết hợp bằng các sử dụng quy tắc tích số cho các căn thức.

$s = \frac{\sqrt{114 \cdot 5}}{5}$

Bước 5.6.2

Nhân

$114$ với

$5$ .

$s = \frac{\sqrt{570}}{5}$

Bước 6

Độ lệch chuẩn nên được làm tròn đến một vị trí thập phân nhiều hơn so với dữ liệu gốc. Nếu dữ liệu gốc bị trộn lẫn, làm tròn đến một vị trí thập phân nhiều hơn độ chính xác thấp nhất.

$4.8$