Đại số Ví dụ

(1, 2)

$(1, 2)$ ,

(4, 2)

$(4, 2)$ ,

(5, 2)

$(5, 2)$

Bước 1

Có hai phương trình tổng quát cho một hình elip.

Phương trình elip ngang

\frac{{(x - h)}^{2}}{a^{2}} + \frac{{(y - k)}^{2}}{b^{2}} = 1

$\frac{{(x - h)}^{2}}{a^{2}} + \frac{{(y - k)}^{2}}{b^{2}} = 1$

Phương trình elip dọc

\frac{{(y - k)}^{2}}{a^{2}} + \frac{{(x - h)}^{2}}{b^{2}} = 1

$\frac{{(y - k)}^{2}}{a^{2}} + \frac{{(x - h)}^{2}}{b^{2}} = 1$

Bước 2

a

$a$ là khoảng cách giữa đỉnh

(5, 2)

$(5, 2)$ và tâm

(1, 2)

$(1, 2)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Sử dụng công thức khoảng cách để xác định khoảng cách giữa hai điểm.

$Khoảng cách = \sqrt{{(x_{2} - x_{1})}^{2} + {(y_{2} - y_{1})}^{2}}$

Bước 2.2

Thay các giá trị thực tế của các điểm vào công thức khoảng cách.

$a = \sqrt{{(5 - 1)}^{2} + {(2 - 2)}^{2}}$

Bước 2.3

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1

Trừ

$1$ khỏi

$5$ .

$a = \sqrt{4^{2} + {(2 - 2)}^{2}}$

Bước 2.3.2

Nâng

$4$ lên lũy thừa

$2$ .

$a = \sqrt{16 + {(2 - 2)}^{2}}$

Bước 2.3.3

Trừ

$2$ khỏi

$2$ .

$a = \sqrt{16 + 0^{2}}$

Bước 2.3.4

Nâng

$0$ lên bất kỳ số mũ dương nào sẽ cho

$0$ .

$a = \sqrt{16 + 0}$

Bước 2.3.5

Cộng

$16$ và

$0$ .

$a = \sqrt{16}$

Bước 2.3.6

Viết lại

$16$ ở dạng

$4^{2}$ .

$a = \sqrt{4^{2}}$

Bước 2.3.7

Đưa các số hạng dưới dấu căn ra ngoài, giả sử đó là các số thực dương.

$a = 4$

Bước 3

$c$ là khoảng cách giữa tiêu điểm

$(4, 2)$ và tâm

$(1, 2)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Sử dụng công thức khoảng cách để xác định khoảng cách giữa hai điểm.

$Khoảng cách = \sqrt{{(x_{2} - x_{1})}^{2} + {(y_{2} - y_{1})}^{2}}$

Bước 3.2

Thay các giá trị thực tế của các điểm vào công thức khoảng cách.

$c = \sqrt{{(4 - 1)}^{2} + {(2 - 2)}^{2}}$

Bước 3.3

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.1

Trừ

$1$ khỏi

$4$ .

$c = \sqrt{3^{2} + {(2 - 2)}^{2}}$

Bước 3.3.2

Nâng

$3$ lên lũy thừa

$2$ .

$c = \sqrt{9 + {(2 - 2)}^{2}}$

Bước 3.3.3

Trừ

$2$ khỏi

$2$ .

$c = \sqrt{9 + 0^{2}}$

Bước 3.3.4

Nâng

$0$ lên bất kỳ số mũ dương nào sẽ cho

$0$ .

$c = \sqrt{9 + 0}$

Bước 3.3.5

Cộng

$9$ và

$0$ .

$c = \sqrt{9}$

Bước 3.3.6

Viết lại

$9$ ở dạng

$3^{2}$ .

$c = \sqrt{3^{2}}$

Bước 3.3.7

Đưa các số hạng dưới dấu căn ra ngoài, giả sử đó là các số thực dương.

$c = 3$

Bước 4

Sử dụng phương trình

$c^{2} = a^{2} - b^{2}$ . Thay

$4$ cho

$a$ và

$3$ cho

$c$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Viết lại phương trình ở dạng

${(4)}^{2} - b^{2} = 3^{2}$ .

${(4)}^{2} - b^{2} = 3^{2}$

Bước 4.2

Nâng

$4$ lên lũy thừa

$2$ .

$16 - b^{2} = 3^{2}$

Bước 4.3

Nâng

$3$ lên lũy thừa

$2$ .

$16 - b^{2} = 9$

Bước 4.4

Di chuyển tất cả các số hạng không chứa

$b$ sang vế phải của phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.4.1

Trừ

$16$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$- b^{2} = 9 - 16$

Bước 4.4.2

Trừ

$16$ khỏi

$9$ .

$- b^{2} = - 7$

Bước 4.5

Chia mỗi số hạng trong

$- b^{2} = - 7$ cho

$- 1$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.5.1

Chia mỗi số hạng trong

$- b^{2} = - 7$ cho

$- 1$ .

$\frac{- b^{2}}{- 1} = \frac{- 7}{- 1}$

Bước 4.5.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.5.2.1

Chia hai giá trị âm cho nhau sẽ có kết quả là một giá trị dương.

$\frac{b^{2}}{1} = \frac{- 7}{- 1}$

Bước 4.5.2.2

Chia

$b^{2}$ cho

$1$ .

$b^{2} = \frac{- 7}{- 1}$

Bước 4.5.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.5.3.1

Chia

$- 7$ cho

$- 1$ .

$b^{2} = 7$

Bước 4.6

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$b = \pm \sqrt{7}$

Bước 4.7

Đáp án hoàn chỉnh là kết quả của cả hai phần dương và âm của đáp án.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.7.1

Đầu tiên, sử dụng giá trị dương của

$\pm$ để tìm đáp án đầu tiên.

$b = \sqrt{7}$

Bước 4.7.2

Tiếp theo, sử dụng giá trị âm của

$\pm$ để tìm đáp án thứ hai.

$b = - \sqrt{7}$

Bước 4.7.3

Đáp án hoàn chỉnh là kết quả của cả hai phần dương và âm của đáp án.

$b = \sqrt{7}, - \sqrt{7}$

Bước 5

$b$ là một khoảng cách, có nghĩa là nó phải là một số dương.

$b = \sqrt{7}$

Bước 6

Hệ số góc của đường thẳng nằm giữa tiêu điểm

$(4, 2)$ và tâm

$(1, 2)$ xác định xem hình elip là dọc hay ngang. Nếu hệ số góc là

$0$ , đồ thị nằm ngang. Nếu hệ số góc không xác định, đồ thị nằm dọc.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Hệ số góc bằng sự biến thiên trong

$y$ chia cho sự biến thiên trong

$x$ , hoặc thay đổi dọc chia cho thay đổi ngang.

$m = \frac{thay đổi trong y}{thay đổi trong x}$

Bước 6.2

Sự biến thiên trong

$x$ bằng với sự chênh lệch trong tọa độ x (còn được gọi là thay đổi ngang), và sự biến thiên trong

$y$ bằng với sự chênh lệch trong tọa độ y (còn được gọi là thay đổi dọc).

$m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$

Bước 6.3

Thay các giá trị của

$x$ và

$y$ vào phương trình để tìm hệ số góc.

$m = \frac{2 - (2)}{1 - (4)}$

Bước 6.4

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.4.1

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.4.1.1

Nhân

$- 1$ với

$2$ .

$m = \frac{2 - 2}{1 - (4)}$

Bước 6.4.1.2

Trừ

$2$ khỏi

$2$ .

$m = \frac{0}{1 - (4)}$

Bước 6.4.2

Rút gọn mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.4.2.1

Nhân

$- 1$ với

$4$ .

$m = \frac{0}{1 - 4}$

Bước 6.4.2.2

Trừ

$4$ khỏi

$1$ .

$m = \frac{0}{- 3}$

Bước 6.4.3

Chia

$0$ cho

$- 3$ .

$m = 0$

Bước 6.5

Phương trình tổng quát cho một hình elip ngang là

$\frac{{(x - h)}^{2}}{a^{2}} + \frac{{(y - k)}^{2}}{b^{2}} = 1$ .

$\frac{{(x - h)}^{2}}{a^{2}} + \frac{{(y - k)}^{2}}{b^{2}} = 1$

Bước 7

Thay các giá trị

$h = 1$ ,

$k = 2$ ,

$a = 4$ , và

$b = \sqrt{7}$ vào

$\frac{{(x - h)}^{2}}{a^{2}} + \frac{{(y - k)}^{2}}{b^{2}} = 1$ để có được phương trình elip

$\frac{{(x - (1))}^{2}}{{(4)}^{2}} + \frac{{(y - (2))}^{2}}{{(\sqrt{7})}^{2}} = 1$ .

$\frac{{(x - (1))}^{2}}{{(4)}^{2}} + \frac{{(y - (2))}^{2}}{{(\sqrt{7})}^{2}} = 1$

Bước 8

Rút gọn để tìm phương trình elip cuối cùng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.1

Nhân

$- 1$ với

$1$ .

$\frac{{(x - 1)}^{2}}{4^{2}} + \frac{{(y - (2))}^{2}}{{(\sqrt{7})}^{2}} = 1$

Bước 8.2

Nâng

$4$ lên lũy thừa

$2$ .

$\frac{{(x - 1)}^{2}}{16} + \frac{{(y - (2))}^{2}}{{(\sqrt{7})}^{2}} = 1$

Bước 8.3

Nhân

$- 1$ với

$2$ .

$\frac{{(x - 1)}^{2}}{16} + \frac{{(y - 2)}^{2}}{{\sqrt{7}}^{2}} = 1$

Bước 8.4

Viết lại

${\sqrt{7}}^{2}$ ở dạng

$7$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.4.1

Sử dụng

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại

$\sqrt{7}$ ở dạng

$7^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{{(x - 1)}^{2}}{16} + \frac{{(y - 2)}^{2}}{{(7^{\frac{1}{2}})}^{2}} = 1$

Bước 8.4.2

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau,

${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{{(x - 1)}^{2}}{16} + \frac{{(y - 2)}^{2}}{7^{\frac{1}{2} \cdot 2}} = 1$

Bước 8.4.3

Kết hợp

$\frac{1}{2}$ và

$2$ .

$\frac{{(x - 1)}^{2}}{16} + \frac{{(y - 2)}^{2}}{7^{\frac{2}{2}}} = 1$

Bước 8.4.4

Triệt tiêu thừa số chung

$2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.4.4.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{{(x - 1)}^{2}}{16} + \frac{{(y - 2)}^{2}}{7^{\frac{2}{2}}} = 1$

Bước 8.4.4.2

Viết lại biểu thức.

$\frac{{(x - 1)}^{2}}{16} + \frac{{(y - 2)}^{2}}{7} = 1$

Bước 8.4.5

Tính số mũ.

$\frac{{(x - 1)}^{2}}{16} + \frac{{(y - 2)}^{2}}{7} = 1$

Bước 9