Đại số Ví dụ

$1 + \frac{1}{3} + \frac{1}{9} + \frac{1}{27}$

Bước 1

Đây là dãy cấp số nhân vì giữa các số hạng kề nhau có một tỉ số chung. Trong trường hợp này, ta nhân số hạng đứng trước với $\frac{1}{3}$ sẽ cho ra số hạng kế tiếp trong dãy. Nói cách khác, $a_{n} = a_{1} r^{n - 1}$ .

Cấp số nhân: $r = \frac{1}{3}$

Bước 2

Đây là dạng của một cấp số nhân.

$a_{n} = a_{1} r^{n - 1}$

Bước 3

Thay vào các giá trị của $a_{1} = 1$ và $r = \frac{1}{3}$ .

$a_{n} = 1 {(\frac{1}{3})}^{n - 1}$

Bước 4

Nhân ${(\frac{1}{3})}^{n - 1}$ với $1$ .

$a_{n} = {(\frac{1}{3})}^{n - 1}$

Bước 5

Áp dụng quy tắc tích số cho $\frac{1}{3}$ .

$a_{n} = \frac{1^{n - 1}}{3^{n - 1}}$

Bước 6

Một mũ bất kỳ số nào là một.

$a_{n} = \frac{1}{3^{n - 1}}$

Bước 7

Đây là công thức để tìm tổng của $n$ số hạng đầu tiên của cấp số nhân. Để tính, hãy tìm các giá trị của $r$ và $a_{1}$ .

$S_{n} = \frac{a_{1} (r^{n} - 1)}{r - 1}$

Bước 8

Thay thế các biến bằng các giá trị đã biết để tìm $S_{4}$ .

$S_{4} = 1 \cdot \frac{{(\frac{1}{3})}^{4} - 1}{\frac{1}{3} - 1}$

Bước 9

Nhân $\frac{{(\frac{1}{3})}^{4} - 1}{\frac{1}{3} - 1}$ với $1$ .

$S_{4} = \frac{{(\frac{1}{3})}^{4} - 1}{\frac{1}{3} - 1}$

Bước 10

Nhân tử số và mẫu số của phân số với $3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.1

Nhân $\frac{{(\frac{1}{3})}^{4} - 1}{\frac{1}{3} - 1}$ với $\frac{3}{3}$ .

$S_{4} = \frac{3}{3} \cdot \frac{{(\frac{1}{3})}^{4} - 1}{\frac{1}{3} - 1}$

Bước 10.2

Kết hợp.

$S_{4} = \frac{3 ({(\frac{1}{3})}^{4} - 1)}{3 (\frac{1}{3} - 1)}$

Bước 11

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$S_{4} = \frac{3 {(\frac{1}{3})}^{4} + 3 \cdot - 1}{3 (\frac{1}{3}) + 3 \cdot - 1}$

Bước 12

Triệt tiêu thừa số chung $3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$S_{4} = \frac{3 {(\frac{1}{3})}^{4} + 3 \cdot - 1}{3 (\frac{1}{3}) + 3 \cdot - 1}$

Bước 12.2

Viết lại biểu thức.

$S_{4} = \frac{3 {(\frac{1}{3})}^{4} + 3 \cdot - 1}{1 + 3 \cdot - 1}$

Bước 13

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 13.1

Áp dụng quy tắc tích số cho $\frac{1}{3}$ .

$S_{4} = \frac{3 (\frac{1^{4}}{3^{4}}) + 3 \cdot - 1}{1 + 3 \cdot - 1}$

Bước 13.2

Triệt tiêu thừa số chung $3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 13.2.1

Đưa $3$ ra ngoài $3^{4}$ .

$S_{4} = \frac{3 (\frac{1^{4}}{3 \cdot 3^{3}}) + 3 \cdot - 1}{1 + 3 \cdot - 1}$

Bước 13.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$S_{4} = \frac{3 (\frac{1^{4}}{3 \cdot 3^{3}}) + 3 \cdot - 1}{1 + 3 \cdot - 1}$

Bước 13.2.3

Viết lại biểu thức.

$S_{4} = \frac{\frac{1^{4}}{3^{3}} + 3 \cdot - 1}{1 + 3 \cdot - 1}$

Bước 13.3

Một mũ bất kỳ số nào là một.

$S_{4} = \frac{\frac{1}{3^{3}} + 3 \cdot - 1}{1 + 3 \cdot - 1}$

Bước 13.4

Nâng $3$ lên lũy thừa $3$ .

$S_{4} = \frac{\frac{1}{27} + 3 \cdot - 1}{1 + 3 \cdot - 1}$

Bước 13.5

Nhân $3$ với $- 1$ .

$S_{4} = \frac{\frac{1}{27} - 3}{1 + 3 \cdot - 1}$

Bước 13.6

Để viết $- 3$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{27}{27}$ .

$S_{4} = \frac{\frac{1}{27} - 3 \cdot \frac{27}{27}}{1 + 3 \cdot - 1}$

Bước 13.7

Kết hợp $- 3$ và $\frac{27}{27}$ .

$S_{4} = \frac{\frac{1}{27} + \frac{- 3 \cdot 27}{27}}{1 + 3 \cdot - 1}$

Bước 13.8

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$S_{4} = \frac{\frac{1 - 3 \cdot 27}{27}}{1 + 3 \cdot - 1}$

Bước 13.9

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 13.9.1

Nhân $- 3$ với $27$ .

$S_{4} = \frac{\frac{1 - 81}{27}}{1 + 3 \cdot - 1}$

Bước 13.9.2

Trừ $81$ khỏi $1$ .

$S_{4} = \frac{\frac{- 80}{27}}{1 + 3 \cdot - 1}$

Bước 13.10

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$S_{4} = \frac{- \frac{80}{27}}{1 + 3 \cdot - 1}$

Bước 14

Rút gọn mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 14.1

Nhân $3$ với $- 1$ .

$S_{4} = \frac{- \frac{80}{27}}{1 - 3}$

Bước 14.2

Trừ $3$ khỏi $1$ .

$S_{4} = \frac{- \frac{80}{27}}{- 2}$

Bước 15

Nhân tử số với nghịch đảo của mẫu số.

$S_{4} = - \frac{80}{27} \cdot \frac{1}{- 2}$

Bước 16

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 16.1

Di chuyển dấu âm đầu tiên trong $- \frac{80}{27}$ vào tử số.

$S_{4} = \frac{- 80}{27} \cdot \frac{1}{- 2}$

Bước 16.2

Đưa $2$ ra ngoài $- 80$ .

$S_{4} = \frac{2 (- 40)}{27} \cdot \frac{1}{- 2}$

Bước 16.3

Đưa $2$ ra ngoài $- 2$ .

$S_{4} = \frac{2 \cdot - 40}{27} \cdot \frac{1}{2 \cdot - 1}$

Bước 16.4

Triệt tiêu thừa số chung.

$S_{4} = \frac{2 \cdot - 40}{27} \cdot \frac{1}{2 \cdot - 1}$

Bước 16.5

Viết lại biểu thức.

$S_{4} = \frac{- 40}{27} \cdot \frac{1}{- 1}$

Bước 17

Nhân $\frac{- 40}{27}$ với $\frac{1}{- 1}$ .

$S_{4} = \frac{- 40}{27 \cdot - 1}$

Bước 18

Nhân $27$ với $- 1$ .

$S_{4} = \frac{- 40}{- 27}$

Bước 19

Chia hai giá trị âm cho nhau sẽ có kết quả là một giá trị dương.

$S_{4} = \frac{40}{27}$