Đại số Ví dụ

$y = e^{2 x + 5}$

Bước 1

Hoán đổi vị trí các biến.

$x = e^{2 y + 5}$

Bước 2

Giải tìm $y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Viết lại phương trình ở dạng $e^{2 y + 5} = x$ .

$e^{2 y + 5} = x$

Bước 2.2

Lấy logarit tự nhiên của cả hai vế của phương trình để loại bỏ biến khỏi số mũ.

$\ln (e^{2 y + 5}) = \ln (x)$

Bước 2.3

Khai triển vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1

Khai triển $\ln (e^{2 y + 5})$ bằng cách di chuyển $2 y + 5$ ra bên ngoài lôgarit.

$(2 y + 5) \ln (e) = \ln (x)$

Bước 2.3.2

Logarit tự nhiên của $e$ là $1$ .

$(2 y + 5) \cdot 1 = \ln (x)$

Bước 2.3.3

Nhân $2 y + 5$ với $1$ .

$2 y + 5 = \ln (x)$

Bước 2.4

Trừ $5$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$2 y = \ln (x) - 5$

Bước 2.5

Chia mỗi số hạng trong $2 y = \ln (x) - 5$ cho $2$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.5.1

Chia mỗi số hạng trong $2 y = \ln (x) - 5$ cho $2$ .

$\frac{2 y}{2} = \frac{\ln (x)}{2} + \frac{- 5}{2}$

Bước 2.5.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.5.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.5.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{2 y}{2} = \frac{\ln (x)}{2} + \frac{- 5}{2}$

Bước 2.5.2.1.2

Chia $y$ cho $1$ .

$y = \frac{\ln (x)}{2} + \frac{- 5}{2}$

Bước 2.5.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.5.3.1

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$y = \frac{\ln (x)}{2} - \frac{5}{2}$

Bước 3

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = \frac{\ln (x)}{2} - \frac{5}{2}$

Bước 4

Kiểm tra xem $f^{- 1} (x) = \frac{\ln (x)}{2} - \frac{5}{2}$ có là hàm ngược của $f (x) = e^{2 x + 5}$ không.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Để kiểm tra có phải là hàm ngược không, ta kiểm tra xem $f^{- 1} (f (x)) = x$ và $f (f^{- 1} (x)) = x$ không.

Bước 4.2

Tính $f^{- 1} (f (x))$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.1

Lập hàm hợp.

$f^{- 1} (f (x))$

Bước 4.2.2

Tính $f^{- 1} (e^{2 x + 5})$ bằng cách thay giá trị của $f$ vào $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (e^{2 x + 5}) = \frac{\ln (e^{2 x + 5})}{2} - \frac{5}{2}$

Bước 4.2.3

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$f^{- 1} (e^{2 x + 5}) = \frac{\ln (e^{2 x + 5}) - 5}{2}$

Bước 4.2.4

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.4.1

Sử dụng các quy tắc logarit để di chuyển $2 x + 5$ ra khỏi số mũ.

$f^{- 1} (e^{2 x + 5}) = \frac{(2 x + 5) \ln (e) - 5}{2}$

Bước 4.2.4.2

Logarit tự nhiên của $e$ là $1$ .

$f^{- 1} (e^{2 x + 5}) = \frac{(2 x + 5) \cdot 1 - 5}{2}$

Bước 4.2.4.3

Nhân $2 x + 5$ với $1$ .

$f^{- 1} (e^{2 x + 5}) = \frac{2 x + 5 - 5}{2}$

Bước 4.2.5

Rút gọn các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.5.1

Kết hợp các số hạng đối nhau trong $2 x + 5 - 5$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.5.1.1

Trừ $5$ khỏi $5$ .

$f^{- 1} (e^{2 x + 5}) = \frac{2 x + 0}{2}$

Bước 4.2.5.1.2

Cộng $2 x$ và $0$ .

$f^{- 1} (e^{2 x + 5}) = \frac{2 x}{2}$

Bước 4.2.5.2

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.5.2.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$f^{- 1} (e^{2 x + 5}) = \frac{2 x}{2}$

Bước 4.2.5.2.2

Chia $x$ cho $1$ .

$f^{- 1} (e^{2 x + 5}) = x$

Bước 4.3

Tính $f (f^{- 1} (x))$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.1

Lập hàm hợp.

$f (f^{- 1} (x))$

Bước 4.3.2

Tính $f (\frac{\ln (x)}{2} - \frac{5}{2})$ bằng cách thay giá trị của $f^{- 1}$ vào $f$ .

$f (\frac{\ln (x)}{2} - \frac{5}{2}) = e^{2 (\frac{\ln (x)}{2} - \frac{5}{2}) + 5}$

Bước 4.3.3

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.3.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.3.1.1

Viết lại $\frac{\ln (x)}{2}$ ở dạng $\frac{1}{2} \ln (x)$ .

$f (\frac{\ln (x)}{2} - \frac{5}{2}) = e^{2 (\frac{1}{2} \cdot \ln (x) - \frac{5}{2}) + 5}$

Bước 4.3.3.1.2

Rút gọn $\frac{1}{2} \ln (x)$ bằng cách di chuyển $\frac{1}{2}$ trong logarit.

$f (\frac{\ln (x)}{2} - \frac{5}{2}) = e^{2 (\ln (x^{\frac{1}{2}}) - \frac{5}{2}) + 5}$

Bước 4.3.3.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$f (\frac{\ln (x)}{2} - \frac{5}{2}) = e^{2 \ln (x^{\frac{1}{2}}) + 2 (- \frac{5}{2}) + 5}$

Bước 4.3.3.3

Rút gọn $2 \ln (x^{\frac{1}{2}})$ bằng cách di chuyển $2$ trong logarit.

$f (\frac{\ln (x)}{2} - \frac{5}{2}) = e^{\ln ({(x^{\frac{1}{2}})}^{2}) + 2 (- \frac{5}{2}) + 5}$

Bước 4.3.3.4

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.3.4.1

Di chuyển dấu âm đầu tiên trong $- \frac{5}{2}$ vào tử số.

$f (\frac{\ln (x)}{2} - \frac{5}{2}) = e^{\ln ({(x^{\frac{1}{2}})}^{2}) + 2 (\frac{- 5}{2}) + 5}$

Bước 4.3.3.4.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$f (\frac{\ln (x)}{2} - \frac{5}{2}) = e^{\ln ({(x^{\frac{1}{2}})}^{2}) + 2 (\frac{- 5}{2}) + 5}$

Bước 4.3.3.4.3

Viết lại biểu thức.

$f (\frac{\ln (x)}{2} - \frac{5}{2}) = e^{\ln ({(x^{\frac{1}{2}})}^{2}) - 5 + 5}$

Bước 4.3.3.5

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.3.5.1

Nhân các số mũ trong ${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.3.5.1.1

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (\frac{\ln (x)}{2} - \frac{5}{2}) = e^{\ln (x^{\frac{1}{2} \cdot 2}) - 5 + 5}$

Bước 4.3.3.5.1.2

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.3.5.1.2.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$f (\frac{\ln (x)}{2} - \frac{5}{2}) = e^{\ln (x^{\frac{1}{2} \cdot 2}) - 5 + 5}$

Bước 4.3.3.5.1.2.2

Viết lại biểu thức.

$f (\frac{\ln (x)}{2} - \frac{5}{2}) = e^{\ln (x^{1}) - 5 + 5}$

Bước 4.3.3.5.2

Rút gọn.

$f (\frac{\ln (x)}{2} - \frac{5}{2}) = e^{\ln (x) - 5 + 5}$

Bước 4.3.4

Kết hợp các số hạng đối nhau trong $\ln (x) - 5 + 5$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.4.1

Cộng $- 5$ và $5$ .

$f (\frac{\ln (x)}{2} - \frac{5}{2}) = e^{\ln (x) + 0}$

Bước 4.3.4.2

Cộng $\ln (x)$ và $0$ .

$f (\frac{\ln (x)}{2} - \frac{5}{2}) = e^{\ln (x)}$

Bước 4.3.5

Lũy thừa và logarit là các hàm nghịch đảo.

$f (\frac{\ln (x)}{2} - \frac{5}{2}) = x$

Bước 4.4

Vì $f^{- 1} (f (x)) = x$ và $f (f^{- 1} (x)) = x$ , nên $f^{- 1} (x) = \frac{\ln (x)}{2} - \frac{5}{2}$ là hàm ngược của $f (x) = e^{2 x + 5}$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{\ln (x)}{2} - \frac{5}{2}$