Đại số Ví dụ

$f (x) = 3 x^{4} + 3 x^{3} - x^{2} - 12 x - 12$

Bước 1

Tìm mọi tổ hợp của $\pm \frac{p}{q}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Nếu một hàm đa thức có các hệ số là số nguyên, thì mọi điểm zero hữu tỉ sẽ có dạng $\frac{p}{q}$ trong đó $p$ là một thừa số của hằng số và $q$ là một thừa số của hệ số cao nhất.

$p = \pm 1, \pm 2, \pm 3, \pm 4, \pm 6, \pm 12$

$q = \pm 1, \pm 3$

Bước 1.2

Tìm tất cả các tổ hợp của $\pm \frac{p}{q}$ . Đây là những nghiệm có thể có của các hàm số đa thức.

$\pm 1, \pm \frac{1}{3}, \pm 2, \pm \frac{2}{3}, \pm 3, \pm 4, \pm \frac{4}{3}, \pm 6, \pm 12$

Bước 2

Áp dụng phép chia tổng hợp cho $\frac{3 x^{4} + 3 x^{3} - x^{2} - 12 x - 12}{x - 2}$ khi $x = 2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Đặt các số đại diện cho số chia và số bị chia vào cấu hình giống như một phép chia.

$2$	$3$	$3$	$- 1$	$- 12$	$- 12$

Bước 2.2

Số đầu tiên trong số bị chia $(3)$ được đặt vào vị trí đầu tiên của phần kết quả (bên dưới đường thẳng ngang).

$2$	$3$	$3$	$- 1$	$- 12$	$- 12$

	$3$

Bước 2.3

Nhân số mới nhất trong kết quả $(3)$ với số chia $(2)$ và đặt kết quả của $(6)$ dưới số hạng tiếp theo trong số bị chia $(3)$ .

$2$	$3$	$3$	$- 1$	$- 12$	$- 12$
		$6$
	$3$

Bước 2.4

Cộng tích của phép nhân và số từ số bị chia sau đó đặt kết quả vào vị trí tiếp theo ở dòng kết quả.

$2$	$3$	$3$	$- 1$	$- 12$	$- 12$
		$6$
	$3$	$9$

Bước 2.5

Nhân số mới nhất trong kết quả $(9)$ với số chia $(2)$ và đặt kết quả của $(18)$ dưới số hạng tiếp theo trong số bị chia $(- 1)$ .

$2$	$3$	$3$	$- 1$	$- 12$	$- 12$
		$6$	$18$
	$3$	$9$

Bước 2.6

Cộng tích của phép nhân và số từ số bị chia sau đó đặt kết quả vào vị trí tiếp theo ở dòng kết quả.

$2$	$3$	$3$	$- 1$	$- 12$	$- 12$
		$6$	$18$
	$3$	$9$	$17$

Bước 2.7

Nhân số mới nhất trong kết quả $(17)$ với số chia $(2)$ và đặt kết quả của $(34)$ dưới số hạng tiếp theo trong số bị chia $(- 12)$ .

$2$	$3$	$3$	$- 1$	$- 12$	$- 12$
		$6$	$18$	$34$
	$3$	$9$	$17$

Bước 2.8

Cộng tích của phép nhân và số từ số bị chia sau đó đặt kết quả vào vị trí tiếp theo ở dòng kết quả.

$2$	$3$	$3$	$- 1$	$- 12$	$- 12$
		$6$	$18$	$34$
	$3$	$9$	$17$	$22$

Bước 2.9

Nhân số mới nhất trong kết quả $(22)$ với số chia $(2)$ và đặt kết quả của $(44)$ dưới số hạng tiếp theo trong số bị chia $(- 12)$ .

$2$	$3$	$3$	$- 1$	$- 12$	$- 12$
		$6$	$18$	$34$	$44$
	$3$	$9$	$17$	$22$

Bước 2.10

Cộng tích của phép nhân và số từ số bị chia sau đó đặt kết quả vào vị trí tiếp theo ở dòng kết quả.

$2$	$3$	$3$	$- 1$	$- 12$	$- 12$
		$6$	$18$	$34$	$44$
	$3$	$9$	$17$	$22$	$32$

Bước 2.11

Tất cả các số trừ số cuối cùng trở thành hệ số của đa thức thương. Giá trị cuối cùng trong dòng kết quả là số dư.

$3 x^{3} + 9 x^{2} + (17) x + 22 + \frac{32}{x - 2}$

Bước 2.12

Rút gọn đa thức thương.

$3 x^{3} + 9 x^{2} + 17 x + 22 + \frac{32}{x - 2}$

Bước 3

Vì $2 > 0$ và tất cả các dấu ở hàng dưới cùng của phép chia tổng hợp đều dương, $2$ là một biên trên cho các nghiệm thực sự của hàm số.

Biên trên: $2$

Bước 4

Áp dụng phép chia tổng hợp cho $\frac{3 x^{4} + 3 x^{3} - x^{2} - 12 x - 12}{x + 2}$ khi $x = - 2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Đặt các số đại diện cho số chia và số bị chia vào cấu hình giống như một phép chia.

$- 2$	$3$	$3$	$- 1$	$- 12$	$- 12$

Bước 4.2

Số đầu tiên trong số bị chia $(3)$ được đặt vào vị trí đầu tiên của phần kết quả (bên dưới đường thẳng ngang).

$- 2$	$3$	$3$	$- 1$	$- 12$	$- 12$

	$3$

Bước 4.3

Nhân số mới nhất trong kết quả $(3)$ với số chia $(- 2)$ và đặt kết quả của $(- 6)$ dưới số hạng tiếp theo trong số bị chia $(3)$ .

$- 2$	$3$	$3$	$- 1$	$- 12$	$- 12$
		$- 6$
	$3$

Bước 4.4

Cộng tích của phép nhân và số từ số bị chia sau đó đặt kết quả vào vị trí tiếp theo ở dòng kết quả.

$- 2$	$3$	$3$	$- 1$	$- 12$	$- 12$
		$- 6$
	$3$	$- 3$

Bước 4.5

Nhân số mới nhất trong kết quả $(- 3)$ với số chia $(- 2)$ và đặt kết quả của $(6)$ dưới số hạng tiếp theo trong số bị chia $(- 1)$ .

$- 2$	$3$	$3$	$- 1$	$- 12$	$- 12$
		$- 6$	$6$
	$3$	$- 3$

Bước 4.6

Cộng tích của phép nhân và số từ số bị chia sau đó đặt kết quả vào vị trí tiếp theo ở dòng kết quả.

$- 2$	$3$	$3$	$- 1$	$- 12$	$- 12$
		$- 6$	$6$
	$3$	$- 3$	$5$

Bước 4.7

Nhân số mới nhất trong kết quả $(5)$ với số chia $(- 2)$ và đặt kết quả của $(- 10)$ dưới số hạng tiếp theo trong số bị chia $(- 12)$ .

$- 2$	$3$	$3$	$- 1$	$- 12$	$- 12$
		$- 6$	$6$	$- 10$
	$3$	$- 3$	$5$

Bước 4.8

Cộng tích của phép nhân và số từ số bị chia sau đó đặt kết quả vào vị trí tiếp theo ở dòng kết quả.

$- 2$	$3$	$3$	$- 1$	$- 12$	$- 12$
		$- 6$	$6$	$- 10$
	$3$	$- 3$	$5$	$- 22$

Bước 4.9

Nhân số mới nhất trong kết quả $(- 22)$ với số chia $(- 2)$ và đặt kết quả của $(44)$ dưới số hạng tiếp theo trong số bị chia $(- 12)$ .

$- 2$	$3$	$3$	$- 1$	$- 12$	$- 12$
		$- 6$	$6$	$- 10$	$44$
	$3$	$- 3$	$5$	$- 22$

Bước 4.10

Cộng tích của phép nhân và số từ số bị chia sau đó đặt kết quả vào vị trí tiếp theo ở dòng kết quả.

$- 2$	$3$	$3$	$- 1$	$- 12$	$- 12$
		$- 6$	$6$	$- 10$	$44$
	$3$	$- 3$	$5$	$- 22$	$32$

Bước 4.11

Tất cả các số trừ số cuối cùng trở thành hệ số của đa thức thương. Giá trị cuối cùng trong dòng kết quả là số dư.

$3 x^{3} + - 3 x^{2} + (5) x - 22 + \frac{32}{x + 2}$

Bước 4.12

Rút gọn đa thức thương.

$3 x^{3} - 3 x^{2} + 5 x - 22 + \frac{32}{x + 2}$

Bước 5

Vì $- 2 < 0$ và tất cả các dấu ở hàng dưới cùng của phép chia tổng hợp đổi dấu, $- 2$ là một biên dưới cho các nghiệm thực sự của hàm số.

Biên dưới: $- 2$

Bước 6

Áp dụng phép chia tổng hợp cho $\frac{3 x^{4} + 3 x^{3} - x^{2} - 12 x - 12}{x - 3}$ khi $x = 3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Đặt các số đại diện cho số chia và số bị chia vào cấu hình giống như một phép chia.

$3$	$3$	$3$	$- 1$	$- 12$	$- 12$

Bước 6.2

Số đầu tiên trong số bị chia $(3)$ được đặt vào vị trí đầu tiên của phần kết quả (bên dưới đường thẳng ngang).

$3$	$3$	$3$	$- 1$	$- 12$	$- 12$

	$3$

Bước 6.3

Nhân số mới nhất trong kết quả $(3)$ với số chia $(3)$ và đặt kết quả của $(9)$ dưới số hạng tiếp theo trong số bị chia $(3)$ .

$3$	$3$	$3$	$- 1$	$- 12$	$- 12$
		$9$
	$3$

Bước 6.4

Cộng tích của phép nhân và số từ số bị chia sau đó đặt kết quả vào vị trí tiếp theo ở dòng kết quả.

$3$	$3$	$3$	$- 1$	$- 12$	$- 12$
		$9$
	$3$	$12$

Bước 6.5

Nhân số mới nhất trong kết quả $(12)$ với số chia $(3)$ và đặt kết quả của $(36)$ dưới số hạng tiếp theo trong số bị chia $(- 1)$ .

$3$	$3$	$3$	$- 1$	$- 12$	$- 12$
		$9$	$36$
	$3$	$12$

Bước 6.6

Cộng tích của phép nhân và số từ số bị chia sau đó đặt kết quả vào vị trí tiếp theo ở dòng kết quả.

$3$	$3$	$3$	$- 1$	$- 12$	$- 12$
		$9$	$36$
	$3$	$12$	$35$

Bước 6.7

Nhân số mới nhất trong kết quả $(35)$ với số chia $(3)$ và đặt kết quả của $(105)$ dưới số hạng tiếp theo trong số bị chia $(- 12)$ .

$3$	$3$	$3$	$- 1$	$- 12$	$- 12$
		$9$	$36$	$105$
	$3$	$12$	$35$

Bước 6.8

Cộng tích của phép nhân và số từ số bị chia sau đó đặt kết quả vào vị trí tiếp theo ở dòng kết quả.

$3$	$3$	$3$	$- 1$	$- 12$	$- 12$
		$9$	$36$	$105$
	$3$	$12$	$35$	$93$

Bước 6.9

Nhân số mới nhất trong kết quả $(93)$ với số chia $(3)$ và đặt kết quả của $(279)$ dưới số hạng tiếp theo trong số bị chia $(- 12)$ .

$3$	$3$	$3$	$- 1$	$- 12$	$- 12$
		$9$	$36$	$105$	$279$
	$3$	$12$	$35$	$93$

Bước 6.10

Cộng tích của phép nhân và số từ số bị chia sau đó đặt kết quả vào vị trí tiếp theo ở dòng kết quả.

$3$	$3$	$3$	$- 1$	$- 12$	$- 12$
		$9$	$36$	$105$	$279$
	$3$	$12$	$35$	$93$	$267$

Bước 6.11

Tất cả các số trừ số cuối cùng trở thành hệ số của đa thức thương. Giá trị cuối cùng trong dòng kết quả là số dư.

$3 x^{3} + 12 x^{2} + (35) x + 93 + \frac{267}{x - 3}$

Bước 6.12

Rút gọn đa thức thương.

$3 x^{3} + 12 x^{2} + 35 x + 93 + \frac{267}{x - 3}$

Bước 7

Vì $3 > 0$ và tất cả các dấu ở hàng dưới cùng của phép chia tổng hợp đều dương, $3$ là một biên trên cho các nghiệm thực sự của hàm số.

Biên trên: $3$

Bước 8

Áp dụng phép chia tổng hợp cho $\frac{3 x^{4} + 3 x^{3} - x^{2} - 12 x - 12}{x + 3}$ khi $x = - 3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.1

Đặt các số đại diện cho số chia và số bị chia vào cấu hình giống như một phép chia.

$- 3$	$3$	$3$	$- 1$	$- 12$	$- 12$

Bước 8.2

Số đầu tiên trong số bị chia $(3)$ được đặt vào vị trí đầu tiên của phần kết quả (bên dưới đường thẳng ngang).

$- 3$	$3$	$3$	$- 1$	$- 12$	$- 12$

	$3$

Bước 8.3

Nhân số mới nhất trong kết quả $(3)$ với số chia $(- 3)$ và đặt kết quả của $(- 9)$ dưới số hạng tiếp theo trong số bị chia $(3)$ .

$- 3$	$3$	$3$	$- 1$	$- 12$	$- 12$
		$- 9$
	$3$

Bước 8.4

Cộng tích của phép nhân và số từ số bị chia sau đó đặt kết quả vào vị trí tiếp theo ở dòng kết quả.

$- 3$	$3$	$3$	$- 1$	$- 12$	$- 12$
		$- 9$
	$3$	$- 6$

Bước 8.5

Nhân số mới nhất trong kết quả $(- 6)$ với số chia $(- 3)$ và đặt kết quả của $(18)$ dưới số hạng tiếp theo trong số bị chia $(- 1)$ .

$- 3$	$3$	$3$	$- 1$	$- 12$	$- 12$
		$- 9$	$18$
	$3$	$- 6$

Bước 8.6

Cộng tích của phép nhân và số từ số bị chia sau đó đặt kết quả vào vị trí tiếp theo ở dòng kết quả.

$- 3$	$3$	$3$	$- 1$	$- 12$	$- 12$
		$- 9$	$18$
	$3$	$- 6$	$17$

Bước 8.7

Nhân số mới nhất trong kết quả $(17)$ với số chia $(- 3)$ và đặt kết quả của $(- 51)$ dưới số hạng tiếp theo trong số bị chia $(- 12)$ .

$- 3$	$3$	$3$	$- 1$	$- 12$	$- 12$
		$- 9$	$18$	$- 51$
	$3$	$- 6$	$17$

Bước 8.8

Cộng tích của phép nhân và số từ số bị chia sau đó đặt kết quả vào vị trí tiếp theo ở dòng kết quả.

$- 3$	$3$	$3$	$- 1$	$- 12$	$- 12$
		$- 9$	$18$	$- 51$
	$3$	$- 6$	$17$	$- 63$

Bước 8.9

Nhân số mới nhất trong kết quả $(- 63)$ với số chia $(- 3)$ và đặt kết quả của $(189)$ dưới số hạng tiếp theo trong số bị chia $(- 12)$ .

$- 3$	$3$	$3$	$- 1$	$- 12$	$- 12$
		$- 9$	$18$	$- 51$	$189$
	$3$	$- 6$	$17$	$- 63$

Bước 8.10

Cộng tích của phép nhân và số từ số bị chia sau đó đặt kết quả vào vị trí tiếp theo ở dòng kết quả.

$- 3$	$3$	$3$	$- 1$	$- 12$	$- 12$
		$- 9$	$18$	$- 51$	$189$
	$3$	$- 6$	$17$	$- 63$	$177$

Bước 8.11

Tất cả các số trừ số cuối cùng trở thành hệ số của đa thức thương. Giá trị cuối cùng trong dòng kết quả là số dư.

$3 x^{3} + - 6 x^{2} + (17) x - 63 + \frac{177}{x + 3}$

Bước 8.12

Rút gọn đa thức thương.

$3 x^{3} - 6 x^{2} + 17 x - 63 + \frac{177}{x + 3}$

Bước 9

Vì $- 3 < 0$ và tất cả các dấu ở hàng dưới cùng của phép chia tổng hợp đổi dấu, $- 3$ là một biên dưới cho các nghiệm thực sự của hàm số.

Biên dưới: $- 3$

Bước 10

Áp dụng phép chia tổng hợp cho $\frac{3 x^{4} + 3 x^{3} - x^{2} - 12 x - 12}{x - 4}$ khi $x = 4$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.1

Đặt các số đại diện cho số chia và số bị chia vào cấu hình giống như một phép chia.

$4$	$3$	$3$	$- 1$	$- 12$	$- 12$

Bước 10.2

Số đầu tiên trong số bị chia $(3)$ được đặt vào vị trí đầu tiên của phần kết quả (bên dưới đường thẳng ngang).

$4$	$3$	$3$	$- 1$	$- 12$	$- 12$

	$3$

Bước 10.3

Nhân số mới nhất trong kết quả $(3)$ với số chia $(4)$ và đặt kết quả của $(12)$ dưới số hạng tiếp theo trong số bị chia $(3)$ .

$4$	$3$	$3$	$- 1$	$- 12$	$- 12$
		$12$
	$3$

Bước 10.4

Cộng tích của phép nhân và số từ số bị chia sau đó đặt kết quả vào vị trí tiếp theo ở dòng kết quả.

$4$	$3$	$3$	$- 1$	$- 12$	$- 12$
		$12$
	$3$	$15$

Bước 10.5

Nhân số mới nhất trong kết quả $(15)$ với số chia $(4)$ và đặt kết quả của $(60)$ dưới số hạng tiếp theo trong số bị chia $(- 1)$ .

$4$	$3$	$3$	$- 1$	$- 12$	$- 12$
		$12$	$60$
	$3$	$15$

Bước 10.6

Cộng tích của phép nhân và số từ số bị chia sau đó đặt kết quả vào vị trí tiếp theo ở dòng kết quả.

$4$	$3$	$3$	$- 1$	$- 12$	$- 12$
		$12$	$60$
	$3$	$15$	$59$

Bước 10.7

Nhân số mới nhất trong kết quả $(59)$ với số chia $(4)$ và đặt kết quả của $(236)$ dưới số hạng tiếp theo trong số bị chia $(- 12)$ .

$4$	$3$	$3$	$- 1$	$- 12$	$- 12$
		$12$	$60$	$236$
	$3$	$15$	$59$

Bước 10.8

Cộng tích của phép nhân và số từ số bị chia sau đó đặt kết quả vào vị trí tiếp theo ở dòng kết quả.

$4$	$3$	$3$	$- 1$	$- 12$	$- 12$
		$12$	$60$	$236$
	$3$	$15$	$59$	$224$

Bước 10.9

Nhân số mới nhất trong kết quả $(224)$ với số chia $(4)$ và đặt kết quả của $(896)$ dưới số hạng tiếp theo trong số bị chia $(- 12)$ .

$4$	$3$	$3$	$- 1$	$- 12$	$- 12$
		$12$	$60$	$236$	$896$
	$3$	$15$	$59$	$224$

Bước 10.10

Cộng tích của phép nhân và số từ số bị chia sau đó đặt kết quả vào vị trí tiếp theo ở dòng kết quả.

$4$	$3$	$3$	$- 1$	$- 12$	$- 12$
		$12$	$60$	$236$	$896$
	$3$	$15$	$59$	$224$	$884$

Bước 10.11

Tất cả các số trừ số cuối cùng trở thành hệ số của đa thức thương. Giá trị cuối cùng trong dòng kết quả là số dư.

$3 x^{3} + 15 x^{2} + (59) x + 224 + \frac{884}{x - 4}$

Bước 10.12

Rút gọn đa thức thương.

$3 x^{3} + 15 x^{2} + 59 x + 224 + \frac{884}{x - 4}$

Bước 11

Vì $4 > 0$ và tất cả các dấu ở hàng dưới cùng của phép chia tổng hợp đều dương, $4$ là một biên trên cho các nghiệm thực sự của hàm số.

Biên trên: $4$

Bước 12

Áp dụng phép chia tổng hợp cho $\frac{3 x^{4} + 3 x^{3} - x^{2} - 12 x - 12}{x + 4}$ khi $x = - 4$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.1

Đặt các số đại diện cho số chia và số bị chia vào cấu hình giống như một phép chia.

$- 4$	$3$	$3$	$- 1$	$- 12$	$- 12$

Bước 12.2

Số đầu tiên trong số bị chia $(3)$ được đặt vào vị trí đầu tiên của phần kết quả (bên dưới đường thẳng ngang).

$- 4$	$3$	$3$	$- 1$	$- 12$	$- 12$

	$3$

Bước 12.3

Nhân số mới nhất trong kết quả $(3)$ với số chia $(- 4)$ và đặt kết quả của $(- 12)$ dưới số hạng tiếp theo trong số bị chia $(3)$ .

$- 4$	$3$	$3$	$- 1$	$- 12$	$- 12$
		$- 12$
	$3$

Bước 12.4

Cộng tích của phép nhân và số từ số bị chia sau đó đặt kết quả vào vị trí tiếp theo ở dòng kết quả.

$- 4$	$3$	$3$	$- 1$	$- 12$	$- 12$
		$- 12$
	$3$	$- 9$

Bước 12.5

Nhân số mới nhất trong kết quả $(- 9)$ với số chia $(- 4)$ và đặt kết quả của $(36)$ dưới số hạng tiếp theo trong số bị chia $(- 1)$ .

$- 4$	$3$	$3$	$- 1$	$- 12$	$- 12$
		$- 12$	$36$
	$3$	$- 9$

Bước 12.6

Cộng tích của phép nhân và số từ số bị chia sau đó đặt kết quả vào vị trí tiếp theo ở dòng kết quả.

$- 4$	$3$	$3$	$- 1$	$- 12$	$- 12$
		$- 12$	$36$
	$3$	$- 9$	$35$

Bước 12.7

Nhân số mới nhất trong kết quả $(35)$ với số chia $(- 4)$ và đặt kết quả của $(- 140)$ dưới số hạng tiếp theo trong số bị chia $(- 12)$ .

$- 4$	$3$	$3$	$- 1$	$- 12$	$- 12$
		$- 12$	$36$	$- 140$
	$3$	$- 9$	$35$

Bước 12.8

Cộng tích của phép nhân và số từ số bị chia sau đó đặt kết quả vào vị trí tiếp theo ở dòng kết quả.

$- 4$	$3$	$3$	$- 1$	$- 12$	$- 12$
		$- 12$	$36$	$- 140$
	$3$	$- 9$	$35$	$- 152$

Bước 12.9

Nhân số mới nhất trong kết quả $(- 152)$ với số chia $(- 4)$ và đặt kết quả của $(608)$ dưới số hạng tiếp theo trong số bị chia $(- 12)$ .

$- 4$	$3$	$3$	$- 1$	$- 12$	$- 12$
		$- 12$	$36$	$- 140$	$608$
	$3$	$- 9$	$35$	$- 152$

Bước 12.10

Cộng tích của phép nhân và số từ số bị chia sau đó đặt kết quả vào vị trí tiếp theo ở dòng kết quả.

$- 4$	$3$	$3$	$- 1$	$- 12$	$- 12$
		$- 12$	$36$	$- 140$	$608$
	$3$	$- 9$	$35$	$- 152$	$596$

Bước 12.11

Tất cả các số trừ số cuối cùng trở thành hệ số của đa thức thương. Giá trị cuối cùng trong dòng kết quả là số dư.

$3 x^{3} + - 9 x^{2} + (35) x - 152 + \frac{596}{x + 4}$

Bước 12.12

Rút gọn đa thức thương.

$3 x^{3} - 9 x^{2} + 35 x - 152 + \frac{596}{x + 4}$

Bước 13

Vì $- 4 < 0$ và tất cả các dấu ở hàng dưới cùng của phép chia tổng hợp đổi dấu, $- 4$ là một biên dưới cho các nghiệm thực sự của hàm số.

Biên dưới: $- 4$

Bước 14

Áp dụng phép chia tổng hợp cho $\frac{3 x^{4} + 3 x^{3} - x^{2} - 12 x - 12}{x + \frac{4}{3}}$ khi $x = - \frac{4}{3}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 14.1

Đặt các số đại diện cho số chia và số bị chia vào cấu hình giống như một phép chia.

$- \frac{4}{3}$	$3$	$3$	$- 1$	$- 12$	$- 12$

Bước 14.2

Số đầu tiên trong số bị chia $(3)$ được đặt vào vị trí đầu tiên của phần kết quả (bên dưới đường thẳng ngang).

$- \frac{4}{3}$	$3$	$3$	$- 1$	$- 12$	$- 12$

	$3$

Bước 14.3

Nhân số mới nhất trong kết quả $(3)$ với số chia $(- \frac{4}{3})$ và đặt kết quả của $(- 4)$ dưới số hạng tiếp theo trong số bị chia $(3)$ .

$- \frac{4}{3}$	$3$	$3$	$- 1$	$- 12$	$- 12$
		$- 4$
	$3$

Bước 14.4

Cộng tích của phép nhân và số từ số bị chia sau đó đặt kết quả vào vị trí tiếp theo ở dòng kết quả.

$- \frac{4}{3}$	$3$	$3$	$- 1$	$- 12$	$- 12$
		$- 4$
	$3$	$- 1$

Bước 14.5

Nhân số mới nhất trong kết quả $(- 1)$ với số chia $(- \frac{4}{3})$ và đặt kết quả của $(\frac{4}{3})$ dưới số hạng tiếp theo trong số bị chia $(- 1)$ .

$- \frac{4}{3}$	$3$	$3$	$- 1$	$- 12$	$- 12$
		$- 4$	$\frac{4}{3}$
	$3$	$- 1$

Bước 14.6

Cộng tích của phép nhân và số từ số bị chia sau đó đặt kết quả vào vị trí tiếp theo ở dòng kết quả.

$- \frac{4}{3}$	$3$	$3$	$- 1$	$- 12$	$- 12$
		$- 4$	$\frac{4}{3}$
	$3$	$- 1$	$\frac{1}{3}$

Bước 14.7

Nhân số mới nhất trong kết quả $(\frac{1}{3})$ với số chia $(- \frac{4}{3})$ và đặt kết quả của $(- \frac{4}{9})$ dưới số hạng tiếp theo trong số bị chia $(- 12)$ .

$- \frac{4}{3}$	$3$	$3$	$- 1$	$- 12$	$- 12$
		$- 4$	$\frac{4}{3}$	$- \frac{4}{9}$
	$3$	$- 1$	$\frac{1}{3}$

Bước 14.8

Cộng tích của phép nhân và số từ số bị chia sau đó đặt kết quả vào vị trí tiếp theo ở dòng kết quả.

$- \frac{4}{3}$	$3$	$3$	$- 1$	$- 12$	$- 12$
		$- 4$	$\frac{4}{3}$	$- \frac{4}{9}$
	$3$	$- 1$	$\frac{1}{3}$	$- \frac{112}{9}$

Bước 14.9

Nhân số mới nhất trong kết quả $(- \frac{112}{9})$ với số chia $(- \frac{4}{3})$ và đặt kết quả của $(\frac{448}{27})$ dưới số hạng tiếp theo trong số bị chia $(- 12)$ .

$- \frac{4}{3}$	$3$	$3$	$- 1$	$- 12$	$- 12$
		$- 4$	$\frac{4}{3}$	$- \frac{4}{9}$	$\frac{448}{27}$
	$3$	$- 1$	$\frac{1}{3}$	$- \frac{112}{9}$

Bước 14.10

Cộng tích của phép nhân và số từ số bị chia sau đó đặt kết quả vào vị trí tiếp theo ở dòng kết quả.

$- \frac{4}{3}$	$3$	$3$	$- 1$	$- 12$	$- 12$
		$- 4$	$\frac{4}{3}$	$- \frac{4}{9}$	$\frac{448}{27}$
	$3$	$- 1$	$\frac{1}{3}$	$- \frac{112}{9}$	$\frac{124}{27}$

Bước 14.11

Tất cả các số trừ số cuối cùng trở thành hệ số của đa thức thương. Giá trị cuối cùng trong dòng kết quả là số dư.

$3 x^{3} + - 1 x^{2} + (\frac{1}{3}) x - \frac{112}{9} + \frac{\frac{124}{27}}{x + \frac{4}{3}}$

Bước 14.12

Rút gọn đa thức thương.

$3 x^{3} - x^{2} + \frac{x}{3} - \frac{112}{9} + \frac{124}{9 (3 x + 4)}$

Bước 15

Vì $- \frac{4}{3} < 0$ và tất cả các dấu ở hàng dưới cùng của phép chia tổng hợp đổi dấu, $- \frac{4}{3}$ là một biên dưới cho các nghiệm thực sự của hàm số.

Biên dưới: $- \frac{4}{3}$

Bước 16

Áp dụng phép chia tổng hợp cho $\frac{3 x^{4} + 3 x^{3} - x^{2} - 12 x - 12}{x - 6}$ khi $x = 6$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 16.1

Đặt các số đại diện cho số chia và số bị chia vào cấu hình giống như một phép chia.

$6$	$3$	$3$	$- 1$	$- 12$	$- 12$

Bước 16.2

Số đầu tiên trong số bị chia $(3)$ được đặt vào vị trí đầu tiên của phần kết quả (bên dưới đường thẳng ngang).

$6$	$3$	$3$	$- 1$	$- 12$	$- 12$

	$3$

Bước 16.3

Nhân số mới nhất trong kết quả $(3)$ với số chia $(6)$ và đặt kết quả của $(18)$ dưới số hạng tiếp theo trong số bị chia $(3)$ .

$6$	$3$	$3$	$- 1$	$- 12$	$- 12$
		$18$
	$3$

Bước 16.4

Cộng tích của phép nhân và số từ số bị chia sau đó đặt kết quả vào vị trí tiếp theo ở dòng kết quả.

$6$	$3$	$3$	$- 1$	$- 12$	$- 12$
		$18$
	$3$	$21$

Bước 16.5

Nhân số mới nhất trong kết quả $(21)$ với số chia $(6)$ và đặt kết quả của $(126)$ dưới số hạng tiếp theo trong số bị chia $(- 1)$ .

$6$	$3$	$3$	$- 1$	$- 12$	$- 12$
		$18$	$126$
	$3$	$21$

Bước 16.6

Cộng tích của phép nhân và số từ số bị chia sau đó đặt kết quả vào vị trí tiếp theo ở dòng kết quả.

$6$	$3$	$3$	$- 1$	$- 12$	$- 12$
		$18$	$126$
	$3$	$21$	$125$

Bước 16.7

Nhân số mới nhất trong kết quả $(125)$ với số chia $(6)$ và đặt kết quả của $(750)$ dưới số hạng tiếp theo trong số bị chia $(- 12)$ .

$6$	$3$	$3$	$- 1$	$- 12$	$- 12$
		$18$	$126$	$750$
	$3$	$21$	$125$

Bước 16.8

Cộng tích của phép nhân và số từ số bị chia sau đó đặt kết quả vào vị trí tiếp theo ở dòng kết quả.

$6$	$3$	$3$	$- 1$	$- 12$	$- 12$
		$18$	$126$	$750$
	$3$	$21$	$125$	$738$

Bước 16.9

Nhân số mới nhất trong kết quả $(738)$ với số chia $(6)$ và đặt kết quả của $(4428)$ dưới số hạng tiếp theo trong số bị chia $(- 12)$ .

$6$	$3$	$3$	$- 1$	$- 12$	$- 12$
		$18$	$126$	$750$	$4428$
	$3$	$21$	$125$	$738$

Bước 16.10

Cộng tích của phép nhân và số từ số bị chia sau đó đặt kết quả vào vị trí tiếp theo ở dòng kết quả.

$6$	$3$	$3$	$- 1$	$- 12$	$- 12$
		$18$	$126$	$750$	$4428$
	$3$	$21$	$125$	$738$	$4416$

Bước 16.11

Tất cả các số trừ số cuối cùng trở thành hệ số của đa thức thương. Giá trị cuối cùng trong dòng kết quả là số dư.

$3 x^{3} + 21 x^{2} + (125) x + 738 + \frac{4416}{x - 6}$

Bước 16.12

Rút gọn đa thức thương.

$3 x^{3} + 21 x^{2} + 125 x + 738 + \frac{4416}{x - 6}$

Bước 17

Vì $6 > 0$ và tất cả các dấu ở hàng dưới cùng của phép chia tổng hợp đều dương, $6$ là một biên trên cho các nghiệm thực sự của hàm số.

Biên trên: $6$

Bước 18

Áp dụng phép chia tổng hợp cho $\frac{3 x^{4} + 3 x^{3} - x^{2} - 12 x - 12}{x + 6}$ khi $x = - 6$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 18.1

Đặt các số đại diện cho số chia và số bị chia vào cấu hình giống như một phép chia.

$- 6$	$3$	$3$	$- 1$	$- 12$	$- 12$

Bước 18.2

Số đầu tiên trong số bị chia $(3)$ được đặt vào vị trí đầu tiên của phần kết quả (bên dưới đường thẳng ngang).

$- 6$	$3$	$3$	$- 1$	$- 12$	$- 12$

	$3$

Bước 18.3

Nhân số mới nhất trong kết quả $(3)$ với số chia $(- 6)$ và đặt kết quả của $(- 18)$ dưới số hạng tiếp theo trong số bị chia $(3)$ .

$- 6$	$3$	$3$	$- 1$	$- 12$	$- 12$
		$- 18$
	$3$

Bước 18.4

Cộng tích của phép nhân và số từ số bị chia sau đó đặt kết quả vào vị trí tiếp theo ở dòng kết quả.

$- 6$	$3$	$3$	$- 1$	$- 12$	$- 12$
		$- 18$
	$3$	$- 15$

Bước 18.5

Nhân số mới nhất trong kết quả $(- 15)$ với số chia $(- 6)$ và đặt kết quả của $(90)$ dưới số hạng tiếp theo trong số bị chia $(- 1)$ .

$- 6$	$3$	$3$	$- 1$	$- 12$	$- 12$
		$- 18$	$90$
	$3$	$- 15$

Bước 18.6

Cộng tích của phép nhân và số từ số bị chia sau đó đặt kết quả vào vị trí tiếp theo ở dòng kết quả.

$- 6$	$3$	$3$	$- 1$	$- 12$	$- 12$
		$- 18$	$90$
	$3$	$- 15$	$89$

Bước 18.7

Nhân số mới nhất trong kết quả $(89)$ với số chia $(- 6)$ và đặt kết quả của $(- 534)$ dưới số hạng tiếp theo trong số bị chia $(- 12)$ .

$- 6$	$3$	$3$	$- 1$	$- 12$	$- 12$
		$- 18$	$90$	$- 534$
	$3$	$- 15$	$89$

Bước 18.8

Cộng tích của phép nhân và số từ số bị chia sau đó đặt kết quả vào vị trí tiếp theo ở dòng kết quả.

$- 6$	$3$	$3$	$- 1$	$- 12$	$- 12$
		$- 18$	$90$	$- 534$
	$3$	$- 15$	$89$	$- 546$

Bước 18.9

Nhân số mới nhất trong kết quả $(- 546)$ với số chia $(- 6)$ và đặt kết quả của $(3276)$ dưới số hạng tiếp theo trong số bị chia $(- 12)$ .

$- 6$	$3$	$3$	$- 1$	$- 12$	$- 12$
		$- 18$	$90$	$- 534$	$3276$
	$3$	$- 15$	$89$	$- 546$

Bước 18.10

Cộng tích của phép nhân và số từ số bị chia sau đó đặt kết quả vào vị trí tiếp theo ở dòng kết quả.

$- 6$	$3$	$3$	$- 1$	$- 12$	$- 12$
		$- 18$	$90$	$- 534$	$3276$
	$3$	$- 15$	$89$	$- 546$	$3264$

Bước 18.11

Tất cả các số trừ số cuối cùng trở thành hệ số của đa thức thương. Giá trị cuối cùng trong dòng kết quả là số dư.

$3 x^{3} + - 15 x^{2} + (89) x - 546 + \frac{3264}{x + 6}$

Bước 18.12

Rút gọn đa thức thương.

$3 x^{3} - 15 x^{2} + 89 x - 546 + \frac{3264}{x + 6}$

Bước 19

Vì $- 6 < 0$ và tất cả các dấu ở hàng dưới cùng của phép chia tổng hợp đổi dấu, $- 6$ là một biên dưới cho các nghiệm thực sự của hàm số.

Biên dưới: $- 6$

Bước 20

Áp dụng phép chia tổng hợp cho $\frac{3 x^{4} + 3 x^{3} - x^{2} - 12 x - 12}{x - 12}$ khi $x = 12$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 20.1

Đặt các số đại diện cho số chia và số bị chia vào cấu hình giống như một phép chia.

$12$	$3$	$3$	$- 1$	$- 12$	$- 12$

Bước 20.2

Số đầu tiên trong số bị chia $(3)$ được đặt vào vị trí đầu tiên của phần kết quả (bên dưới đường thẳng ngang).

$12$	$3$	$3$	$- 1$	$- 12$	$- 12$

	$3$

Bước 20.3

Nhân số mới nhất trong kết quả $(3)$ với số chia $(12)$ và đặt kết quả của $(36)$ dưới số hạng tiếp theo trong số bị chia $(3)$ .

$12$	$3$	$3$	$- 1$	$- 12$	$- 12$
		$36$
	$3$

Bước 20.4

Cộng tích của phép nhân và số từ số bị chia sau đó đặt kết quả vào vị trí tiếp theo ở dòng kết quả.

$12$	$3$	$3$	$- 1$	$- 12$	$- 12$
		$36$
	$3$	$39$

Bước 20.5

Nhân số mới nhất trong kết quả $(39)$ với số chia $(12)$ và đặt kết quả của $(468)$ dưới số hạng tiếp theo trong số bị chia $(- 1)$ .

$12$	$3$	$3$	$- 1$	$- 12$	$- 12$
		$36$	$468$
	$3$	$39$

Bước 20.6

Cộng tích của phép nhân và số từ số bị chia sau đó đặt kết quả vào vị trí tiếp theo ở dòng kết quả.

$12$	$3$	$3$	$- 1$	$- 12$	$- 12$
		$36$	$468$
	$3$	$39$	$467$

Bước 20.7

Nhân số mới nhất trong kết quả $(467)$ với số chia $(12)$ và đặt kết quả của $(5604)$ dưới số hạng tiếp theo trong số bị chia $(- 12)$ .

$12$	$3$	$3$	$- 1$	$- 12$	$- 12$
		$36$	$468$	$5604$
	$3$	$39$	$467$

Bước 20.8

Cộng tích của phép nhân và số từ số bị chia sau đó đặt kết quả vào vị trí tiếp theo ở dòng kết quả.

$12$	$3$	$3$	$- 1$	$- 12$	$- 12$
		$36$	$468$	$5604$
	$3$	$39$	$467$	$5592$

Bước 20.9

Nhân số mới nhất trong kết quả $(5592)$ với số chia $(12)$ và đặt kết quả của $(67104)$ dưới số hạng tiếp theo trong số bị chia $(- 12)$ .

$12$	$3$	$3$	$- 1$	$- 12$	$- 12$
		$36$	$468$	$5604$	$67104$
	$3$	$39$	$467$	$5592$

Bước 20.10

Cộng tích của phép nhân và số từ số bị chia sau đó đặt kết quả vào vị trí tiếp theo ở dòng kết quả.

$12$	$3$	$3$	$- 1$	$- 12$	$- 12$
		$36$	$468$	$5604$	$67104$
	$3$	$39$	$467$	$5592$	$67092$

Bước 20.11

Tất cả các số trừ số cuối cùng trở thành hệ số của đa thức thương. Giá trị cuối cùng trong dòng kết quả là số dư.

$3 x^{3} + 39 x^{2} + (467) x + 5592 + \frac{67092}{x - 12}$

Bước 20.12

Rút gọn đa thức thương.

$3 x^{3} + 39 x^{2} + 467 x + 5592 + \frac{67092}{x - 12}$

Bước 21

Vì $12 > 0$ và tất cả các dấu ở hàng dưới cùng của phép chia tổng hợp đều dương, $12$ là một biên trên cho các nghiệm thực sự của hàm số.

Biên trên: $12$

Bước 22

Áp dụng phép chia tổng hợp cho $\frac{3 x^{4} + 3 x^{3} - x^{2} - 12 x - 12}{x + 12}$ khi $x = - 12$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 22.1

Đặt các số đại diện cho số chia và số bị chia vào cấu hình giống như một phép chia.

$- 12$	$3$	$3$	$- 1$	$- 12$	$- 12$

Bước 22.2

Số đầu tiên trong số bị chia $(3)$ được đặt vào vị trí đầu tiên của phần kết quả (bên dưới đường thẳng ngang).

$- 12$	$3$	$3$	$- 1$	$- 12$	$- 12$

	$3$

Bước 22.3

Nhân số mới nhất trong kết quả $(3)$ với số chia $(- 12)$ và đặt kết quả của $(- 36)$ dưới số hạng tiếp theo trong số bị chia $(3)$ .

$- 12$	$3$	$3$	$- 1$	$- 12$	$- 12$
		$- 36$
	$3$

Bước 22.4

Cộng tích của phép nhân và số từ số bị chia sau đó đặt kết quả vào vị trí tiếp theo ở dòng kết quả.

$- 12$	$3$	$3$	$- 1$	$- 12$	$- 12$
		$- 36$
	$3$	$- 33$

Bước 22.5

Nhân số mới nhất trong kết quả $(- 33)$ với số chia $(- 12)$ và đặt kết quả của $(396)$ dưới số hạng tiếp theo trong số bị chia $(- 1)$ .

$- 12$	$3$	$3$	$- 1$	$- 12$	$- 12$
		$- 36$	$396$
	$3$	$- 33$

Bước 22.6

Cộng tích của phép nhân và số từ số bị chia sau đó đặt kết quả vào vị trí tiếp theo ở dòng kết quả.

$- 12$	$3$	$3$	$- 1$	$- 12$	$- 12$
		$- 36$	$396$
	$3$	$- 33$	$395$

Bước 22.7

Nhân số mới nhất trong kết quả $(395)$ với số chia $(- 12)$ và đặt kết quả của $(- 4740)$ dưới số hạng tiếp theo trong số bị chia $(- 12)$ .

$- 12$	$3$	$3$	$- 1$	$- 12$	$- 12$
		$- 36$	$396$	$- 4740$
	$3$	$- 33$	$395$

Bước 22.8

Cộng tích của phép nhân và số từ số bị chia sau đó đặt kết quả vào vị trí tiếp theo ở dòng kết quả.

$- 12$	$3$	$3$	$- 1$	$- 12$	$- 12$
		$- 36$	$396$	$- 4740$
	$3$	$- 33$	$395$	$- 4752$

Bước 22.9

Nhân số mới nhất trong kết quả $(- 4752)$ với số chia $(- 12)$ và đặt kết quả của $(57024)$ dưới số hạng tiếp theo trong số bị chia $(- 12)$ .

$- 12$	$3$	$3$	$- 1$	$- 12$	$- 12$
		$- 36$	$396$	$- 4740$	$57024$
	$3$	$- 33$	$395$	$- 4752$

Bước 22.10

Cộng tích của phép nhân và số từ số bị chia sau đó đặt kết quả vào vị trí tiếp theo ở dòng kết quả.

$- 12$	$3$	$3$	$- 1$	$- 12$	$- 12$
		$- 36$	$396$	$- 4740$	$57024$
	$3$	$- 33$	$395$	$- 4752$	$57012$

Bước 22.11

Tất cả các số trừ số cuối cùng trở thành hệ số của đa thức thương. Giá trị cuối cùng trong dòng kết quả là số dư.

$3 x^{3} + - 33 x^{2} + (395) x - 4752 + \frac{57012}{x + 12}$

Bước 22.12

Rút gọn đa thức thương.

$3 x^{3} - 33 x^{2} + 395 x - 4752 + \frac{57012}{x + 12}$

Bước 23

Vì $- 12 < 0$ và tất cả các dấu ở hàng dưới cùng của phép chia tổng hợp đổi dấu, $- 12$ là một biên dưới cho các nghiệm thực sự của hàm số.

Biên dưới: $- 12$

Bước 24

Xác định các biên trên và dưới.

Các biên trên: $2, 3, 4, 6, 12$

Các biên dưới: $- 2, - 3, - 4, - \frac{4}{3}, - 6, - 12$

Bước 25