Đại số Ví dụ

$V = \frac{4}{3} π r^{3}$

Bước 1

Loại bỏ các dấu ngoặc đơn.

$V = \frac{4}{3} \cdot (π r^{3})$

Bước 2

Tính đạo hàm hai vế của phương trình.

$\frac{d}{d V} (V) = \frac{d}{d V} (\frac{4}{3} \cdot (π r^{3}))$

Bước 3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d V} [V^{n}]$ là $n V^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$1$

Bước 4

Tính đạo hàm vế phải của phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc nhân với hằng số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.1

Kết hợp $π$ và $\frac{4}{3}$ .

$\frac{d}{d V} [\frac{π \cdot 4}{3} \cdot r^{3}]$

Bước 4.1.2

Kết hợp các phân số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.2.1

Kết hợp $\frac{π \cdot 4}{3}$ và $r^{3}$ .

$\frac{d}{d V} [\frac{π \cdot 4 r^{3}}{3}]$

Bước 4.1.2.2

Di chuyển $4$ sang phía bên trái của $π$ .

$\frac{d}{d V} [\frac{4 \cdot π r^{3}}{3}]$

Bước 4.1.3

Vì $\frac{4 π}{3}$ không đổi đối với $V$ , nên đạo hàm của $\frac{4 π r^{3}}{3}$ đối với $V$ là $\frac{4 π}{3} \frac{d}{d V} [r^{3}]$ .

$\frac{4 π}{3} \frac{d}{d V} [r^{3}]$

Bước 4.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d V} [f (g (V))]$ là $f' (g (V)) g' (V)$ trong đó $f (V) = V^{3}$ và $g (V) = r$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u$ ở dạng $r$ .

$\frac{4 π}{3} (\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d V} [r])$

Bước 4.2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ là $n u^{n - 1}$ trong đó $n = 3$ .

$\frac{4 π}{3} (3 u^{2} \frac{d}{d V} [r])$

Bước 4.2.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $r$ .

$\frac{4 π}{3} (3 r^{2} \frac{d}{d V} [r])$

Bước 4.3

Rút gọn các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.1

Kết hợp $3$ và $\frac{4 π}{3}$ .

$\frac{3 (4 π)}{3} (r^{2} \frac{d}{d V} [r])$

Bước 4.3.2

Nhân $4$ với $3$ .

$\frac{12 π}{3} (r^{2} \frac{d}{d V} [r])$

Bước 4.3.3

Kết hợp $r^{2}$ và $\frac{12 π}{3}$ .

$\frac{r^{2} (12 π)}{3} \frac{d}{d V} [r]$

Bước 4.3.4

Di chuyển $12$ sang phía bên trái của $r^{2}$ .

$\frac{12 \cdot r^{2} π}{3} \frac{d}{d V} [r]$

Bước 4.3.5

Triệt tiêu thừa số chung của $12$ và $3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.5.1

Đưa $3$ ra ngoài $12 r^{2} π$ .

$\frac{3 (4 r^{2} π)}{3} \frac{d}{d V} [r]$

Bước 4.3.5.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.5.2.1

Đưa $3$ ra ngoài $3$ .

$\frac{3 (4 r^{2} π)}{3 (1)} \frac{d}{d V} [r]$

Bước 4.3.5.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{3 (4 r^{2} π)}{3 \cdot 1} \frac{d}{d V} [r]$

Bước 4.3.5.2.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{4 r^{2} π}{1} \frac{d}{d V} [r]$

Bước 4.3.5.2.4

Chia $4 r^{2} π$ cho $1$ .

$4 r^{2} π \frac{d}{d V} [r]$

Bước 4.4

Viết lại $\frac{d}{d V} [r]$ ở dạng $r'$ .

$4 r^{2} π r'$

Bước 4.5

Sắp xếp lại các thừa số của $4 r^{2} π r'$ .

$4 π r^{2} r'$

Bước 5

Thiết lập lại phương trình bằng cách đặt vế trái bằng vế phải.

$1 = 4 π r^{2} r'$

Bước 6

Giải tìm $r'$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Viết lại phương trình ở dạng $4 π r^{2} r' = 1$ .

$4 π r^{2} r' = 1$

Bước 6.2

Chia mỗi số hạng trong $4 π r^{2} r' = 1$ cho $4 π r^{2}$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.1

Chia mỗi số hạng trong $4 π r^{2} r' = 1$ cho $4 π r^{2}$ .

$\frac{4 π r^{2} r'}{4 π r^{2}} = \frac{1}{4 π r^{2}}$

Bước 6.2.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $4$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{4 π r^{2} r'}{4 π r^{2}} = \frac{1}{4 π r^{2}}$

Bước 6.2.2.1.2

Viết lại biểu thức.

$\frac{π r^{2} r'}{π r^{2}} = \frac{1}{4 π r^{2}}$

Bước 6.2.2.2

Triệt tiêu thừa số chung $π$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.2.2.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{π r^{2} r'}{π r^{2}} = \frac{1}{4 π r^{2}}$

Bước 6.2.2.2.2

Viết lại biểu thức.

$\frac{r^{2} r'}{r^{2}} = \frac{1}{4 π r^{2}}$

Bước 6.2.2.3

Triệt tiêu thừa số chung $r^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.2.3.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{r^{2} r'}{r^{2}} = \frac{1}{4 π r^{2}}$

Bước 6.2.2.3.2

Chia $r'$ cho $1$ .

$r' = \frac{1}{4 π r^{2}}$

Bước 7

Thay thế $r'$ bằng $\frac{d r}{d V}$ .

$\frac{d r}{d V} = \frac{1}{4 π r^{2}}$