Đại số Ví dụ

$y = \frac{1}{6} x^{2} - \frac{4}{3} x + \frac{43}{9}$

Bước 1

Hoán đổi vị trí các biến.

$x = \frac{1}{6} y^{2} - \frac{4}{3} y + \frac{43}{9}$

Bước 2

Giải tìm $y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Viết lại phương trình ở dạng $\frac{1}{6} y^{2} - \frac{4}{3} y + \frac{43}{9} = x$ .

$\frac{1}{6} y^{2} - \frac{4}{3} y + \frac{43}{9} = x$

Bước 2.2

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1

Kết hợp $\frac{1}{6}$ và $y^{2}$ .

$\frac{y^{2}}{6} - \frac{4}{3} y + \frac{43}{9} = x$

Bước 2.2.2

Kết hợp $y$ và $\frac{4}{3}$ .

$\frac{y^{2}}{6} - \frac{y \cdot 4}{3} + \frac{43}{9} = x$

Bước 2.2.3

Di chuyển $4$ sang phía bên trái của $y$ .

$\frac{y^{2}}{6} - \frac{4 y}{3} + \frac{43}{9} = x$

Bước 2.3

Trừ $x$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$\frac{y^{2}}{6} - \frac{4 y}{3} + \frac{43}{9} - x = 0$

Bước 2.4

Nhân với mẫu số chung nhỏ nhất $18$ , sau đó rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.4.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$18 (\frac{y^{2}}{6}) + 18 (- \frac{4 y}{3}) + 18 (\frac{43}{9}) + 18 (- x) = 0$

Bước 2.4.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.4.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $6$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.4.2.1.1

Đưa $6$ ra ngoài $18$ .

$6 (3) (\frac{y^{2}}{6}) + 18 (- \frac{4 y}{3}) + 18 (\frac{43}{9}) + 18 (- x) = 0$

Bước 2.4.2.1.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$6 \cdot (3 (\frac{y^{2}}{6})) + 18 (- \frac{4 y}{3}) + 18 (\frac{43}{9}) + 18 (- x) = 0$

Bước 2.4.2.1.3

Viết lại biểu thức.

$3 y^{2} + 18 (- \frac{4 y}{3}) + 18 (\frac{43}{9}) + 18 (- x) = 0$

Bước 2.4.2.2

Triệt tiêu thừa số chung $3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.4.2.2.1

Di chuyển dấu âm đầu tiên trong $- \frac{4 y}{3}$ vào tử số.

$3 y^{2} + 18 (\frac{- 4 y}{3}) + 18 (\frac{43}{9}) + 18 (- x) = 0$

Bước 2.4.2.2.2

Đưa $3$ ra ngoài $18$ .

$3 y^{2} + 3 (6) (\frac{- 4 y}{3}) + 18 (\frac{43}{9}) + 18 (- x) = 0$

Bước 2.4.2.2.3

Triệt tiêu thừa số chung.

$3 y^{2} + 3 \cdot (6 (\frac{- 4 y}{3})) + 18 (\frac{43}{9}) + 18 (- x) = 0$

Bước 2.4.2.2.4

Viết lại biểu thức.

$3 y^{2} + 6 (- 4 y) + 18 (\frac{43}{9}) + 18 (- x) = 0$

Bước 2.4.2.3

Nhân $- 4$ với $6$ .

$3 y^{2} - 24 y + 18 (\frac{43}{9}) + 18 (- x) = 0$

Bước 2.4.2.4

Triệt tiêu thừa số chung $9$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.4.2.4.1

Đưa $9$ ra ngoài $18$ .

$3 y^{2} - 24 y + 9 (2) (\frac{43}{9}) + 18 (- x) = 0$

Bước 2.4.2.4.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$3 y^{2} - 24 y + 9 \cdot (2 (\frac{43}{9})) + 18 (- x) = 0$

Bước 2.4.2.4.3

Viết lại biểu thức.

$3 y^{2} - 24 y + 2 \cdot 43 + 18 (- x) = 0$

Bước 2.4.2.5

Nhân $2$ với $43$ .

$3 y^{2} - 24 y + 86 + 18 (- x) = 0$

Bước 2.4.2.6

Nhân $- 1$ với $18$ .

$3 y^{2} - 24 y + 86 - 18 x = 0$

Bước 2.4.3

Di chuyển $86$ .

$3 y^{2} - 24 y - 18 x + 86 = 0$

Bước 2.4.4

Di chuyển $- 24 y$ .

$3 y^{2} - 18 x - 24 y + 86 = 0$

Bước 2.5

Sử dụng công thức bậc hai để tìm các đáp án.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Bước 2.6

Thay các giá trị $a = 3$ , $b = - 24$ , và $c = - 18 x + 86$ vào công thức bậc hai và giải tìm $y$ .

$\frac{24 \pm \sqrt{{(- 24)}^{2} - 4 \cdot (3 \cdot (- 18 x + 86))}}{2 \cdot 3}$

Bước 2.7

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.7.1

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.7.1.1

Nâng $- 24$ lên lũy thừa $2$ .

$y = \frac{24 \pm \sqrt{576 - 4 \cdot 3 \cdot (- 18 x + 86)}}{2 \cdot 3}$

Bước 2.7.1.2

Nhân $- 4$ với $3$ .

$y = \frac{24 \pm \sqrt{576 - 12 \cdot (- 18 x + 86)}}{2 \cdot 3}$

Bước 2.7.1.3

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$y = \frac{24 \pm \sqrt{576 - 12 (- 18 x) - 12 \cdot 86}}{2 \cdot 3}$

Bước 2.7.1.4

Nhân $- 18$ với $- 12$ .

$y = \frac{24 \pm \sqrt{576 + 216 x - 12 \cdot 86}}{2 \cdot 3}$

Bước 2.7.1.5

Nhân $- 12$ với $86$ .

$y = \frac{24 \pm \sqrt{576 + 216 x - 1032}}{2 \cdot 3}$

Bước 2.7.1.6

Trừ $1032$ khỏi $576$ .

$y = \frac{24 \pm \sqrt{216 x - 456}}{2 \cdot 3}$

Bước 2.7.1.7

Đưa $24$ ra ngoài $216 x - 456$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.7.1.7.1

Đưa $24$ ra ngoài $216 x$ .

$y = \frac{24 \pm \sqrt{24 (9 x) - 456}}{2 \cdot 3}$

Bước 2.7.1.7.2

Đưa $24$ ra ngoài $- 456$ .

$y = \frac{24 \pm \sqrt{24 (9 x) + 24 (- 19)}}{2 \cdot 3}$

Bước 2.7.1.7.3

Đưa $24$ ra ngoài $24 (9 x) + 24 (- 19)$ .

$y = \frac{24 \pm \sqrt{24 (9 x - 19)}}{2 \cdot 3}$

Bước 2.7.1.8

Viết lại $24 (9 x - 19)$ ở dạng $2^{2} \cdot (6 (3^{2} x - 19))$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.7.1.8.1

Đưa $4$ ra ngoài $24$ .

$y = \frac{24 \pm \sqrt{4 (6) (9 x - 19)}}{2 \cdot 3}$

Bước 2.7.1.8.2

Viết lại $4$ ở dạng $2^{2}$ .

$y = \frac{24 \pm \sqrt{2^{2} \cdot (6 (9 x - 19))}}{2 \cdot 3}$

Bước 2.7.1.8.3

Viết lại $9$ ở dạng $3^{2}$ .

$y = \frac{24 \pm \sqrt{2^{2} \cdot (6 (3^{2} x - 19))}}{2 \cdot 3}$

Bước 2.7.1.8.4

Thêm các dấu ngoặc đơn.

$y = \frac{24 \pm \sqrt{2^{2} \cdot (6 (3^{2} x - 19))}}{2 \cdot 3}$

Bước 2.7.1.9

Đưa các số hạng dưới căn thức ra ngoài.

$y = \frac{24 \pm 2 \sqrt{6 (3^{2} x - 19)}}{2 \cdot 3}$

Bước 2.7.1.10

Nâng $3$ lên lũy thừa $2$ .

$y = \frac{24 \pm 2 \sqrt{6 (9 x - 19)}}{2 \cdot 3}$

Bước 2.7.2

Nhân $2$ với $3$ .

$y = \frac{24 \pm 2 \sqrt{6 (9 x - 19)}}{6}$

Bước 2.7.3

Rút gọn $\frac{24 \pm 2 \sqrt{6 (9 x - 19)}}{6}$ .

$y = \frac{12 \pm \sqrt{6 (9 x - 19)}}{3}$

Bước 2.8

Rút gọn biểu thức để giải tìm phần $+$ của $\pm$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.8.1

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.8.1.1

Nâng $- 24$ lên lũy thừa $2$ .

$y = \frac{24 \pm \sqrt{576 - 4 \cdot 3 \cdot (- 18 x + 86)}}{2 \cdot 3}$

Bước 2.8.1.2

Nhân $- 4$ với $3$ .

$y = \frac{24 \pm \sqrt{576 - 12 \cdot (- 18 x + 86)}}{2 \cdot 3}$

Bước 2.8.1.3

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$y = \frac{24 \pm \sqrt{576 - 12 (- 18 x) - 12 \cdot 86}}{2 \cdot 3}$

Bước 2.8.1.4

Nhân $- 18$ với $- 12$ .

$y = \frac{24 \pm \sqrt{576 + 216 x - 12 \cdot 86}}{2 \cdot 3}$

Bước 2.8.1.5

Nhân $- 12$ với $86$ .

$y = \frac{24 \pm \sqrt{576 + 216 x - 1032}}{2 \cdot 3}$

Bước 2.8.1.6

Trừ $1032$ khỏi $576$ .

$y = \frac{24 \pm \sqrt{216 x - 456}}{2 \cdot 3}$

Bước 2.8.1.7

Đưa $24$ ra ngoài $216 x - 456$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.8.1.7.1

Đưa $24$ ra ngoài $216 x$ .

$y = \frac{24 \pm \sqrt{24 (9 x) - 456}}{2 \cdot 3}$

Bước 2.8.1.7.2

Đưa $24$ ra ngoài $- 456$ .

$y = \frac{24 \pm \sqrt{24 (9 x) + 24 (- 19)}}{2 \cdot 3}$

Bước 2.8.1.7.3

Đưa $24$ ra ngoài $24 (9 x) + 24 (- 19)$ .

$y = \frac{24 \pm \sqrt{24 (9 x - 19)}}{2 \cdot 3}$

Bước 2.8.1.8

Viết lại $24 (9 x - 19)$ ở dạng $2^{2} \cdot (6 (3^{2} x - 19))$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.8.1.8.1

Đưa $4$ ra ngoài $24$ .

$y = \frac{24 \pm \sqrt{4 (6) (9 x - 19)}}{2 \cdot 3}$

Bước 2.8.1.8.2

Viết lại $4$ ở dạng $2^{2}$ .

$y = \frac{24 \pm \sqrt{2^{2} \cdot (6 (9 x - 19))}}{2 \cdot 3}$

Bước 2.8.1.8.3

Viết lại $9$ ở dạng $3^{2}$ .

$y = \frac{24 \pm \sqrt{2^{2} \cdot (6 (3^{2} x - 19))}}{2 \cdot 3}$

Bước 2.8.1.8.4

Thêm các dấu ngoặc đơn.

$y = \frac{24 \pm \sqrt{2^{2} \cdot (6 (3^{2} x - 19))}}{2 \cdot 3}$

Bước 2.8.1.9

Đưa các số hạng dưới căn thức ra ngoài.

$y = \frac{24 \pm 2 \sqrt{6 (3^{2} x - 19)}}{2 \cdot 3}$

Bước 2.8.1.10

Nâng $3$ lên lũy thừa $2$ .

$y = \frac{24 \pm 2 \sqrt{6 (9 x - 19)}}{2 \cdot 3}$

Bước 2.8.2

Nhân $2$ với $3$ .

$y = \frac{24 \pm 2 \sqrt{6 (9 x - 19)}}{6}$

Bước 2.8.3

Rút gọn $\frac{24 \pm 2 \sqrt{6 (9 x - 19)}}{6}$ .

$y = \frac{12 \pm \sqrt{6 (9 x - 19)}}{3}$

Bước 2.8.4

Chuyển đổi $\pm$ thành $+$ .

$y = \frac{12 + \sqrt{6 (9 x - 19)}}{3}$

Bước 2.9

Rút gọn biểu thức để giải tìm phần $-$ của $\pm$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.9.1

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.9.1.1

Nâng $- 24$ lên lũy thừa $2$ .

$y = \frac{24 \pm \sqrt{576 - 4 \cdot 3 \cdot (- 18 x + 86)}}{2 \cdot 3}$

Bước 2.9.1.2

Nhân $- 4$ với $3$ .

$y = \frac{24 \pm \sqrt{576 - 12 \cdot (- 18 x + 86)}}{2 \cdot 3}$

Bước 2.9.1.3

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$y = \frac{24 \pm \sqrt{576 - 12 (- 18 x) - 12 \cdot 86}}{2 \cdot 3}$

Bước 2.9.1.4

Nhân $- 18$ với $- 12$ .

$y = \frac{24 \pm \sqrt{576 + 216 x - 12 \cdot 86}}{2 \cdot 3}$

Bước 2.9.1.5

Nhân $- 12$ với $86$ .

$y = \frac{24 \pm \sqrt{576 + 216 x - 1032}}{2 \cdot 3}$

Bước 2.9.1.6

Trừ $1032$ khỏi $576$ .

$y = \frac{24 \pm \sqrt{216 x - 456}}{2 \cdot 3}$

Bước 2.9.1.7

Đưa $24$ ra ngoài $216 x - 456$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.9.1.7.1

Đưa $24$ ra ngoài $216 x$ .

$y = \frac{24 \pm \sqrt{24 (9 x) - 456}}{2 \cdot 3}$

Bước 2.9.1.7.2

Đưa $24$ ra ngoài $- 456$ .

$y = \frac{24 \pm \sqrt{24 (9 x) + 24 (- 19)}}{2 \cdot 3}$

Bước 2.9.1.7.3

Đưa $24$ ra ngoài $24 (9 x) + 24 (- 19)$ .

$y = \frac{24 \pm \sqrt{24 (9 x - 19)}}{2 \cdot 3}$

Bước 2.9.1.8

Viết lại $24 (9 x - 19)$ ở dạng $2^{2} \cdot (6 (3^{2} x - 19))$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.9.1.8.1

Đưa $4$ ra ngoài $24$ .

$y = \frac{24 \pm \sqrt{4 (6) (9 x - 19)}}{2 \cdot 3}$

Bước 2.9.1.8.2

Viết lại $4$ ở dạng $2^{2}$ .

$y = \frac{24 \pm \sqrt{2^{2} \cdot (6 (9 x - 19))}}{2 \cdot 3}$

Bước 2.9.1.8.3

Viết lại $9$ ở dạng $3^{2}$ .

$y = \frac{24 \pm \sqrt{2^{2} \cdot (6 (3^{2} x - 19))}}{2 \cdot 3}$

Bước 2.9.1.8.4

Thêm các dấu ngoặc đơn.

$y = \frac{24 \pm \sqrt{2^{2} \cdot (6 (3^{2} x - 19))}}{2 \cdot 3}$

Bước 2.9.1.9

Đưa các số hạng dưới căn thức ra ngoài.

$y = \frac{24 \pm 2 \sqrt{6 (3^{2} x - 19)}}{2 \cdot 3}$

Bước 2.9.1.10

Nâng $3$ lên lũy thừa $2$ .

$y = \frac{24 \pm 2 \sqrt{6 (9 x - 19)}}{2 \cdot 3}$

Bước 2.9.2

Nhân $2$ với $3$ .

$y = \frac{24 \pm 2 \sqrt{6 (9 x - 19)}}{6}$

Bước 2.9.3

Rút gọn $\frac{24 \pm 2 \sqrt{6 (9 x - 19)}}{6}$ .

$y = \frac{12 \pm \sqrt{6 (9 x - 19)}}{3}$

Bước 2.9.4

Chuyển đổi $\pm$ thành $-$ .

$y = \frac{12 - \sqrt{6 (9 x - 19)}}{3}$

Bước 2.10

Câu trả lời cuối cùng là sự kết hợp của cả hai đáp án.

$y = \frac{12 + \sqrt{6 (9 x - 19)}}{3}$

$y = \frac{12 - \sqrt{6 (9 x - 19)}}{3}$

$y = \frac{12 + \sqrt{6 (9 x - 19)}}{3}$

$y = \frac{12 - \sqrt{6 (9 x - 19)}}{3}$

Bước 3

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = \frac{12 + \sqrt{6 (9 x - 19)}}{3}, \frac{12 - \sqrt{6 (9 x - 19)}}{3}$

Bước 4

Kiểm tra xem $f^{- 1} (x) = \frac{12 + \sqrt{6 (9 x - 19)}}{3}, \frac{12 - \sqrt{6 (9 x - 19)}}{3}$ có là hàm ngược của $f (x) = \frac{1}{6} x^{2} - \frac{4}{3} x + \frac{43}{9}$ không.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Tập xác định của hàm ngược là khoảng biến thiên của hàm số ban đầu và ngược lại. Tìm tập xác định và khoảng biến thiên của $f (x) = \frac{1}{6} x^{2} - \frac{4}{3} x + \frac{43}{9}$ và $f^{- 1} (x) = \frac{12 + \sqrt{6 (9 x - 19)}}{3}, \frac{12 - \sqrt{6 (9 x - 19)}}{3}$ rồi so sánh.

Bước 4.2

Tìm miền giá trị của $f (x) = \frac{1}{6} x^{2} - \frac{4}{3} x + \frac{43}{9}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.1

Khoảng biến thiên là tập hợp của tất cả các giá trị $y$ hợp lệ. Sử dụng biểu đồ để tìm khoảng biến thiên.

Ký hiệu khoảng:

$[\frac{19}{9}, \infty)$

Bước 4.3

Tìm tập xác định của $\frac{12 + \sqrt{6 (9 x - 19)}}{3}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.1

Đặt số trong dấu căn trong $\sqrt{6 (9 x - 19)}$ lớn hơn hoặc bằng $0$ để tìm nơi biểu thức xác định.

$6 (9 x - 19) \geq 0$

Bước 4.3.2

Giải tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.2.1

Chia mỗi số hạng trong $6 (9 x - 19) \geq 0$ cho $6$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.2.1.1

Chia mỗi số hạng trong $6 (9 x - 19) \geq 0$ cho $6$ .

$\frac{6 (9 x - 19)}{6} \geq \frac{0}{6}$

Bước 4.3.2.1.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.2.1.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $6$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.2.1.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{6 (9 x - 19)}{6} \geq \frac{0}{6}$

Bước 4.3.2.1.2.1.2

Chia $9 x - 19$ cho $1$ .

$9 x - 19 \geq \frac{0}{6}$

Bước 4.3.2.1.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.2.1.3.1

Chia $0$ cho $6$ .

$9 x - 19 \geq 0$

Bước 4.3.2.2

Cộng $19$ cho cả hai vế của bất đẳng thức.

$9 x \geq 19$

Bước 4.3.2.3

Chia mỗi số hạng trong $9 x \geq 19$ cho $9$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.2.3.1

Chia mỗi số hạng trong $9 x \geq 19$ cho $9$ .

$\frac{9 x}{9} \geq \frac{19}{9}$

Bước 4.3.2.3.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.2.3.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $9$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.2.3.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{9 x}{9} \geq \frac{19}{9}$

Bước 4.3.2.3.2.1.2

Chia $x$ cho $1$ .

$x \geq \frac{19}{9}$

Bước 4.3.3

Tập xác định là tất cả các giá trị của $x$ và làm cho biểu thức xác định.

$[\frac{19}{9}, \infty)$

Bước 4.4

Tìm tập xác định của $f (x) = \frac{1}{6} x^{2} - \frac{4}{3} x + \frac{43}{9}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.4.1

Tập xác định của biểu thức là tất cả các số thực trừ trường hợp biểu thức không xác định. Trong trường hợp này, không có số thực nào làm cho biểu thức không xác định.

$(- \infty, \infty)$

Bước 4.5

Vì tập xác định của $f^{- 1} (x) = \frac{12 + \sqrt{6 (9 x - 19)}}{3}, \frac{12 - \sqrt{6 (9 x - 19)}}{3}$ là khoảng biến thiên của $f (x) = \frac{1}{6} x^{2} - \frac{4}{3} x + \frac{43}{9}$ và khoảng biến thiên của $f^{- 1} (x) = \frac{12 + \sqrt{6 (9 x - 19)}}{3}, \frac{12 - \sqrt{6 (9 x - 19)}}{3}$ là tập xác định của $f (x) = \frac{1}{6} x^{2} - \frac{4}{3} x + \frac{43}{9}$ , nên $f^{- 1} (x) = \frac{12 + \sqrt{6 (9 x - 19)}}{3}, \frac{12 - \sqrt{6 (9 x - 19)}}{3}$ là hàm ngược của $f (x) = \frac{1}{6} x^{2} - \frac{4}{3} x + \frac{43}{9}$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{12 + \sqrt{6 (9 x - 19)}}{3}, \frac{12 - \sqrt{6 (9 x - 19)}}{3}$

Bước 5