Đại số Ví dụ

$f (x) = x^{3} - 11 x^{2} + 43 x - 65$

Bước 1

Nếu một hàm đa thức có các hệ số là số nguyên, thì mọi điểm zero hữu tỉ sẽ có dạng $\frac{p}{q}$ trong đó $p$ là một thừa số của hằng số và $q$ là một thừa số của hệ số cao nhất.

$p = \pm 1, \pm 5, \pm 13, \pm 65$

$q = \pm 1$

Bước 2

Tìm tất cả các tổ hợp của $\pm \frac{p}{q}$ . Đây là những nghiệm có thể có của các hàm số đa thức.

$\pm 1, \pm 5, \pm 13, \pm 65$

Bước 3

Thay từng nghiệm có thể có vào đa thức để tìm các nghiệm thực. Rút gọn để kiểm tra xem giá trị có phải là $0$ , có nghĩa là nó là một nghiệm.

${(5)}^{3} - 11 {(5)}^{2} + 43 (5) - 65$

Bước 4

Rút gọn biểu thức. Trong trường hợp này, biểu thức bằng $0$ vì vậy $x = 5$ là một căn của đa thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.1

Nâng $5$ lên lũy thừa $3$ .

$125 - 11 {(5)}^{2} + 43 (5) - 65$

Bước 4.1.2

Nâng $5$ lên lũy thừa $2$ .

$125 - 11 \cdot 25 + 43 (5) - 65$

Bước 4.1.3

Nhân $- 11$ với $25$ .

$125 - 275 + 43 (5) - 65$

Bước 4.1.4

Nhân $43$ với $5$ .

$125 - 275 + 215 - 65$

Bước 4.2

Rút gọn bằng cách cộng và trừ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.1

Trừ $275$ khỏi $125$ .

$- 150 + 215 - 65$

Bước 4.2.2

Cộng $- 150$ và $215$ .

$65 - 65$

Bước 4.2.3

Trừ $65$ khỏi $65$ .

$0$

Bước 5

Vì $5$ là một nghiệm đã biết, chia đa thức cho $x - 5$ để tìm đa thức thương. Đa thức này sau đó có thể được sử dụng để tìm các nghiệm còn lại.

$\frac{x^{3} - 11 x^{2} + 43 x - 65}{x - 5}$

Bước 6

Tiếp theo, tìm các nghiệm của đa thức còn lại. Bậc của đa thức đã bị giảm xuống $1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Đặt các số đại diện cho số chia và số bị chia vào cấu hình giống như một phép chia.

$5$	$1$	$- 11$	$43$	$- 65$

Bước 6.2

Số đầu tiên trong số bị chia $(1)$ được đặt vào vị trí đầu tiên của phần kết quả (bên dưới đường thẳng ngang).

$5$	$1$	$- 11$	$43$	$- 65$

	$1$

Bước 6.3

Nhân số mới nhất trong kết quả $(1)$ với số chia $(5)$ và đặt kết quả của $(5)$ dưới số hạng tiếp theo trong số bị chia $(- 11)$ .

$5$	$1$	$- 11$	$43$	$- 65$
		$5$
	$1$

Bước 6.4

Cộng tích của phép nhân và số từ số bị chia sau đó đặt kết quả vào vị trí tiếp theo ở dòng kết quả.

$5$	$1$	$- 11$	$43$	$- 65$
		$5$
	$1$	$- 6$

Bước 6.5

Nhân số mới nhất trong kết quả $(- 6)$ với số chia $(5)$ và đặt kết quả của $(- 30)$ dưới số hạng tiếp theo trong số bị chia $(43)$ .

$5$	$1$	$- 11$	$43$	$- 65$
		$5$	$- 30$
	$1$	$- 6$

Bước 6.6

Cộng tích của phép nhân và số từ số bị chia sau đó đặt kết quả vào vị trí tiếp theo ở dòng kết quả.

$5$	$1$	$- 11$	$43$	$- 65$
		$5$	$- 30$
	$1$	$- 6$	$13$

Bước 6.7

Nhân số mới nhất trong kết quả $(13)$ với số chia $(5)$ và đặt kết quả của $(65)$ dưới số hạng tiếp theo trong số bị chia $(- 65)$ .

$5$	$1$	$- 11$	$43$	$- 65$
		$5$	$- 30$	$65$
	$1$	$- 6$	$13$

Bước 6.8

Cộng tích của phép nhân và số từ số bị chia sau đó đặt kết quả vào vị trí tiếp theo ở dòng kết quả.

$5$	$1$	$- 11$	$43$	$- 65$
		$5$	$- 30$	$65$
	$1$	$- 6$	$13$	$0$

Bước 6.9

Tất cả các số trừ số cuối cùng trở thành hệ số của đa thức thương. Giá trị cuối cùng trong dòng kết quả là số dư.

$1 x^{2} + - 6 x + 13$

Bước 6.10

Rút gọn đa thức thương.

$x^{2} - 6 x + 13$

Bước 7

Giải phương trình để tìm các nghiệm còn lại.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1

Sử dụng công thức bậc hai để tìm các đáp án.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Bước 7.2

Thay các giá trị $a = 1$ , $b = - 6$ , và $c = 13$ vào công thức bậc hai và giải tìm $x$ .

$\frac{6 \pm \sqrt{{(- 6)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 13)}}{2 \cdot 1}$

Bước 7.3

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.3.1

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.3.1.1

Nâng $- 6$ lên lũy thừa $2$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 4 \cdot 1 \cdot 13}}{2 \cdot 1}$

Bước 7.3.1.2

Nhân $- 4 \cdot 1 \cdot 13$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.3.1.2.1

Nhân $- 4$ với $1$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 4 \cdot 13}}{2 \cdot 1}$

Bước 7.3.1.2.2

Nhân $- 4$ với $13$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 52}}{2 \cdot 1}$

Bước 7.3.1.3

Trừ $52$ khỏi $36$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{- 16}}{2 \cdot 1}$

Bước 7.3.1.4

Viết lại $- 16$ ở dạng $- 1 (16)$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{- 1 \cdot 16}}{2 \cdot 1}$

Bước 7.3.1.5

Viết lại $\sqrt{- 1 (16)}$ ở dạng $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{16}$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{16}}{2 \cdot 1}$

Bước 7.3.1.6

Viết lại $\sqrt{- 1}$ ở dạng $i$ .

$x = \frac{6 \pm i \cdot \sqrt{16}}{2 \cdot 1}$

Bước 7.3.1.7

Viết lại $16$ ở dạng $4^{2}$ .

$x = \frac{6 \pm i \cdot \sqrt{4^{2}}}{2 \cdot 1}$

Bước 7.3.1.8

Đưa các số hạng dưới dấu căn ra ngoài, giả sử đó là các số thực dương.

$x = \frac{6 \pm i \cdot 4}{2 \cdot 1}$

Bước 7.3.1.9

Di chuyển $4$ sang phía bên trái của $i$ .

$x = \frac{6 \pm 4 i}{2 \cdot 1}$

Bước 7.3.2

Nhân $2$ với $1$ .

$x = \frac{6 \pm 4 i}{2}$

Bước 7.3.3

Rút gọn $\frac{6 \pm 4 i}{2}$ .

$x = 3 \pm 2 i$

Bước 7.4

Rút gọn biểu thức để giải tìm phần $+$ của $\pm$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.4.1

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.4.1.1

Nâng $- 6$ lên lũy thừa $2$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 4 \cdot 1 \cdot 13}}{2 \cdot 1}$

Bước 7.4.1.2

Nhân $- 4 \cdot 1 \cdot 13$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.4.1.2.1

Nhân $- 4$ với $1$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 4 \cdot 13}}{2 \cdot 1}$

Bước 7.4.1.2.2

Nhân $- 4$ với $13$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 52}}{2 \cdot 1}$

Bước 7.4.1.3

Trừ $52$ khỏi $36$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{- 16}}{2 \cdot 1}$

Bước 7.4.1.4

Viết lại $- 16$ ở dạng $- 1 (16)$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{- 1 \cdot 16}}{2 \cdot 1}$

Bước 7.4.1.5

Viết lại $\sqrt{- 1 (16)}$ ở dạng $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{16}$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{16}}{2 \cdot 1}$

Bước 7.4.1.6

Viết lại $\sqrt{- 1}$ ở dạng $i$ .

$x = \frac{6 \pm i \cdot \sqrt{16}}{2 \cdot 1}$

Bước 7.4.1.7

Viết lại $16$ ở dạng $4^{2}$ .

$x = \frac{6 \pm i \cdot \sqrt{4^{2}}}{2 \cdot 1}$

Bước 7.4.1.8

Đưa các số hạng dưới dấu căn ra ngoài, giả sử đó là các số thực dương.

$x = \frac{6 \pm i \cdot 4}{2 \cdot 1}$

Bước 7.4.1.9

Di chuyển $4$ sang phía bên trái của $i$ .

$x = \frac{6 \pm 4 i}{2 \cdot 1}$

Bước 7.4.2

Nhân $2$ với $1$ .

$x = \frac{6 \pm 4 i}{2}$

Bước 7.4.3

Rút gọn $\frac{6 \pm 4 i}{2}$ .

$x = 3 \pm 2 i$

Bước 7.4.4

Chuyển đổi $\pm$ thành $+$ .

$x = 3 + 2 i$

Bước 7.5

Rút gọn biểu thức để giải tìm phần $-$ của $\pm$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.5.1

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.5.1.1

Nâng $- 6$ lên lũy thừa $2$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 4 \cdot 1 \cdot 13}}{2 \cdot 1}$

Bước 7.5.1.2

Nhân $- 4 \cdot 1 \cdot 13$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.5.1.2.1

Nhân $- 4$ với $1$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 4 \cdot 13}}{2 \cdot 1}$

Bước 7.5.1.2.2

Nhân $- 4$ với $13$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 52}}{2 \cdot 1}$

Bước 7.5.1.3

Trừ $52$ khỏi $36$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{- 16}}{2 \cdot 1}$

Bước 7.5.1.4

Viết lại $- 16$ ở dạng $- 1 (16)$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{- 1 \cdot 16}}{2 \cdot 1}$

Bước 7.5.1.5

Viết lại $\sqrt{- 1 (16)}$ ở dạng $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{16}$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{16}}{2 \cdot 1}$

Bước 7.5.1.6

Viết lại $\sqrt{- 1}$ ở dạng $i$ .

$x = \frac{6 \pm i \cdot \sqrt{16}}{2 \cdot 1}$

Bước 7.5.1.7

Viết lại $16$ ở dạng $4^{2}$ .

$x = \frac{6 \pm i \cdot \sqrt{4^{2}}}{2 \cdot 1}$

Bước 7.5.1.8

Đưa các số hạng dưới dấu căn ra ngoài, giả sử đó là các số thực dương.

$x = \frac{6 \pm i \cdot 4}{2 \cdot 1}$

Bước 7.5.1.9

Di chuyển $4$ sang phía bên trái của $i$ .

$x = \frac{6 \pm 4 i}{2 \cdot 1}$

Bước 7.5.2

Nhân $2$ với $1$ .

$x = \frac{6 \pm 4 i}{2}$

Bước 7.5.3

Rút gọn $\frac{6 \pm 4 i}{2}$ .

$x = 3 \pm 2 i$

Bước 7.5.4

Chuyển đổi $\pm$ thành $-$ .

$x = 3 - 2 i$

Bước 7.6

Câu trả lời cuối cùng là sự kết hợp của cả hai đáp án.

$x = 3 + 2 i, 3 - 2 i$

Bước 8

Đa thức có thể được viết dưới dạng một tập hợp các thừa số tuyến tính.

$(x - 5) (x - 3 - 2 i) (x - 3 + 2 i)$

Bước 9

Đây là các nghiệm (các điểm zero) của đa thức $x^{3} - 11 x^{2} + 43 x - 65$ .

$x = 5, 3 + 2 i, 3 - 2 i$

Bước 10