Đại số Ví dụ

$f (x) = x^{4} - 4 x^{3} - 18 x^{2} + 108 x - 135$

Bước 1

Nếu một hàm đa thức có các hệ số là số nguyên, thì mọi điểm zero hữu tỉ sẽ có dạng $\frac{p}{q}$ trong đó $p$ là một thừa số của hằng số và $q$ là một thừa số của hệ số cao nhất.

$p = \pm 1, \pm 3, \pm 5, \pm 9, \pm 15, \pm 27, \pm 45, \pm 135$

$q = \pm 1$

Bước 2

Tìm tất cả các tổ hợp của $\pm \frac{p}{q}$ . Đây là những nghiệm có thể có của các hàm số đa thức.

$\pm 1, \pm 3, \pm 5, \pm 9, \pm 15, \pm 27, \pm 45, \pm 135$

Bước 3

Thay từng nghiệm có thể có vào đa thức để tìm các nghiệm thực. Rút gọn để kiểm tra xem giá trị có phải là $0$ , có nghĩa là nó là một nghiệm.

${(3)}^{4} - 4 {(3)}^{3} - 18 {(3)}^{2} + 108 (3) - 135$

Bước 4

Rút gọn biểu thức. Trong trường hợp này, biểu thức bằng $0$ vì vậy $x = 3$ là một căn của đa thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.1

Nâng $3$ lên lũy thừa $4$ .

$81 - 4 {(3)}^{3} - 18 {(3)}^{2} + 108 (3) - 135$

Bước 4.1.2

Nâng $3$ lên lũy thừa $3$ .

$81 - 4 \cdot 27 - 18 {(3)}^{2} + 108 (3) - 135$

Bước 4.1.3

Nhân $- 4$ với $27$ .

$81 - 108 - 18 {(3)}^{2} + 108 (3) - 135$

Bước 4.1.4

Nâng $3$ lên lũy thừa $2$ .

$81 - 108 - 18 \cdot 9 + 108 (3) - 135$

Bước 4.1.5

Nhân $- 18$ với $9$ .

$81 - 108 - 162 + 108 (3) - 135$

Bước 4.1.6

Nhân $108$ với $3$ .

$81 - 108 - 162 + 324 - 135$

Bước 4.2

Rút gọn bằng cách cộng và trừ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.1

Trừ $108$ khỏi $81$ .

$- 27 - 162 + 324 - 135$

Bước 4.2.2

Trừ $162$ khỏi $- 27$ .

$- 189 + 324 - 135$

Bước 4.2.3

Cộng $- 189$ và $324$ .

$135 - 135$

Bước 4.2.4

Trừ $135$ khỏi $135$ .

$0$

Bước 5

Vì $3$ là một nghiệm đã biết, chia đa thức cho $x - 3$ để tìm đa thức thương. Đa thức này sau đó có thể được sử dụng để tìm các nghiệm còn lại.

$\frac{x^{4} - 4 x^{3} - 18 x^{2} + 108 x - 135}{x - 3}$

Bước 6

Tiếp theo, tìm các nghiệm của đa thức còn lại. Bậc của đa thức đã bị giảm xuống $1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Đặt các số đại diện cho số chia và số bị chia vào cấu hình giống như một phép chia.

$3$	$1$	$- 4$	$- 18$	$108$	$- 135$

Bước 6.2

Số đầu tiên trong số bị chia $(1)$ được đặt vào vị trí đầu tiên của phần kết quả (bên dưới đường thẳng ngang).

$3$	$1$	$- 4$	$- 18$	$108$	$- 135$

	$1$

Bước 6.3

Nhân số mới nhất trong kết quả $(1)$ với số chia $(3)$ và đặt kết quả của $(3)$ dưới số hạng tiếp theo trong số bị chia $(- 4)$ .

$3$	$1$	$- 4$	$- 18$	$108$	$- 135$
		$3$
	$1$

Bước 6.4

Cộng tích của phép nhân và số từ số bị chia sau đó đặt kết quả vào vị trí tiếp theo ở dòng kết quả.

$3$	$1$	$- 4$	$- 18$	$108$	$- 135$
		$3$
	$1$	$- 1$

Bước 6.5

Nhân số mới nhất trong kết quả $(- 1)$ với số chia $(3)$ và đặt kết quả của $(- 3)$ dưới số hạng tiếp theo trong số bị chia $(- 18)$ .

$3$	$1$	$- 4$	$- 18$	$108$	$- 135$
		$3$	$- 3$
	$1$	$- 1$

Bước 6.6

Cộng tích của phép nhân và số từ số bị chia sau đó đặt kết quả vào vị trí tiếp theo ở dòng kết quả.

$3$	$1$	$- 4$	$- 18$	$108$	$- 135$
		$3$	$- 3$
	$1$	$- 1$	$- 21$

Bước 6.7

Nhân số mới nhất trong kết quả $(- 21)$ với số chia $(3)$ và đặt kết quả của $(- 63)$ dưới số hạng tiếp theo trong số bị chia $(108)$ .

$3$	$1$	$- 4$	$- 18$	$108$	$- 135$
		$3$	$- 3$	$- 63$
	$1$	$- 1$	$- 21$

Bước 6.8

Cộng tích của phép nhân và số từ số bị chia sau đó đặt kết quả vào vị trí tiếp theo ở dòng kết quả.

$3$	$1$	$- 4$	$- 18$	$108$	$- 135$
		$3$	$- 3$	$- 63$
	$1$	$- 1$	$- 21$	$45$

Bước 6.9

Nhân số mới nhất trong kết quả $(45)$ với số chia $(3)$ và đặt kết quả của $(135)$ dưới số hạng tiếp theo trong số bị chia $(- 135)$ .

$3$	$1$	$- 4$	$- 18$	$108$	$- 135$
		$3$	$- 3$	$- 63$	$135$
	$1$	$- 1$	$- 21$	$45$

Bước 6.10

Cộng tích của phép nhân và số từ số bị chia sau đó đặt kết quả vào vị trí tiếp theo ở dòng kết quả.

$3$	$1$	$- 4$	$- 18$	$108$	$- 135$
		$3$	$- 3$	$- 63$	$135$
	$1$	$- 1$	$- 21$	$45$	$0$

Bước 6.11

Tất cả các số trừ số cuối cùng trở thành hệ số của đa thức thương. Giá trị cuối cùng trong dòng kết quả là số dư.

$1 x^{3} + - 1 x^{2} + (- 21) x + 45$

Bước 6.12

Rút gọn đa thức thương.

$x^{3} - x^{2} - 21 x + 45$

Bước 7

Giải phương trình để tìm các nghiệm còn lại.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1

Phân tích vế trái của phương trình thành thừa số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1.1

Phân tích $x^{3} - x^{2} - 21 x + 45$ thành thừa số bằng phương pháp kiểm tra nghiệm hữu tỉ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1.1.1

$p = \pm 1, \pm 45, \pm 3, \pm 15, \pm 5, \pm 9$

$q = \pm 1$

Bước 7.1.1.2

Tìm tất cả các tổ hợp của $\pm \frac{p}{q}$ . Đây là những nghiệm có thể có của các hàm số đa thức.

$\pm 1, \pm 45, \pm 3, \pm 15, \pm 5, \pm 9$

Bước 7.1.1.3

Thay $3$ và rút gọn biểu thức. Trong trường hợp này, biểu thức bằng $0$ vì vậy $3$ là một nghiệm của đa thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1.1.3.1

Thay $3$ vào đa thức.

$3^{3} - 3^{2} - 21 \cdot 3 + 45$

Bước 7.1.1.3.2

Nâng $3$ lên lũy thừa $3$ .

$27 - 3^{2} - 21 \cdot 3 + 45$

Bước 7.1.1.3.3

Nâng $3$ lên lũy thừa $2$ .

$27 - 1 \cdot 9 - 21 \cdot 3 + 45$

Bước 7.1.1.3.4

Nhân $- 1$ với $9$ .

$27 - 9 - 21 \cdot 3 + 45$

Bước 7.1.1.3.5

Trừ $9$ khỏi $27$ .

$18 - 21 \cdot 3 + 45$

Bước 7.1.1.3.6

Nhân $- 21$ với $3$ .

$18 - 63 + 45$

Bước 7.1.1.3.7

Trừ $63$ khỏi $18$ .

$- 45 + 45$

Bước 7.1.1.3.8

Cộng $- 45$ và $45$ .

$0$

Bước 7.1.1.4

Vì $3$ là một nghiệm đã biết, chia đa thức cho $x - 3$ để tìm thương đa thức. Đa thức này sau đó có thể được sử dụng để tìm các nghiệm còn lại.

$\frac{x^{3} - x^{2} - 21 x + 45}{x - 3}$

Bước 7.1.1.5

Chia $x^{3} - x^{2} - 21 x + 45$ cho $x - 3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1.1.5.1

Lập các đa thức được chia. Nếu không có đủ số hạng cho mọi số mũ, hãy chèn một số hạng có giá trị $0$ .

$x$

$3$

$x^{3}$

$x^{2}$

$21 x$

$45$

Bước 7.1.1.5.2

Chia số hạng bậc cao nhất trong biểu thức bị chia $x^{3}$ cho số hạng bậc cao nhất trong biểu thức chia $x$ .

					$x^{2}$
	$x$	-	$3$		$x^{3}$	-	$x^{2}$	-	$21 x$	+	$45$

Bước 7.1.1.5.3

Nhân số hạng thương số mới với số chia.

				$x^{2}$
$x$	-	$3$		$x^{3}$	-	$x^{2}$	-	$21 x$	+	$45$
			+	$x^{3}$	-	$3 x^{2}$

Bước 7.1.1.5.4

Biểu thức cần được trừ khỏi số bị chia, vì vậy hãy đổi tất cả các dấu trong $x^{3} - 3 x^{2}$

				$x^{2}$
$x$	-	$3$		$x^{3}$	-	$x^{2}$	-	$21 x$	+	$45$
			-	$x^{3}$	+	$3 x^{2}$

Bước 7.1.1.5.5

Sau khi đổi các dấu, cộng số bị chia cuối cùng của đa thức từ phép nhân để tìm số bị chia mới.

				$x^{2}$
$x$	-	$3$		$x^{3}$	-	$x^{2}$	-	$21 x$	+	$45$
			-	$x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					+	$2 x^{2}$

Bước 7.1.1.5.6

Đưa các số hạng tiếp theo từ biểu thức bị chia ban đầu xuống dưới biểu thức bị chia hiện tại.

				$x^{2}$
$x$	-	$3$		$x^{3}$	-	$x^{2}$	-	$21 x$	+	$45$
			-	$x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					+	$2 x^{2}$	-	$21 x$

Bước 7.1.1.5.7

Chia số hạng bậc cao nhất trong biểu thức bị chia $2 x^{2}$ cho số hạng bậc cao nhất trong biểu thức chia $x$ .

				$x^{2}$	+	$2 x$
$x$	-	$3$		$x^{3}$	-	$x^{2}$	-	$21 x$	+	$45$
			-	$x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					+	$2 x^{2}$	-	$21 x$

Bước 7.1.1.5.8

Nhân số hạng thương số mới với số chia.

				$x^{2}$	+	$2 x$
$x$	-	$3$		$x^{3}$	-	$x^{2}$	-	$21 x$	+	$45$
			-	$x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					+	$2 x^{2}$	-	$21 x$
					+	$2 x^{2}$	-	$6 x$

Bước 7.1.1.5.9

Biểu thức cần được trừ khỏi số bị chia, vì vậy hãy đổi tất cả các dấu trong $2 x^{2} - 6 x$

				$x^{2}$	+	$2 x$
$x$	-	$3$		$x^{3}$	-	$x^{2}$	-	$21 x$	+	$45$
			-	$x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					+	$2 x^{2}$	-	$21 x$
					-	$2 x^{2}$	+	$6 x$

Bước 7.1.1.5.10

Sau khi đổi các dấu, cộng số bị chia cuối cùng của đa thức từ phép nhân để tìm số bị chia mới.

				$x^{2}$	+	$2 x$
$x$	-	$3$		$x^{3}$	-	$x^{2}$	-	$21 x$	+	$45$
			-	$x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					+	$2 x^{2}$	-	$21 x$
					-	$2 x^{2}$	+	$6 x$
							-	$15 x$

Bước 7.1.1.5.11

Đưa các số hạng tiếp theo từ biểu thức bị chia ban đầu xuống dưới biểu thức bị chia hiện tại.

				$x^{2}$	+	$2 x$
$x$	-	$3$		$x^{3}$	-	$x^{2}$	-	$21 x$	+	$45$
			-	$x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					+	$2 x^{2}$	-	$21 x$
					-	$2 x^{2}$	+	$6 x$
							-	$15 x$	+	$45$

Bước 7.1.1.5.12

Chia số hạng bậc cao nhất trong biểu thức bị chia $- 15 x$ cho số hạng bậc cao nhất trong biểu thức chia $x$ .

				$x^{2}$	+	$2 x$	-	$15$
$x$	-	$3$		$x^{3}$	-	$x^{2}$	-	$21 x$	+	$45$
			-	$x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					+	$2 x^{2}$	-	$21 x$
					-	$2 x^{2}$	+	$6 x$
							-	$15 x$	+	$45$

Bước 7.1.1.5.13

Nhân số hạng thương số mới với số chia.

				$x^{2}$	+	$2 x$	-	$15$
$x$	-	$3$		$x^{3}$	-	$x^{2}$	-	$21 x$	+	$45$
			-	$x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					+	$2 x^{2}$	-	$21 x$
					-	$2 x^{2}$	+	$6 x$
							-	$15 x$	+	$45$
							-	$15 x$	+	$45$

Bước 7.1.1.5.14

Biểu thức cần được trừ khỏi số bị chia, vì vậy hãy đổi tất cả các dấu trong $- 15 x + 45$

				$x^{2}$	+	$2 x$	-	$15$
$x$	-	$3$		$x^{3}$	-	$x^{2}$	-	$21 x$	+	$45$
			-	$x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					+	$2 x^{2}$	-	$21 x$
					-	$2 x^{2}$	+	$6 x$
							-	$15 x$	+	$45$
							+	$15 x$	-	$45$

Bước 7.1.1.5.15

Sau khi đổi các dấu, cộng số bị chia cuối cùng của đa thức từ phép nhân để tìm số bị chia mới.

				$x^{2}$	+	$2 x$	-	$15$
$x$	-	$3$		$x^{3}$	-	$x^{2}$	-	$21 x$	+	$45$
			-	$x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					+	$2 x^{2}$	-	$21 x$
					-	$2 x^{2}$	+	$6 x$
							-	$15 x$	+	$45$
							+	$15 x$	-	$45$
										$0$

Bước 7.1.1.5.16

Vì số dư là $0$ , nên câu trả lời cuối cùng là thương.

$x^{2} + 2 x - 15$

Bước 7.1.1.6

Viết $x^{3} - x^{2} - 21 x + 45$ ở dạng một tập hợp các thừa số.

$(x - 3) (x^{2} + 2 x - 15) = 0$

Bước 7.1.2

Phân tích $x^{2} + 2 x - 15$ thành thừa số bằng phương pháp AC.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1.2.1

Phân tích $x^{2} + 2 x - 15$ thành thừa số bằng phương pháp AC.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1.2.1.1

Xét dạng $x^{2} + b x + c$ . Tìm một cặp số nguyên mà tích số của chúng là $c$ và tổng của chúng là $b$ . Trong trường hợp này, tích số của chúng là $- 15$ và tổng của chúng là $2$ .

$- 3, 5$

Bước 7.1.2.1.2

Viết dạng đã được phân tích thành thừa số bằng các số nguyên này.

$(x - 3) ((x - 3) (x + 5)) = 0$

Bước 7.1.2.2

Loại bỏ các dấu ngoặc đơn không cần thiết.

$(x - 3) (x - 3) (x + 5) = 0$

Bước 7.1.3

Kết hợp các thừa số tương tự.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1.3.1

Nâng $x - 3$ lên lũy thừa $1$ .

$(x - 3) (x - 3) (x + 5) = 0$

Bước 7.1.3.2

Nâng $x - 3$ lên lũy thừa $1$ .

$(x - 3) (x - 3) (x + 5) = 0$

Bước 7.1.3.3

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

${(x - 3)}^{1 + 1} (x + 5) = 0$

Bước 7.1.3.4

Cộng $1$ và $1$ .

${(x - 3)}^{2} (x + 5) = 0$

Bước 7.2

Nếu bất kỳ thừa số riêng lẻ nào ở vế trái của phương trình bằng $0$ , toàn bộ biểu thức sẽ bằng $0$ .

${(x - 3)}^{2} = 0$

$x + 5 = 0$

Bước 7.3

Đặt ${(x - 3)}^{2}$ bằng $0$ và giải tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.3.1

Đặt ${(x - 3)}^{2}$ bằng với $0$ .

${(x - 3)}^{2} = 0$

Bước 7.3.2

Giải ${(x - 3)}^{2} = 0$ để tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.3.2.1

Đặt $x - 3$ bằng $0$ .

$x - 3 = 0$

Bước 7.3.2.2

Cộng $3$ cho cả hai vế của phương trình.

$x = 3$

Bước 7.4

Đặt $x + 5$ bằng $0$ và giải tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.4.1

Đặt $x + 5$ bằng với $0$ .

$x + 5 = 0$

Bước 7.4.2

Trừ $5$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$x = - 5$

Bước 7.5

Đáp án cuối cùng là tất cả các giá trị làm cho ${(x - 3)}^{2} (x + 5) = 0$ đúng.

$x = 3, - 5$

Bước 8

Đa thức có thể được viết dưới dạng một tập hợp các thừa số tuyến tính.

$(x - 3) (x + 5)$

Bước 9

Đây là các nghiệm (các điểm zero) của đa thức $x^{4} - 4 x^{3} - 18 x^{2} + 108 x - 135$ .

$x = 3, - 5$

Bước 10