Đại số Ví dụ

$x^{2} + y^{2} + 14 x - 12 y = - 69$

Bước 1

Hoàn thành bình phương cho $x^{2} + 14 x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Sử dụng dạng $a x^{2} + b x + c$ , để tìm các giá trị của $a$ , $b$ , và $c$ .

$a = 1$

$b = 14$

$c = 0$

Bước 1.2

Xét dạng đỉnh của một parabol.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Bước 1.3

Tìm $d$ bằng cách sử dụng công thức $d = \frac{b}{2 a}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.1

Thay các giá trị của $a$ và $b$ vào công thức $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{14}{2 \cdot 1}$

Bước 1.3.2

Triệt tiêu thừa số chung của $14$ và $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.2.1

Đưa $2$ ra ngoài $14$ .

$d = \frac{2 \cdot 7}{2 \cdot 1}$

Bước 1.3.2.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.2.2.1

Đưa $2$ ra ngoài $2 \cdot 1$ .

$d = \frac{2 \cdot 7}{2 (1)}$

Bước 1.3.2.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$d = \frac{2 \cdot 7}{2 \cdot 1}$

Bước 1.3.2.2.3

Viết lại biểu thức.

$d = \frac{7}{1}$

Bước 1.3.2.2.4

Chia $7$ cho $1$ .

$d = 7$

Bước 1.4

Tìm $e$ bằng cách sử dụng công thức $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.4.1

Thay các giá trị của $c$ , $b$ và $a$ vào công thức $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{14^{2}}{4 \cdot 1}$

Bước 1.4.2

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.4.2.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.4.2.1.1

Nâng $14$ lên lũy thừa $2$ .

$e = 0 - \frac{196}{4 \cdot 1}$

Bước 1.4.2.1.2

Nhân $4$ với $1$ .

$e = 0 - \frac{196}{4}$

Bước 1.4.2.1.3

Chia $196$ cho $4$ .

$e = 0 - 1 \cdot 49$

Bước 1.4.2.1.4

Nhân $- 1$ với $49$ .

$e = 0 - 49$

Bước 1.4.2.2

Trừ $49$ khỏi $0$ .

$e = - 49$

Bước 1.5

Thay các giá trị của $a$ , $d$ và $e$ vào dạng đỉnh ${(x + 7)}^{2} - 49$ .

${(x + 7)}^{2} - 49$

Bước 2

Thay ${(x + 7)}^{2} - 49$ cho $x^{2} + 14 x$ trong phương trình $x^{2} + y^{2} + 14 x - 12 y = - 69$ .

${(x + 7)}^{2} - 49 + y^{2} - 12 y = - 69$

Bước 3

Di chuyển $- 49$ sang vế phải của phương trình bằng cách cộng $49$ vào cả hai vế.

${(x + 7)}^{2} + y^{2} - 12 y = - 69 + 49$

Bước 4

Hoàn thành bình phương cho $y^{2} - 12 y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Sử dụng dạng $a x^{2} + b x + c$ , để tìm các giá trị của $a$ , $b$ , và $c$ .

$a = 1$

$b = - 12$

$c = 0$

Bước 4.2

Xét dạng đỉnh của một parabol.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Bước 4.3

Tìm $d$ bằng cách sử dụng công thức $d = \frac{b}{2 a}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.1

Thay các giá trị của $a$ và $b$ vào công thức $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{- 12}{2 \cdot 1}$

Bước 4.3.2

Triệt tiêu thừa số chung của $- 12$ và $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.2.1

Đưa $2$ ra ngoài $- 12$ .

$d = \frac{2 \cdot - 6}{2 \cdot 1}$

Bước 4.3.2.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.2.2.1

Đưa $2$ ra ngoài $2 \cdot 1$ .

$d = \frac{2 \cdot - 6}{2 (1)}$

Bước 4.3.2.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$d = \frac{2 \cdot - 6}{2 \cdot 1}$

Bước 4.3.2.2.3

Viết lại biểu thức.

$d = \frac{- 6}{1}$

Bước 4.3.2.2.4

Chia $- 6$ cho $1$ .

$d = - 6$

Bước 4.4

Tìm $e$ bằng cách sử dụng công thức $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.4.1

Thay các giá trị của $c$ , $b$ và $a$ vào công thức $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{{(- 12)}^{2}}{4 \cdot 1}$

Bước 4.4.2

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.4.2.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.4.2.1.1

Nâng $- 12$ lên lũy thừa $2$ .

$e = 0 - \frac{144}{4 \cdot 1}$

Bước 4.4.2.1.2

Nhân $4$ với $1$ .

$e = 0 - \frac{144}{4}$

Bước 4.4.2.1.3

Chia $144$ cho $4$ .

$e = 0 - 1 \cdot 36$

Bước 4.4.2.1.4

Nhân $- 1$ với $36$ .

$e = 0 - 36$

Bước 4.4.2.2

Trừ $36$ khỏi $0$ .

$e = - 36$

Bước 4.5

Thay các giá trị của $a$ , $d$ và $e$ vào dạng đỉnh ${(y - 6)}^{2} - 36$ .

${(y - 6)}^{2} - 36$

Bước 5

Thay ${(y - 6)}^{2} - 36$ cho $y^{2} - 12 y$ trong phương trình $x^{2} + y^{2} + 14 x - 12 y = - 69$ .

${(x + 7)}^{2} + {(y - 6)}^{2} - 36 = - 69 + 49$

Bước 6

Di chuyển $- 36$ sang vế phải của phương trình bằng cách cộng $36$ vào cả hai vế.

${(x + 7)}^{2} + {(y - 6)}^{2} = - 69 + 49 + 36$

Bước 7

Rút gọn $- 69 + 49 + 36$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1

Cộng $- 69$ và $49$ .

${(x + 7)}^{2} + {(y - 6)}^{2} = - 20 + 36$

Bước 7.2

Cộng $- 20$ và $36$ .

${(x + 7)}^{2} + {(y - 6)}^{2} = 16$

Bước 8

Đây là dạng của một đường tròn. Sử dụng dạng này để xác định tâm và bán kính của đường tròn.

${(x - h)}^{2} + {(y - k)}^{2} = r^{2}$

Bước 9

Tương ứng các giá trị trong đường tròn này với dạng chính tắc. Biến $r$ là bán kính của đường tròn, $h$ là khoảng cách theo trục x tính từ gốc tọa độ, và $k$ là khoảng cách theo trục y tính từ gốc tọa độ.

$r = 4$

$h = - 7$

$k = 6$

Bước 10

Tìm được tâm của đường tròn tại $(h, k)$ .

Tâm: $(- 7, 6)$

Bước 11

Những giá trị này đại diện cho các giá trị quan trọng cho việc vẽ đồ thị và phân tích một đường tròn.

Tâm: $(- 7, 6)$

Bán kính: $4$

Bước 12