Đại số Ví dụ

$y = 3 {(x + \frac{1}{3})}^{2} + \frac{2}{3}$

Bước 1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Viết lại ${(x + \frac{1}{3})}^{2}$ ở dạng $(x + \frac{1}{3}) (x + \frac{1}{3})$ .

$f (x) = 3 ((x + \frac{1}{3}) (x + \frac{1}{3})) + \frac{2}{3}$

Bước 1.2

Khai triển $(x + \frac{1}{3}) (x + \frac{1}{3})$ bằng cách sử dụng Phương pháp FOIL.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$f (x) = 3 (x (x + \frac{1}{3}) + \frac{1}{3} \cdot (x + \frac{1}{3})) + \frac{2}{3}$

Bước 1.2.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$f (x) = 3 (x \cdot x + x (\frac{1}{3}) + \frac{1}{3} \cdot (x + \frac{1}{3})) + \frac{2}{3}$

Bước 1.2.3

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$f (x) = 3 (x \cdot x + x (\frac{1}{3}) + \frac{1}{3} x + \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{3}) + \frac{2}{3}$

Bước 1.3

Rút gọn và kết hợp các số hạng đồng dạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.1.1

Nhân $x$ với $x$ .

$f (x) = 3 (x^{2} + x (\frac{1}{3}) + \frac{1}{3} x + \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{3}) + \frac{2}{3}$

Bước 1.3.1.2

Kết hợp $x$ và $\frac{1}{3}$ .

$f (x) = 3 (x^{2} + \frac{x}{3} + \frac{1}{3} x + \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{3}) + \frac{2}{3}$

Bước 1.3.1.3

Kết hợp $\frac{1}{3}$ và $x$ .

$f (x) = 3 (x^{2} + \frac{x}{3} + \frac{x}{3} + \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{3}) + \frac{2}{3}$

Bước 1.3.1.4

Nhân $\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{3}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.1.4.1

Nhân $\frac{1}{3}$ với $\frac{1}{3}$ .

$f (x) = 3 (x^{2} + \frac{x}{3} + \frac{x}{3} + \frac{1}{3 \cdot 3}) + \frac{2}{3}$

Bước 1.3.1.4.2

Nhân $3$ với $3$ .

$f (x) = 3 (x^{2} + \frac{x}{3} + \frac{x}{3} + \frac{1}{9}) + \frac{2}{3}$

Bước 1.3.2

Cộng $\frac{x}{3}$ và $\frac{x}{3}$ .

$f (x) = 3 (x^{2} + 2 (\frac{x}{3}) + \frac{1}{9}) + \frac{2}{3}$

Bước 1.4

Kết hợp $2$ và $\frac{x}{3}$ .

$f (x) = 3 (x^{2} + \frac{2 x}{3} + \frac{1}{9}) + \frac{2}{3}$

Bước 1.5

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$f (x) = 3 x^{2} + 3 (\frac{2 x}{3}) + 3 (\frac{1}{9}) + \frac{2}{3}$

Bước 1.6

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.6.1

Triệt tiêu thừa số chung $3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.6.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$f (x) = 3 x^{2} + 3 (\frac{2 x}{3}) + 3 (\frac{1}{9}) + \frac{2}{3}$

Bước 1.6.1.2

Viết lại biểu thức.

$f (x) = 3 x^{2} + 2 x + 3 (\frac{1}{9}) + \frac{2}{3}$

Bước 1.6.2

Triệt tiêu thừa số chung $3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.6.2.1

Đưa $3$ ra ngoài $9$ .

$f (x) = 3 x^{2} + 2 x + 3 (\frac{1}{3 (3)}) + \frac{2}{3}$

Bước 1.6.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$f (x) = 3 x^{2} + 2 x + 3 (\frac{1}{3 \cdot 3}) + \frac{2}{3}$

Bước 1.6.2.3

Viết lại biểu thức.

$f (x) = 3 x^{2} + 2 x + \frac{1}{3} + \frac{2}{3}$

Bước 2

Kết hợp các phân số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$f (x) = 3 x^{2} + 2 x + \frac{1 + 2}{3}$

Bước 2.2

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1

Cộng $1$ và $2$ .

$f (x) = 3 x^{2} + 2 x + \frac{3}{3}$

Bước 2.2.2

Chia $3$ cho $3$ .

$f (x) = 3 x^{2} + 2 x + 1$

Bước 3

Cực tiểu của hàm bậc hai xảy ra tại $x = - \frac{b}{2 a}$ . Nếu $a$ dương, giá trị cực tiểu của hàm số là $f (- \frac{b}{2 a})$ .

$f_{cực tiểu}$ $x = a x^{2} + b x + c$ xảy ra tại $x = - \frac{b}{2 a}$

Bước 4

Tìm $x = - \frac{b}{2 a}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Thay vào các giá trị của $a$ và $b$ .

$x = - \frac{2}{2 (3)}$

Bước 4.2

Loại bỏ các dấu ngoặc đơn.

$x = - \frac{2}{2 (3)}$

Bước 4.3

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$x = - \frac{2}{2 \cdot 3}$

Bước 4.3.2

Viết lại biểu thức.

$x = - \frac{1}{3}$

Bước 5

Tính $f (- \frac{1}{3})$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Thay thế biến $x$ bằng $- \frac{1}{3}$ trong biểu thức.

$f (- \frac{1}{3}) = 3 {(- \frac{1}{3})}^{2} + 2 (- \frac{1}{3}) + 1$

Bước 5.2

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.1.1

Sử dụng quy tắc lũy thừa ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ để phân phối các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.1.1.1

Áp dụng quy tắc tích số cho $- \frac{1}{3}$ .

$f (- \frac{1}{3}) = 3 ({(- 1)}^{2} {(\frac{1}{3})}^{2}) + 2 (- \frac{1}{3}) + 1$

Bước 5.2.1.1.2

Áp dụng quy tắc tích số cho $\frac{1}{3}$ .

$f (- \frac{1}{3}) = 3 ({(- 1)}^{2} (\frac{1^{2}}{3^{2}})) + 2 (- \frac{1}{3}) + 1$

Bước 5.2.1.2

Nâng $- 1$ lên lũy thừa $2$ .

$f (- \frac{1}{3}) = 3 (1 (\frac{1^{2}}{3^{2}})) + 2 (- \frac{1}{3}) + 1$

Bước 5.2.1.3

Nhân $\frac{1^{2}}{3^{2}}$ với $1$ .

$f (- \frac{1}{3}) = 3 (\frac{1^{2}}{3^{2}}) + 2 (- \frac{1}{3}) + 1$

Bước 5.2.1.4

Một mũ bất kỳ số nào là một.

$f (- \frac{1}{3}) = 3 (\frac{1}{3^{2}}) + 2 (- \frac{1}{3}) + 1$

Bước 5.2.1.5

Nâng $3$ lên lũy thừa $2$ .

$f (- \frac{1}{3}) = 3 (\frac{1}{9}) + 2 (- \frac{1}{3}) + 1$

Bước 5.2.1.6

Triệt tiêu thừa số chung $3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.1.6.1

Đưa $3$ ra ngoài $9$ .

$f (- \frac{1}{3}) = 3 (\frac{1}{3 (3)}) + 2 (- \frac{1}{3}) + 1$

Bước 5.2.1.6.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$f (- \frac{1}{3}) = 3 (\frac{1}{3 \cdot 3}) + 2 (- \frac{1}{3}) + 1$

Bước 5.2.1.6.3

Viết lại biểu thức.

$f (- \frac{1}{3}) = \frac{1}{3} + 2 (- \frac{1}{3}) + 1$

Bước 5.2.1.7

Nhân $2 (- \frac{1}{3})$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.1.7.1

Nhân $- 1$ với $2$ .

$f (- \frac{1}{3}) = \frac{1}{3} - 2 (\frac{1}{3}) + 1$

Bước 5.2.1.7.2

Kết hợp $- 2$ và $\frac{1}{3}$ .

$f (- \frac{1}{3}) = \frac{1}{3} + \frac{- 2}{3} + 1$

Bước 5.2.1.8

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$f (- \frac{1}{3}) = \frac{1}{3} - \frac{2}{3} + 1$

Bước 5.2.2

Kết hợp các phân số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.2.1

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$f (- \frac{1}{3}) = 1 + \frac{1 - 2}{3}$

Bước 5.2.2.2

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.2.2.1

Trừ $2$ khỏi $1$ .

$f (- \frac{1}{3}) = 1 + \frac{- 1}{3}$

Bước 5.2.2.2.2

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$f (- \frac{1}{3}) = 1 - \frac{1}{3}$

Bước 5.2.2.2.3

Viết $1$ ở dạng một phân số với một mẫu số chung.

$f (- \frac{1}{3}) = \frac{3}{3} - \frac{1}{3}$

Bước 5.2.2.2.4

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$f (- \frac{1}{3}) = \frac{3 - 1}{3}$

Bước 5.2.2.2.5

Trừ $1$ khỏi $3$ .

$f (- \frac{1}{3}) = \frac{2}{3}$

Bước 5.2.3

Câu trả lời cuối cùng là $\frac{2}{3}$ .

$\frac{2}{3}$

Bước 6

Sử dụng các giá trị $x$ và $y$ để tìm nơi xảy ra cực tiểu.

$(- \frac{1}{3}, \frac{2}{3})$

Bước 7