Đại số Ví dụ

$f (x) = {1.5}^{x} + 4$

Bước 1

Viết $f (x) = {1.5}^{x} + 4$ ở dạng một phương trình.

$y = {1.5}^{x} + 4$

Bước 2

Hoán đổi vị trí các biến.

$x = {1.5}^{y} + 4$

Bước 3

Giải tìm $y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Viết lại phương trình ở dạng ${1.5}^{y} + 4 = x$ .

${1.5}^{y} + 4 = x$

Bước 3.2

Trừ $4$ khỏi cả hai vế của phương trình.

${1.5}^{y} = x - 4$

Bước 3.3

Lấy logarit tự nhiên của cả hai vế của phương trình để loại bỏ biến khỏi số mũ.

$\ln ({1.5}^{y}) = \ln (x - 4)$

Bước 3.4

Khai triển $\ln ({1.5}^{y})$ bằng cách di chuyển $y$ ra bên ngoài lôgarit.

$y \ln (1.5) = \ln (x - 4)$

Bước 3.5

Chia mỗi số hạng trong $y \ln (1.5) = \ln (x - 4)$ cho $\ln (1.5)$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.5.1

Chia mỗi số hạng trong $y \ln (1.5) = \ln (x - 4)$ cho $\ln (1.5)$ .

$\frac{y \ln (1.5)}{\ln (1.5)} = \frac{\ln (x - 4)}{\ln (1.5)}$

Bước 3.5.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.5.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $\ln (1.5)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.5.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{y \ln (1.5)}{\ln (1.5)} = \frac{\ln (x - 4)}{\ln (1.5)}$

Bước 3.5.2.1.2

Chia $y$ cho $1$ .

$y = \frac{\ln (x - 4)}{\ln (1.5)}$

Bước 4

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = \frac{\ln (x - 4)}{\ln (1.5)}$

Bước 5

Kiểm tra xem $f^{- 1} (x) = \frac{\ln (x - 4)}{\ln (1.5)}$ có là hàm ngược của $f (x) = {1.5}^{x} + 4$ không.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Để kiểm tra có phải là hàm ngược không, ta kiểm tra xem $f^{- 1} (f (x)) = x$ và $f (f^{- 1} (x)) = x$ không.

Bước 5.2

Tính $f^{- 1} (f (x))$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.1

Lập hàm hợp.

$f^{- 1} (f (x))$

Bước 5.2.2

Tính $f^{- 1} ({1.5}^{x} + 4)$ bằng cách thay giá trị của $f$ vào $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} ({1.5}^{x} + 4) = \frac{\ln (({1.5}^{x} + 4) - 4)}{\ln (1.5)}$

Bước 5.2.3

Kết hợp các số hạng đối nhau trong ${1.5}^{x} + 4 - 4$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.3.1

Trừ $4$ khỏi $4$ .

$f^{- 1} ({1.5}^{x} + 4) = \frac{\ln ({1.5}^{x} + 0)}{\ln (1.5)}$

Bước 5.2.3.2

Cộng ${1.5}^{x}$ và $0$ .

$f^{- 1} ({1.5}^{x} + 4) = \frac{\ln ({1.5}^{x})}{\ln (1.5)}$

Bước 5.2.4

Khai triển $\ln ({1.5}^{x})$ bằng cách di chuyển $x$ ra bên ngoài lôgarit.

$f^{- 1} ({1.5}^{x} + 4) = \frac{x \ln (1.5)}{\ln (1.5)}$

Bước 5.2.5

Triệt tiêu thừa số chung $\ln (1.5)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.5.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$f^{- 1} ({1.5}^{x} + 4) = \frac{x \ln (1.5)}{\ln (1.5)}$

Bước 5.2.5.2

Chia $x$ cho $1$ .

$f^{- 1} ({1.5}^{x} + 4) = x$

Bước 5.3

Tính $f (f^{- 1} (x))$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.1

Lập hàm hợp.

$f (f^{- 1} (x))$

Bước 5.3.2

Tính $f (\frac{\ln (x - 4)}{\ln (1.5)})$ bằng cách thay giá trị của $f^{- 1}$ vào $f$ .

$f (\frac{\ln (x - 4)}{\ln (1.5)}) = {1.5}^{\frac{\ln (x - 4)}{\ln (1.5)}} + 4$

Bước 5.3.3

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.3.1

Sử dụng quy tắc đổi cơ số $\frac{\log_{b} (x)}{\log_{b} (a)} = \log_{a} (x)$ .

$f (\frac{\ln (x - 4)}{\ln (1.5)}) = {1.5}^{\log_{1.5} (x - 4)} + 4$

Bước 5.3.3.2

Lũy thừa và logarit là các hàm nghịch đảo.

$f (\frac{\ln (x - 4)}{\ln (1.5)}) = x - 4 + 4$

Bước 5.3.4

Kết hợp các số hạng đối nhau trong $x - 4 + 4$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.4.1

Cộng $- 4$ và $4$ .

$f (\frac{\ln (x - 4)}{\ln (1.5)}) = x + 0$

Bước 5.3.4.2

Cộng $x$ và $0$ .

$f (\frac{\ln (x - 4)}{\ln (1.5)}) = x$

Bước 5.4

Vì $f^{- 1} (f (x)) = x$ và $f (f^{- 1} (x)) = x$ , nên $f^{- 1} (x) = \frac{\ln (x - 4)}{\ln (1.5)}$ là hàm ngược của $f (x) = {1.5}^{x} + 4$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{\ln (x - 4)}{\ln (1.5)}$