Đại số Ví dụ

$x^{2} + y^{2} - 6 x - 8 y - 11 = 0$

Bước 1

Tìm các hoành độ gốc.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Để tìm (các) hoành độ gốc, thay vào $0$ cho $y$ và giải tìm $x$ .

$x^{2} + {(0)}^{2} - 6 x - 8 \cdot 0 - 11 = 0$

Bước 1.2

Giải phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.1

Rút gọn $x^{2} + {(0)}^{2} - 6 x - 8 \cdot 0 - 11$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.1.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.1.1.1

Nâng $0$ lên bất kỳ số mũ dương nào sẽ cho $0$ .

$x^{2} + 0 - 6 x - 8 \cdot 0 - 11 = 0$

Bước 1.2.1.1.2

Nhân $- 8$ với $0$ .

$x^{2} + 0 - 6 x + 0 - 11 = 0$

Bước 1.2.1.2

Kết hợp các số hạng đối nhau trong $x^{2} + 0 - 6 x + 0 - 11$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.1.2.1

Cộng $x^{2}$ và $0$ .

$x^{2} - 6 x + 0 - 11 = 0$

Bước 1.2.1.2.2

Cộng $x^{2} - 6 x$ và $0$ .

$x^{2} - 6 x - 11 = 0$

Bước 1.2.2

Sử dụng công thức bậc hai để tìm các đáp án.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Bước 1.2.3

Thay các giá trị $a = 1$ , $b = - 6$ , và $c = - 11$ vào công thức bậc hai và giải tìm $x$ .

$\frac{6 \pm \sqrt{{(- 6)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot - 11)}}{2 \cdot 1}$

Bước 1.2.4

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.4.1

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.4.1.1

Nâng $- 6$ lên lũy thừa $2$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 4 \cdot 1 \cdot - 11}}{2 \cdot 1}$

Bước 1.2.4.1.2

Nhân $- 4 \cdot 1 \cdot - 11$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.4.1.2.1

Nhân $- 4$ với $1$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 4 \cdot - 11}}{2 \cdot 1}$

Bước 1.2.4.1.2.2

Nhân $- 4$ với $- 11$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{36 + 44}}{2 \cdot 1}$

Bước 1.2.4.1.3

Cộng $36$ và $44$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{80}}{2 \cdot 1}$

Bước 1.2.4.1.4

Viết lại $80$ ở dạng $4^{2} \cdot 5$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.4.1.4.1

Đưa $16$ ra ngoài $80$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{16 (5)}}{2 \cdot 1}$

Bước 1.2.4.1.4.2

Viết lại $16$ ở dạng $4^{2}$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{4^{2} \cdot 5}}{2 \cdot 1}$

Bước 1.2.4.1.5

Đưa các số hạng dưới căn thức ra ngoài.

$x = \frac{6 \pm 4 \sqrt{5}}{2 \cdot 1}$

Bước 1.2.4.2

Nhân $2$ với $1$ .

$x = \frac{6 \pm 4 \sqrt{5}}{2}$

Bước 1.2.4.3

Rút gọn $\frac{6 \pm 4 \sqrt{5}}{2}$ .

$x = 3 \pm 2 \sqrt{5}$

Bước 1.2.5

Rút gọn biểu thức để giải tìm phần $+$ của $\pm$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.5.1

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.5.1.1

Nâng $- 6$ lên lũy thừa $2$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 4 \cdot 1 \cdot - 11}}{2 \cdot 1}$

Bước 1.2.5.1.2

Nhân $- 4 \cdot 1 \cdot - 11$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.5.1.2.1

Nhân $- 4$ với $1$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 4 \cdot - 11}}{2 \cdot 1}$

Bước 1.2.5.1.2.2

Nhân $- 4$ với $- 11$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{36 + 44}}{2 \cdot 1}$

Bước 1.2.5.1.3

Cộng $36$ và $44$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{80}}{2 \cdot 1}$

Bước 1.2.5.1.4

Viết lại $80$ ở dạng $4^{2} \cdot 5$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.5.1.4.1

Đưa $16$ ra ngoài $80$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{16 (5)}}{2 \cdot 1}$

Bước 1.2.5.1.4.2

Viết lại $16$ ở dạng $4^{2}$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{4^{2} \cdot 5}}{2 \cdot 1}$

Bước 1.2.5.1.5

Đưa các số hạng dưới căn thức ra ngoài.

$x = \frac{6 \pm 4 \sqrt{5}}{2 \cdot 1}$

Bước 1.2.5.2

Nhân $2$ với $1$ .

$x = \frac{6 \pm 4 \sqrt{5}}{2}$

Bước 1.2.5.3

Rút gọn $\frac{6 \pm 4 \sqrt{5}}{2}$ .

$x = 3 \pm 2 \sqrt{5}$

Bước 1.2.5.4

Chuyển đổi $\pm$ thành $+$ .

$x = 3 + 2 \sqrt{5}$

Bước 1.2.6

Rút gọn biểu thức để giải tìm phần $-$ của $\pm$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.6.1

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.6.1.1

Nâng $- 6$ lên lũy thừa $2$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 4 \cdot 1 \cdot - 11}}{2 \cdot 1}$

Bước 1.2.6.1.2

Nhân $- 4 \cdot 1 \cdot - 11$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.6.1.2.1

Nhân $- 4$ với $1$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 4 \cdot - 11}}{2 \cdot 1}$

Bước 1.2.6.1.2.2

Nhân $- 4$ với $- 11$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{36 + 44}}{2 \cdot 1}$

Bước 1.2.6.1.3

Cộng $36$ và $44$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{80}}{2 \cdot 1}$

Bước 1.2.6.1.4

Viết lại $80$ ở dạng $4^{2} \cdot 5$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.6.1.4.1

Đưa $16$ ra ngoài $80$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{16 (5)}}{2 \cdot 1}$

Bước 1.2.6.1.4.2

Viết lại $16$ ở dạng $4^{2}$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{4^{2} \cdot 5}}{2 \cdot 1}$

Bước 1.2.6.1.5

Đưa các số hạng dưới căn thức ra ngoài.

$x = \frac{6 \pm 4 \sqrt{5}}{2 \cdot 1}$

Bước 1.2.6.2

Nhân $2$ với $1$ .

$x = \frac{6 \pm 4 \sqrt{5}}{2}$

Bước 1.2.6.3

Rút gọn $\frac{6 \pm 4 \sqrt{5}}{2}$ .

$x = 3 \pm 2 \sqrt{5}$

Bước 1.2.6.4

Chuyển đổi $\pm$ thành $-$ .

$x = 3 - 2 \sqrt{5}$

Bước 1.2.7

Câu trả lời cuối cùng là sự kết hợp của cả hai đáp án.

$x = 3 + 2 \sqrt{5}, 3 - 2 \sqrt{5}$

Bước 1.3

(các) hoành độ gốc ở dạng điểm.

(các) hoành độ gốc: $(3 + 2 \sqrt{5}, 0), (3 - 2 \sqrt{5}, 0)$

Bước 2

Tìm các tung độ gốc.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Để tìm (các) tung độ gốc, thay vào $0$ cho $x$ và giải tìm $y$ .

${(0)}^{2} + y^{2} - 6 \cdot 0 - 8 y - 11 = 0$

Bước 2.2

Giải phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1

Rút gọn ${(0)}^{2} + y^{2} - 6 \cdot 0 - 8 y - 11$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1.1.1

Nâng $0$ lên bất kỳ số mũ dương nào sẽ cho $0$ .

$0 + y^{2} - 6 \cdot 0 - 8 y - 11 = 0$

Bước 2.2.1.1.2

Nhân $- 6$ với $0$ .

$0 + y^{2} + 0 - 8 y - 11 = 0$

Bước 2.2.1.2

Kết hợp các số hạng đối nhau trong $0 + y^{2} + 0 - 8 y - 11$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1.2.1

Cộng $0$ và $y^{2}$ .

$y^{2} + 0 - 8 y - 11 = 0$

Bước 2.2.1.2.2

Cộng $y^{2}$ và $0$ .

$y^{2} - 8 y - 11 = 0$

Bước 2.2.2

Sử dụng công thức bậc hai để tìm các đáp án.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Bước 2.2.3

Thay các giá trị $a = 1$ , $b = - 8$ , và $c = - 11$ vào công thức bậc hai và giải tìm $y$ .

$\frac{8 \pm \sqrt{{(- 8)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot - 11)}}{2 \cdot 1}$

Bước 2.2.4

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.4.1

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.4.1.1

Nâng $- 8$ lên lũy thừa $2$ .

$y = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 4 \cdot 1 \cdot - 11}}{2 \cdot 1}$

Bước 2.2.4.1.2

Nhân $- 4 \cdot 1 \cdot - 11$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.4.1.2.1

Nhân $- 4$ với $1$ .

$y = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 4 \cdot - 11}}{2 \cdot 1}$

Bước 2.2.4.1.2.2

Nhân $- 4$ với $- 11$ .

$y = \frac{8 \pm \sqrt{64 + 44}}{2 \cdot 1}$

Bước 2.2.4.1.3

Cộng $64$ và $44$ .

$y = \frac{8 \pm \sqrt{108}}{2 \cdot 1}$

Bước 2.2.4.1.4

Viết lại $108$ ở dạng $6^{2} \cdot 3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.4.1.4.1

Đưa $36$ ra ngoài $108$ .

$y = \frac{8 \pm \sqrt{36 (3)}}{2 \cdot 1}$

Bước 2.2.4.1.4.2

Viết lại $36$ ở dạng $6^{2}$ .

$y = \frac{8 \pm \sqrt{6^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Bước 2.2.4.1.5

Đưa các số hạng dưới căn thức ra ngoài.

$y = \frac{8 \pm 6 \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Bước 2.2.4.2

Nhân $2$ với $1$ .

$y = \frac{8 \pm 6 \sqrt{3}}{2}$

Bước 2.2.4.3

Rút gọn $\frac{8 \pm 6 \sqrt{3}}{2}$ .

$y = 4 \pm 3 \sqrt{3}$

Bước 2.2.5

Rút gọn biểu thức để giải tìm phần $+$ của $\pm$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.5.1

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.5.1.1

Nâng $- 8$ lên lũy thừa $2$ .

$y = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 4 \cdot 1 \cdot - 11}}{2 \cdot 1}$

Bước 2.2.5.1.2

Nhân $- 4 \cdot 1 \cdot - 11$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.5.1.2.1

Nhân $- 4$ với $1$ .

$y = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 4 \cdot - 11}}{2 \cdot 1}$

Bước 2.2.5.1.2.2

Nhân $- 4$ với $- 11$ .

$y = \frac{8 \pm \sqrt{64 + 44}}{2 \cdot 1}$

Bước 2.2.5.1.3

Cộng $64$ và $44$ .

$y = \frac{8 \pm \sqrt{108}}{2 \cdot 1}$

Bước 2.2.5.1.4

Viết lại $108$ ở dạng $6^{2} \cdot 3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.5.1.4.1

Đưa $36$ ra ngoài $108$ .

$y = \frac{8 \pm \sqrt{36 (3)}}{2 \cdot 1}$

Bước 2.2.5.1.4.2

Viết lại $36$ ở dạng $6^{2}$ .

$y = \frac{8 \pm \sqrt{6^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Bước 2.2.5.1.5

Đưa các số hạng dưới căn thức ra ngoài.

$y = \frac{8 \pm 6 \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Bước 2.2.5.2

Nhân $2$ với $1$ .

$y = \frac{8 \pm 6 \sqrt{3}}{2}$

Bước 2.2.5.3

Rút gọn $\frac{8 \pm 6 \sqrt{3}}{2}$ .

$y = 4 \pm 3 \sqrt{3}$

Bước 2.2.5.4

Chuyển đổi $\pm$ thành $+$ .

$y = 4 + 3 \sqrt{3}$

Bước 2.2.6

Rút gọn biểu thức để giải tìm phần $-$ của $\pm$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.6.1

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.6.1.1

Nâng $- 8$ lên lũy thừa $2$ .

$y = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 4 \cdot 1 \cdot - 11}}{2 \cdot 1}$

Bước 2.2.6.1.2

Nhân $- 4 \cdot 1 \cdot - 11$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.6.1.2.1

Nhân $- 4$ với $1$ .

$y = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 4 \cdot - 11}}{2 \cdot 1}$

Bước 2.2.6.1.2.2

Nhân $- 4$ với $- 11$ .

$y = \frac{8 \pm \sqrt{64 + 44}}{2 \cdot 1}$

Bước 2.2.6.1.3

Cộng $64$ và $44$ .

$y = \frac{8 \pm \sqrt{108}}{2 \cdot 1}$

Bước 2.2.6.1.4

Viết lại $108$ ở dạng $6^{2} \cdot 3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.6.1.4.1

Đưa $36$ ra ngoài $108$ .

$y = \frac{8 \pm \sqrt{36 (3)}}{2 \cdot 1}$

Bước 2.2.6.1.4.2

Viết lại $36$ ở dạng $6^{2}$ .

$y = \frac{8 \pm \sqrt{6^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Bước 2.2.6.1.5

Đưa các số hạng dưới căn thức ra ngoài.

$y = \frac{8 \pm 6 \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Bước 2.2.6.2

Nhân $2$ với $1$ .

$y = \frac{8 \pm 6 \sqrt{3}}{2}$

Bước 2.2.6.3

Rút gọn $\frac{8 \pm 6 \sqrt{3}}{2}$ .

$y = 4 \pm 3 \sqrt{3}$

Bước 2.2.6.4

Chuyển đổi $\pm$ thành $-$ .

$y = 4 - 3 \sqrt{3}$

Bước 2.2.7

Câu trả lời cuối cùng là sự kết hợp của cả hai đáp án.

$y = 4 + 3 \sqrt{3}, 4 - 3 \sqrt{3}$

Bước 2.3

(các) tung độ gốc ở dạng điểm.

(các) tung độ gốc: $(0, 4 + 3 \sqrt{3}), (0, 4 - 3 \sqrt{3})$

Bước 3

Liệt kê các phần giao.

(các) hoành độ gốc: $(3 + 2 \sqrt{5}, 0), (3 - 2 \sqrt{5}, 0)$

(các) tung độ gốc: $(0, 4 + 3 \sqrt{3}), (0, 4 - 3 \sqrt{3})$

Bước 4