Đại số Ví dụ

$f (x) = \frac{x + 1}{x - 1}$

Bước 1

Viết $f (x) = \frac{x + 1}{x - 1}$ ở dạng một phương trình.

$y = \frac{x + 1}{x - 1}$

Bước 2

Hoán đổi vị trí các biến.

$x = \frac{y + 1}{y - 1}$

Bước 3

Giải tìm $y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Nhân phương trình với $y - 1$ .

$(y - 1) (x) = (\frac{y + 1}{y - 1}) (y - 1)$

Bước 3.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.1

Rút gọn $(y - 1) (x)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.1.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$y x - 1 x = (\frac{y + 1}{y - 1}) (y - 1)$

Bước 3.2.1.2

Viết lại $- 1 x$ ở dạng $- x$ .

$y x - x = (\frac{y + 1}{y - 1}) (y - 1)$

Bước 3.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.1

Triệt tiêu thừa số chung $y - 1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$y x - x = \frac{y + 1}{y - 1} (y - 1)$

Bước 3.3.1.2

Viết lại biểu thức.

$y x - x = y + 1$

Bước 3.4

Giải tìm $y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.1

Trừ $y$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$y x - x - y = 1$

Bước 3.4.2

Cộng $x$ cho cả hai vế của phương trình.

$y x - y = 1 + x$

Bước 3.4.3

Đưa $y$ ra ngoài $y x - y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.3.1

Đưa $y$ ra ngoài $y x$ .

$y (x) - y = 1 + x$

Bước 3.4.3.2

Đưa $y$ ra ngoài $- y$ .

$y (x) + y \cdot - 1 = 1 + x$

Bước 3.4.3.3

Đưa $y$ ra ngoài $y (x) + y \cdot - 1$ .

$y (x - 1) = 1 + x$

Bước 3.4.4

Chia mỗi số hạng trong $y (x - 1) = 1 + x$ cho $x - 1$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.4.1

Chia mỗi số hạng trong $y (x - 1) = 1 + x$ cho $x - 1$ .

$\frac{y (x - 1)}{x - 1} = \frac{1}{x - 1} + \frac{x}{x - 1}$

Bước 3.4.4.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.4.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $x - 1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.4.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{y (x - 1)}{x - 1} = \frac{1}{x - 1} + \frac{x}{x - 1}$

Bước 3.4.4.2.1.2

Chia $y$ cho $1$ .

$y = \frac{1}{x - 1} + \frac{x}{x - 1}$

Bước 3.4.4.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.4.3.1

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$y = \frac{1 + x}{x - 1}$

Bước 4

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = \frac{1 + x}{x - 1}$

Bước 5

Kiểm tra xem $f^{- 1} (x) = \frac{1 + x}{x - 1}$ có là hàm ngược của $f (x) = \frac{x + 1}{x - 1}$ không.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Để kiểm tra có phải là hàm ngược không, ta kiểm tra xem $f^{- 1} (f (x)) = x$ và $f (f^{- 1} (x)) = x$ không.

Bước 5.2

Tính $f^{- 1} (f (x))$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.1

Lập hàm hợp.

$f^{- 1} (f (x))$

Bước 5.2.2

Tính $f^{- 1} (\frac{x + 1}{x - 1})$ bằng cách thay giá trị của $f$ vào $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\frac{x + 1}{x - 1}) = \frac{1 + \frac{x + 1}{x - 1}}{(\frac{x + 1}{x - 1}) - 1}$

Bước 5.2.3

Loại bỏ các dấu ngoặc đơn.

$f^{- 1} (\frac{x + 1}{x - 1}) = \frac{1 + \frac{x + 1}{x - 1}}{(\frac{x + 1}{x - 1}) - 1}$

Bước 5.2.4

Multiply the numerator and denominator of the fraction by $x - 1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.4.1

Nhân $\frac{1 + \frac{x + 1}{x - 1}}{\frac{x + 1}{x - 1} - 1}$ với $\frac{x - 1}{x - 1}$ .

$f^{- 1} (\frac{x + 1}{x - 1}) = \frac{x - 1}{x - 1} \cdot \frac{1 + \frac{x + 1}{x - 1}}{\frac{x + 1}{x - 1} - 1}$

Bước 5.2.4.2

Kết hợp.

$f^{- 1} (\frac{x + 1}{x - 1}) = \frac{(x - 1) (1 + \frac{x + 1}{x - 1})}{(x - 1) (\frac{x + 1}{x - 1} - 1)}$

Bước 5.2.5

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$f^{- 1} (\frac{x + 1}{x - 1}) = \frac{(x - 1) \cdot 1 + (x - 1) (\frac{x + 1}{x - 1})}{(x - 1) (\frac{x + 1}{x - 1}) + (x - 1) \cdot - 1}$

Bước 5.2.6

Rút gọn bằng cách triệt tiêu.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.6.1

Triệt tiêu thừa số chung $x - 1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.6.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$f^{- 1} (\frac{x + 1}{x - 1}) = \frac{(x - 1) \cdot 1 + (x - 1) (\frac{x + 1}{x - 1})}{(x - 1) (\frac{x + 1}{x - 1}) + (x - 1) \cdot - 1}$

Bước 5.2.6.1.2

Viết lại biểu thức.

$f^{- 1} (\frac{x + 1}{x - 1}) = \frac{(x - 1) \cdot 1 + x + 1}{(x - 1) (\frac{x + 1}{x - 1}) + (x - 1) \cdot - 1}$

Bước 5.2.6.2

Triệt tiêu thừa số chung $x - 1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.6.2.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$f^{- 1} (\frac{x + 1}{x - 1}) = \frac{(x - 1) \cdot 1 + x + 1}{(x - 1) (\frac{x + 1}{x - 1}) + (x - 1) \cdot - 1}$

Bước 5.2.6.2.2

Viết lại biểu thức.

$f^{- 1} (\frac{x + 1}{x - 1}) = \frac{(x - 1) \cdot 1 + x + 1}{x + 1 + (x - 1) \cdot - 1}$

Bước 5.2.7

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.7.1

Nhân $x - 1$ với $1$ .

$f^{- 1} (\frac{x + 1}{x - 1}) = \frac{x - 1 + x + 1}{x + 1 + (x - 1) \cdot - 1}$

Bước 5.2.7.2

Cộng $x$ và $x$ .

$f^{- 1} (\frac{x + 1}{x - 1}) = \frac{2 x - 1 + 1}{x + 1 + (x - 1) \cdot - 1}$

Bước 5.2.7.3

Cộng $- 1$ và $1$ .

$f^{- 1} (\frac{x + 1}{x - 1}) = \frac{2 x + 0}{x + 1 + (x - 1) \cdot - 1}$

Bước 5.2.7.4

Cộng $2 x$ và $0$ .

$f^{- 1} (\frac{x + 1}{x - 1}) = \frac{2 x}{x + 1 + (x - 1) \cdot - 1}$

Bước 5.2.8

Rút gọn mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.8.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$f^{- 1} (\frac{x + 1}{x - 1}) = \frac{2 x}{x + 1 + x \cdot - 1 - 1 \cdot - 1}$

Bước 5.2.8.2

Di chuyển $- 1$ sang phía bên trái của $x$ .

$f^{- 1} (\frac{x + 1}{x - 1}) = \frac{2 x}{x + 1 - 1 \cdot x - 1 \cdot - 1}$

Bước 5.2.8.3

Nhân $- 1$ với $- 1$ .

$f^{- 1} (\frac{x + 1}{x - 1}) = \frac{2 x}{x + 1 - 1 \cdot x + 1}$

Bước 5.2.8.4

Viết lại $- 1 x$ ở dạng $- x$ .

$f^{- 1} (\frac{x + 1}{x - 1}) = \frac{2 x}{x + 1 - x + 1}$

Bước 5.2.8.5

Trừ $x$ khỏi $x$ .

$f^{- 1} (\frac{x + 1}{x - 1}) = \frac{2 x}{0 + 1 + 1}$

Bước 5.2.8.6

Cộng $0$ và $1$ .

$f^{- 1} (\frac{x + 1}{x - 1}) = \frac{2 x}{1 + 1}$

Bước 5.2.8.7

Cộng $1$ và $1$ .

$f^{- 1} (\frac{x + 1}{x - 1}) = \frac{2 x}{2}$

Bước 5.2.9

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.9.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$f^{- 1} (\frac{x + 1}{x - 1}) = \frac{2 x}{2}$

Bước 5.2.9.2

Chia $x$ cho $1$ .

$f^{- 1} (\frac{x + 1}{x - 1}) = x$

Bước 5.3

Tính $f (f^{- 1} (x))$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.1

Lập hàm hợp.

$f (f^{- 1} (x))$

Bước 5.3.2

Tính $f (\frac{1 + x}{x - 1})$ bằng cách thay giá trị của $f^{- 1}$ vào $f$ .

$f (\frac{1 + x}{x - 1}) = \frac{(\frac{1 + x}{x - 1}) + 1}{(\frac{1 + x}{x - 1}) - 1}$

Bước 5.3.3

Multiply the numerator and denominator of the fraction by $x - 1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.3.1

Nhân $\frac{\frac{1 + x}{x - 1} + 1}{\frac{1 + x}{x - 1} - 1}$ với $\frac{x - 1}{x - 1}$ .

$f (\frac{1 + x}{x - 1}) = \frac{x - 1}{x - 1} \cdot \frac{\frac{1 + x}{x - 1} + 1}{\frac{1 + x}{x - 1} - 1}$

Bước 5.3.3.2

Kết hợp.

$f (\frac{1 + x}{x - 1}) = \frac{(x - 1) (\frac{1 + x}{x - 1} + 1)}{(x - 1) (\frac{1 + x}{x - 1} - 1)}$

Bước 5.3.4

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$f (\frac{1 + x}{x - 1}) = \frac{(x - 1) (\frac{1 + x}{x - 1}) + (x - 1) \cdot 1}{(x - 1) (\frac{1 + x}{x - 1}) + (x - 1) \cdot - 1}$

Bước 5.3.5

Rút gọn bằng cách triệt tiêu.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.5.1

Triệt tiêu thừa số chung $x - 1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.5.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$f (\frac{1 + x}{x - 1}) = \frac{(x - 1) (\frac{1 + x}{x - 1}) + (x - 1) \cdot 1}{(x - 1) (\frac{1 + x}{x - 1}) + (x - 1) \cdot - 1}$

Bước 5.3.5.1.2

Viết lại biểu thức.

$f (\frac{1 + x}{x - 1}) = \frac{1 + x + (x - 1) \cdot 1}{(x - 1) (\frac{1 + x}{x - 1}) + (x - 1) \cdot - 1}$

Bước 5.3.5.2

Triệt tiêu thừa số chung $x - 1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.5.2.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$f (\frac{1 + x}{x - 1}) = \frac{1 + x + (x - 1) \cdot 1}{(x - 1) (\frac{1 + x}{x - 1}) + (x - 1) \cdot - 1}$

Bước 5.3.5.2.2

Viết lại biểu thức.

$f (\frac{1 + x}{x - 1}) = \frac{1 + x + (x - 1) \cdot 1}{1 + x + (x - 1) \cdot - 1}$

Bước 5.3.6

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.6.1

Nhân $x - 1$ với $1$ .

$f (\frac{1 + x}{x - 1}) = \frac{1 + x + x - 1}{1 + x + (x - 1) \cdot - 1}$

Bước 5.3.6.2

Trừ $1$ khỏi $1$ .

$f (\frac{1 + x}{x - 1}) = \frac{x + x + 0}{1 + x + (x - 1) \cdot - 1}$

Bước 5.3.6.3

Cộng $x + x$ và $0$ .

$f (\frac{1 + x}{x - 1}) = \frac{x + x}{1 + x + (x - 1) \cdot - 1}$

Bước 5.3.6.4

Cộng $x$ và $x$ .

$f (\frac{1 + x}{x - 1}) = \frac{2 x}{1 + x + (x - 1) \cdot - 1}$

Bước 5.3.7

Rút gọn mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.7.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$f (\frac{1 + x}{x - 1}) = \frac{2 x}{1 + x + x \cdot - 1 - 1 \cdot - 1}$

Bước 5.3.7.2

Di chuyển $- 1$ sang phía bên trái của $x$ .

$f (\frac{1 + x}{x - 1}) = \frac{2 x}{1 + x - 1 \cdot x - 1 \cdot - 1}$

Bước 5.3.7.3

Nhân $- 1$ với $- 1$ .

$f (\frac{1 + x}{x - 1}) = \frac{2 x}{1 + x - 1 \cdot x + 1}$

Bước 5.3.7.4

Viết lại $- 1 x$ ở dạng $- x$ .

$f (\frac{1 + x}{x - 1}) = \frac{2 x}{1 + x - x + 1}$

Bước 5.3.7.5

Cộng $1$ và $1$ .

$f (\frac{1 + x}{x - 1}) = \frac{2 x}{x - x + 2}$

Bước 5.3.7.6

Trừ $x$ khỏi $x$ .

$f (\frac{1 + x}{x - 1}) = \frac{2 x}{0 + 2}$

Bước 5.3.7.7

Cộng $0$ và $2$ .

$f (\frac{1 + x}{x - 1}) = \frac{2 x}{2}$

Bước 5.3.8

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.8.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$f (\frac{1 + x}{x - 1}) = \frac{2 x}{2}$

Bước 5.3.8.2

Chia $x$ cho $1$ .

$f (\frac{1 + x}{x - 1}) = x$

Bước 5.4

Vì $f^{- 1} (f (x)) = x$ và $f (f^{- 1} (x)) = x$ , nên $f^{- 1} (x) = \frac{1 + x}{x - 1}$ là hàm ngược của $f (x) = \frac{x + 1}{x - 1}$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{1 + x}{x - 1}$