Đại số Ví dụ

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của ${\displaystyle -1+6\cos (\frac{2\pi }{7}\cdot (x-5))}$ đối với ${\displaystyle x}$ là ${\displaystyle \frac{d}{dx}[-1]+\frac{d}{dx}\left[6\cos (\frac{2\pi }{7}\cdot (x-5))\right]}$.

Vì ${\displaystyle -1}$ là hằng số đối với ${\displaystyle x}$, đạo hàm của ${\displaystyle -1}$ đối với ${\displaystyle x}$ là ${\displaystyle 0}$.

Vì ${\displaystyle 6}$ không đổi đối với ${\displaystyle x}$, nên đạo hàm của ${\displaystyle 6\cos \left(\frac{2\pi }{7}(x-5)\right)}$ đối với ${\displaystyle x}$ là ${\displaystyle 6\frac{d}{dx}\left[\cos \left(\frac{2\pi }{7}(x-5)\right)\right]}$.

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng ${\displaystyle \frac{d}{dx}\left[f\left(g\left(x\right)\right)\right]}$ là ${\displaystyle f\prime \left(g\left(x\right)\right)g\prime \left(x\right)}$ trong đó ${\displaystyle f\left(x\right)=\cos \left(x\right)}$ và ${\displaystyle g\left(x\right)=\frac{2\pi }{7}(x-5)}$.

Vì ${\displaystyle \frac{2\pi }{7}}$ không đổi đối với ${\displaystyle x}$, nên đạo hàm của ${\displaystyle \frac{2\pi }{7}(x-5)}$ đối với ${\displaystyle x}$ là ${\displaystyle \frac{2\pi }{7}\frac{d}{dx}[x-5]}$.

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của ${\displaystyle x-5}$ đối với ${\displaystyle x}$ là ${\displaystyle \frac{d}{dx}\left[x\right]+\frac{d}{dx}[-5]}$.

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng ${\displaystyle \frac{d}{dx}\left[x^n\right]}$ là ${\displaystyle n{x}^{n-1}}$ trong đó ${\displaystyle n=1}$.

Vì ${\displaystyle -5}$ là hằng số đối với ${\displaystyle x}$, đạo hàm của ${\displaystyle -5}$ đối với ${\displaystyle x}$ là ${\displaystyle 0}$.

Cộng ${\displaystyle 1}$ và ${\displaystyle 0}$.

Nhân ${\displaystyle \frac{2\pi }{7}}$ với ${\displaystyle 1}$.

Kết hợp ${\displaystyle \frac{2\pi }{7}}$ và ${\displaystyle \sin \left(\frac{2\pi }{7}(x-5)\right)}$.

Nhân ${\displaystyle -1}$ với ${\displaystyle 6}$.

Kết hợp ${\displaystyle -6}$ và ${\displaystyle \frac{2\pi \sin \left(\frac{2\pi }{7}(x-5)\right)}{7}}$.

Nhân ${\displaystyle 2}$ với ${\displaystyle -6}$.

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

Áp dụng thuộc tính phân phối.

Kết hợp các số hạng.

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập ${\displaystyle u}$ ở dạng ${\displaystyle \frac{2\pi x}{7}-\frac{10\pi }{7}}$.

Đạo hàm của ${\displaystyle \sin \left(u\right)}$ đối với ${\displaystyle u}$ là ${\displaystyle \cos \left(u\right)}$.

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của ${\displaystyle u}$ với ${\displaystyle \frac{2\pi x}{7}-\frac{10\pi }{7}}$.

Kết hợp ${\displaystyle \cos (\frac{2\pi x}{7}-\frac{10\pi }{7})}$ và ${\displaystyle \frac{12\pi }{7}}$.

Di chuyển ${\displaystyle 12}$ sang phía bên trái của ${\displaystyle \cos (\frac{2\pi x}{7}-\frac{10\pi }{7})}$.

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của ${\displaystyle \frac{2\pi x}{7}-\frac{10\pi }{7}}$ đối với ${\displaystyle x}$ là ${\displaystyle \frac{d}{dx}\left[\frac{2\pi x}{7}\right]+\frac{d}{dx}[-\frac{10\pi }{7}]}$.

Vì ${\displaystyle \frac{2\pi }{7}}$ không đổi đối với ${\displaystyle x}$, nên đạo hàm của ${\displaystyle \frac{2\pi x}{7}}$ đối với ${\displaystyle x}$ là ${\displaystyle \frac{2\pi }{7}\frac{d}{dx}\left[x\right]}$.

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng ${\displaystyle \frac{d}{dx}\left[x^n\right]}$ là ${\displaystyle n{x}^{n-1}}$ trong đó ${\displaystyle n=1}$.

Nhân ${\displaystyle \frac{2\pi }{7}}$ với ${\displaystyle 1}$.

Vì ${\displaystyle -\frac{10\pi }{7}}$ là hằng số đối với ${\displaystyle x}$, đạo hàm của ${\displaystyle -\frac{10\pi }{7}}$ đối với ${\displaystyle x}$ là ${\displaystyle 0}$.

Kết hợp các phân số.

Chia mỗi số hạng trong ${\displaystyle 12\pi \sin (\frac{2\pi x}{7}-\frac{10\pi }{7})=0}$ cho ${\displaystyle 12\pi }$.

Rút gọn vế trái.

Rút gọn vế phải.

Giá trị chính xác của ${\displaystyle \arcsin \left(0\right)}$ là ${\displaystyle 0}$.

Chia mỗi số hạng trong ${\displaystyle 2\pi x=10\pi }$ cho ${\displaystyle 2\pi }$.

Rút gọn vế trái.

Rút gọn vế phải.

Trừ ${\displaystyle 0}$ khỏi ${\displaystyle \pi }$.

Di chuyển tất cả các số hạng không chứa ${\displaystyle x}$ sang vế phải của phương trình.

Vì biểu thức trên mỗi vế của phương trình có mẫu số giống nhau, nên tử số phải bằng nhau.

Chia mỗi số hạng trong ${\displaystyle 2\pi x=17\pi }$ cho ${\displaystyle 2\pi }$ và rút gọn.

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

Trừ ${\displaystyle 10\pi }$ khỏi ${\displaystyle 10\pi }$.

Chia ${\displaystyle 0}$ cho ${\displaystyle 7}$.

Giá trị chính xác của ${\displaystyle \cos \left(0\right)}$ là ${\displaystyle 1}$.

Nhân ${\displaystyle 24}$ với ${\displaystyle 1}$.

Rút gọn mỗi số hạng.

Cộng ${\displaystyle -1}$ và ${\displaystyle 6}$.

Câu trả lời cuối cùng là ${\displaystyle 5}$.

Kết hợp ${\displaystyle \frac{17}{2}}$ và ${\displaystyle 2}$.

Kết hợp ${\displaystyle \frac{17\cdot 2}{2}}$ và ${\displaystyle \pi }$.

Rút gọn biểu thức ${\displaystyle \frac{34\pi }{2}}$ bằng cách triệt tiêu các thừa số chung.

Chia ${\displaystyle 17\pi }$ cho ${\displaystyle 1}$.

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

Trừ ${\displaystyle 10\pi }$ khỏi ${\displaystyle 17\pi }$.

Triệt tiêu thừa số chung ${\displaystyle 7}$.

Áp dụng góc tham chiếu bằng cách tìm góc có các giá trị lượng giác tương đương trong góc phần tư thứ nhất. Làm cho biểu thức âm vì cosin âm trong góc phần tư thứ hai.

Giá trị chính xác của ${\displaystyle \cos \left(0\right)}$ là ${\displaystyle 1}$.

Nhân ${\displaystyle -1}$ với ${\displaystyle 1}$.

Nhân ${\displaystyle -1}$ với ${\displaystyle 24}$.

Nhân ${\displaystyle -1}$ với ${\displaystyle -1}$.

Nhân ${\displaystyle \frac{24{\pi }^2}{49}}$ với ${\displaystyle 1}$.

Rút gọn mỗi số hạng.