Đại số Ví dụ

$\frac{x^{2}}{4} - y^{2} = 1$

Bước 1

Rút gọn từng số hạng trong phương trình để đặt vế phải bằng

$1$ . Dạng chính tắc của hình elip hoặc hyperbol yêu cầu phía vế phải của phương trình bằng

$1$ .

$\frac{x^{2}}{4} - \frac{y^{2}}{1} = 1$

Bước 2

Đây là dạng của một hyperbol. Sử dụng dạng này để xác định các giá trị được sử dụng để tìm các đỉnh và các tiệm cận của hyperbol.

$\frac{{(x - h)}^{2}}{a^{2}} - \frac{{(y - k)}^{2}}{b^{2}} = 1$

Bước 3

Tương ứng các giá trị trong hyperbol này với dạng chính tắc. Biến

$h$ là khoảng cách theo trục x tính từ gốc tọa độ,

$k$ là khoảng cách theo trục y tính từ gốc tọa độ,

$a$ .

$a = 2$

$b = 1$

$k = 0$

$h = 0$

Bước 4

Tâm của một hyperbol có dạng

$(h, k)$ . Thay vào các giá trị của

$h$ và

$k$ .

$(0, 0)$

Bước 5

Tìm

$c$ , khoảng cách từ tâm đến tiêu điểm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Tìm khoảng cách từ tâm đến tiêu điểm của đường hyperbol bằng công thức sau.

$\sqrt{a^{2} + b^{2}}$

Bước 5.2

Thay các giá trị của

$a$ và

$b$ vào công thức.

$\sqrt{{(2)}^{2} + {(1)}^{2}}$

Bước 5.3

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.1

Nâng

$2$ lên lũy thừa

$2$ .

$\sqrt{4 + {(1)}^{2}}$

Bước 5.3.2

Một mũ bất kỳ số nào là một.

$\sqrt{4 + 1}$

Bước 5.3.3

Cộng

$4$ và

$1$ .

$\sqrt{5}$

Bước 6

Tìm các đỉnh.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Có thể tìm đỉnh đầu tiên của một hyperbol bằng cách cộng

$a$ vào

$h$ .

$(h + a, k)$

Bước 6.2

Thay các giá trị đã biết của

$h$ ,

$a$ , và

$k$ vào công thức và rút gọn.

$(2, 0)$

Bước 6.3

Có thể tìm đỉnh thứ hai của một hyperbol bằng cách trừ

$a$ từ

$h$ .

$(h - a, k)$

Bước 6.4

Thay các giá trị đã biết của

$h$ ,

$a$ , và

$k$ vào công thức và rút gọn.

$(- 2, 0)$

Bước 6.5

Các đỉnh của một hyperbol có dạng

$(h \pm a, k)$ . Hyperbol có hai đỉnh.

$(2, 0), (- 2, 0)$

Bước 7

Tìm tiêu điểm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1

Có thể tìm tiêu điểm đầu tiên của một hyperbol bằng cách cộng

$c$ vào

$h$ .

$(h + c, k)$

Bước 7.2

Thay các giá trị đã biết của

$h$ ,

$c$ , và

$k$ vào công thức và rút gọn.

$(\sqrt{5}, 0)$

Bước 7.3

Có thể tìm tiêu điểm thứ hai của một hyperbol bằng cách trừ

$c$ từ

$h$ .

$(h - c, k)$

Bước 7.4

Thay các giá trị đã biết của

$h$ ,

$c$ , và

$k$ vào công thức và rút gọn.

$(- \sqrt{5}, 0)$

Bước 7.5

Tiêu điểm của một hyperbol có dạng

$(h \pm \sqrt{a^{2} + b^{2}}, k)$ . Hyperbol có hai tiêu điểm.

$(\sqrt{5}, 0), (- \sqrt{5}, 0)$

Bước 8

Tìm tâm sai.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.1

Tìm tâm sai bằng công thức sau.

$\frac{\sqrt{a^{2} + b^{2}}}{a}$

Bước 8.2

Thay giá trị của

$a$ và

$b$ vào công thức.

$\frac{\sqrt{{(2)}^{2} + {(1)}^{2}}}{2}$

Bước 8.3

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.3.1

Nâng

$2$ lên lũy thừa

$2$ .

$\frac{\sqrt{4 + 1^{2}}}{2}$

Bước 8.3.2

Một mũ bất kỳ số nào là một.

$\frac{\sqrt{4 + 1}}{2}$

Bước 8.3.3

Cộng

$4$ và

$1$ .

$\frac{\sqrt{5}}{2}$

Bước 9

Tìm tham số tiêu.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.1

Tìm giá trị của thông số tiêu cự hyperbol bằng cách sử dụng công thức sau.

$\frac{b^{2}}{\sqrt{a^{2} + b^{2}}}$

Bước 9.2

Thay các giá trị của

$b$ và

$\sqrt{a^{2} + b^{2}}$ vào công thức.

$\frac{1^{2}}{\sqrt{5}}$

Bước 9.3

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.3.1

Một mũ bất kỳ số nào là một.

$\frac{1}{\sqrt{5}}$

Bước 9.3.2

Nhân

$\frac{1}{\sqrt{5}}$ với

$\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$ .

$\frac{1}{\sqrt{5}} \cdot \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$

Bước 9.3.3

Kết hợp và rút gọn mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.3.3.1

Nhân

$\frac{1}{\sqrt{5}}$ với

$\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$ .

$\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5} \sqrt{5}}$

Bước 9.3.3.2

Nâng

$\sqrt{5}$ lên lũy thừa

$1$ .

$\frac{\sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{1} \sqrt{5}}$

Bước 9.3.3.3

Nâng

$\sqrt{5}$ lên lũy thừa

$1$ .

$\frac{\sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{1} {\sqrt{5}}^{1}}$

Bước 9.3.3.4

Sử dụng quy tắc lũy thừa

$a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\frac{\sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{1 + 1}}$

Bước 9.3.3.5

Cộng

$1$ và

$1$ .

$\frac{\sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{2}}$

Bước 9.3.3.6

Viết lại

${\sqrt{5}}^{2}$ ở dạng

$5$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.3.3.6.1

Sử dụng

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại

$\sqrt{5}$ ở dạng

$5^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{\sqrt{5}}{{(5^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Bước 9.3.3.6.2

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau,

${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{\sqrt{5}}{5^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Bước 9.3.3.6.3

Kết hợp

$\frac{1}{2}$ và

$2$ .

$\frac{\sqrt{5}}{5^{\frac{2}{2}}}$

Bước 9.3.3.6.4

Triệt tiêu thừa số chung

$2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.3.3.6.4.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{\sqrt{5}}{5^{\frac{2}{2}}}$

Bước 9.3.3.6.4.2

Viết lại biểu thức.

$\frac{\sqrt{5}}{5^{1}}$

Bước 9.3.3.6.5

Tính số mũ.

$\frac{\sqrt{5}}{5}$

Bước 10

Các tiệm cận có dạng

$y = \pm \frac{b (x - h)}{a} + k$ vì hyperbol này quay mặt lõm sang trái và sang phải.

$y = \pm \frac{1}{2} x + 0$

Bước 11

Rút gọn

$\frac{1}{2} x + 0$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.1

Cộng

$\frac{1}{2} x$ và

$0$ .

$y = \frac{1}{2} x$

Bước 11.2

Kết hợp

$\frac{1}{2}$ và

$x$ .

$y = \frac{x}{2}$

Bước 12

Rút gọn

$- \frac{1}{2} x + 0$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.1

Cộng

$- \frac{1}{2} x$ và

$0$ .

$y = - \frac{1}{2} x$

Bước 12.2

Kết hợp

$x$ và

$\frac{1}{2}$ .

$y = - \frac{x}{2}$

Bước 13

Hyperbol này có hai tiệm cận.

$y = \frac{x}{2}, y = - \frac{x}{2}$

Bước 14

Những giá trị này đại diện cho các giá trị quan trọng cho việc vẽ đồ thị và phân tích một hyperbol.

Tâm:

$(0, 0)$

Các đỉnh:

$(2, 0), (- 2, 0)$

Tiêu điểm:

$(\sqrt{5}, 0), (- \sqrt{5}, 0)$

Tâm sai:

$\frac{\sqrt{5}}{2}$

Tham số tiêu:

$\frac{\sqrt{5}}{5}$

Các đường tiệm cận:

$y = \frac{x}{2}$ ,

$y = - \frac{x}{2}$

Bước 15