Đại số Ví dụ

$f (x) = e^{x}$

Bước 1

Viết $f (x) = e^{x}$ ở dạng một phương trình.

$y = e^{x}$

Bước 2

Hoán đổi vị trí các biến.

$x = e^{y}$

Bước 3

Giải tìm $y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Viết lại phương trình ở dạng $e^{y} = x$ .

$e^{y} = x$

Bước 3.2

Lấy logarit tự nhiên của cả hai vế của phương trình để loại bỏ biến khỏi số mũ.

$\ln (e^{y}) = \ln (x)$

Bước 3.3

Khai triển vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.1

Khai triển $\ln (e^{y})$ bằng cách di chuyển $y$ ra bên ngoài lôgarit.

$y \ln (e) = \ln (x)$

Bước 3.3.2

Logarit tự nhiên của $e$ là $1$ .

$y \cdot 1 = \ln (x)$

Bước 3.3.3

Nhân $y$ với $1$ .

$y = \ln (x)$

Bước 4

Thay thế $y$ bằng $f^{- 1} (x)$ để cho thấy đáp án cuối cùng.

$f^{- 1} (x) = \ln (x)$

Bước 5

Kiểm tra xem $f^{- 1} (x) = \ln (x)$ có là hàm ngược của $f (x) = e^{x}$ không.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Để kiểm tra có phải là hàm ngược không, ta kiểm tra xem $f^{- 1} (f (x)) = x$ và $f (f^{- 1} (x)) = x$ không.

Bước 5.2

Tính $f^{- 1} (f (x))$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.1

Lập hàm hợp.

$f^{- 1} (f (x))$

Bước 5.2.2

Tính $f^{- 1} (e^{x})$ bằng cách thay giá trị của $f$ vào $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (e^{x}) = \ln (e^{x})$

Bước 5.2.3

Sử dụng các quy tắc logarit để di chuyển $x$ ra khỏi số mũ.

$f^{- 1} (e^{x}) = x \ln (e)$

Bước 5.2.4

Logarit tự nhiên của $e$ là $1$ .

$f^{- 1} (e^{x}) = x \cdot 1$

Bước 5.2.5

Nhân $x$ với $1$ .

$f^{- 1} (e^{x}) = x$

Bước 5.3

Tính $f (f^{- 1} (x))$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.1

Lập hàm hợp.

$f (f^{- 1} (x))$

Bước 5.3.2

Tính $f (\ln (x))$ bằng cách thay giá trị của $f^{- 1}$ vào $f$ .

$f (\ln (x)) = e^{\ln (x)}$

Bước 5.3.3

Lũy thừa và logarit là các hàm nghịch đảo.

$f (\ln (x)) = x$

Bước 5.4

Vì $f^{- 1} (f (x)) = x$ và $f (f^{- 1} (x)) = x$ , nên $f^{- 1} (x) = \ln (x)$ là hàm ngược của $f (x) = e^{x}$ .

$f^{- 1} (x) = \ln (x)$