Đại số Ví dụ

$f (x) = \ln (x)$

Bước 1

Viết

$f (x) = \ln (x)$ ở dạng một phương trình.

$y = \ln (x)$

Bước 2

Hoán đổi vị trí các biến.

$x = \ln (y)$

Bước 3

Giải tìm

$y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Viết lại phương trình ở dạng

$\ln (y) = x$ .

$\ln (y) = x$

Bước 3.2

Để giải tìm

$y$ , hãy viết lại phương trình bằng các tính chất của logarit.

$e^{\ln (y)} = e^{x}$

Bước 3.3

Viết lại

$\ln (y) = x$ dưới dạng mũ bằng cách dùng định nghĩa của logarit. Nếu

$x$ và

$b$ là các số thực dương và

$b \neq 1$ , thì

$\log_{b} (x) = y$ sẽ tương đương với

$b^{y} = x$ .

$e^{x} = y$

Bước 3.4

Viết lại phương trình ở dạng

$y = e^{x}$ .

$y = e^{x}$

Bước 4

Thay thế

$y$ bằng

$f^{- 1} (x)$ để cho thấy đáp án cuối cùng.

$f^{- 1} (x) = e^{x}$

Bước 5

Kiểm tra xem

$f^{- 1} (x) = e^{x}$ có là hàm ngược của

$f (x) = \ln (x)$ không.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Để kiểm tra có phải là hàm ngược không, ta kiểm tra xem

$f^{- 1} (f (x)) = x$ và

$f (f^{- 1} (x)) = x$ không.

Bước 5.2

Tính

$f^{- 1} (f (x))$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.1

Lập hàm hợp.

$f^{- 1} (f (x))$

Bước 5.2.2

Tính

$f^{- 1} (\ln (x))$ bằng cách thay giá trị của

$f$ vào

$f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\ln (x)) = e^{\ln (x)}$

Bước 5.2.3

Lũy thừa và logarit là các hàm nghịch đảo.

$f^{- 1} (\ln (x)) = x$

Bước 5.3

Tính

$f (f^{- 1} (x))$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.1

Lập hàm hợp.

$f (f^{- 1} (x))$

Bước 5.3.2

Tính

$f (e^{x})$ bằng cách thay giá trị của

$f^{- 1}$ vào

$f$ .

$f (e^{x}) = \ln (e^{x})$

Bước 5.3.3

Sử dụng các quy tắc logarit để di chuyển

$x$ ra khỏi số mũ.

$f (e^{x}) = x \ln (e)$

Bước 5.3.4

Logarit tự nhiên của

$e$ là

$1$ .

$f (e^{x}) = x \cdot 1$

Bước 5.3.5

Nhân

$x$ với

$1$ .

$f (e^{x}) = x$

Bước 5.4

Vì

$f^{- 1} (f (x)) = x$ và

$f (f^{- 1} (x)) = x$ , nên

$f^{- 1} (x) = e^{x}$ là hàm ngược của

$f (x) = \ln (x)$ .

$f^{- 1} (x) = e^{x}$