Đại số Ví dụ

$f (x) = 2^{x}$

Bước 1

Viết $f (x) = 2^{x}$ ở dạng một phương trình.

$y = 2^{x}$

Bước 2

Hoán đổi vị trí các biến.

$x = 2^{y}$

Bước 3

Giải tìm $y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Viết lại phương trình ở dạng $2^{y} = x$ .

$2^{y} = x$

Bước 3.2

Lấy logarit tự nhiên của cả hai vế của phương trình để loại bỏ biến khỏi số mũ.

$\ln (2^{y}) = \ln (x)$

Bước 3.3

Khai triển $\ln (2^{y})$ bằng cách di chuyển $y$ ra bên ngoài lôgarit.

$y \ln (2) = \ln (x)$

Bước 3.4

Chia mỗi số hạng trong $y \ln (2) = \ln (x)$ cho $\ln (2)$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.1

Chia mỗi số hạng trong $y \ln (2) = \ln (x)$ cho $\ln (2)$ .

$\frac{y \ln (2)}{\ln (2)} = \frac{\ln (x)}{\ln (2)}$

Bước 3.4.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $\ln (2)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{y \ln (2)}{\ln (2)} = \frac{\ln (x)}{\ln (2)}$

Bước 3.4.2.1.2

Chia $y$ cho $1$ .

$y = \frac{\ln (x)}{\ln (2)}$

Bước 4

Thay thế $y$ bằng $f^{- 1} (x)$ để cho thấy đáp án cuối cùng.

$f^{- 1} (x) = \frac{\ln (x)}{\ln (2)}$

Bước 5

Kiểm tra xem $f^{- 1} (x) = \frac{\ln (x)}{\ln (2)}$ có là hàm ngược của $f (x) = 2^{x}$ không.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Để kiểm tra có phải là hàm ngược không, ta kiểm tra xem $f^{- 1} (f (x)) = x$ và $f (f^{- 1} (x)) = x$ không.

Bước 5.2

Tính $f^{- 1} (f (x))$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.1

Lập hàm hợp.

$f^{- 1} (f (x))$

Bước 5.2.2

Tính $f^{- 1} \cdot 2^{x}$ bằng cách thay giá trị của $f$ vào $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} \cdot 2^{x} = \frac{\ln (2^{x})}{\ln (2)}$

Bước 5.2.3

Khai triển $\ln (2^{x})$ bằng cách di chuyển $x$ ra bên ngoài lôgarit.

$f^{- 1} \cdot 2^{x} = \frac{x \ln (2)}{\ln (2)}$

Bước 5.2.4

Triệt tiêu thừa số chung $\ln (2)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.4.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$f^{- 1} \cdot 2^{x} = \frac{x \ln (2)}{\ln (2)}$

Bước 5.2.4.2

Chia $x$ cho $1$ .

$f^{- 1} \cdot 2^{x} = x$

Bước 5.3

Tính $f (f^{- 1} (x))$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.1

Lập hàm hợp.

$f (f^{- 1} (x))$

Bước 5.3.2

Tính $f (\frac{\ln (x)}{\ln (2)})$ bằng cách thay giá trị của $f^{- 1}$ vào $f$ .

$f (\frac{\ln (x)}{\ln (2)}) = 2^{\frac{\ln (x)}{\ln (2)}}$

Bước 5.3.3

Sử dụng quy tắc đổi cơ số $\frac{\log_{b} (x)}{\log_{b} (a)} = \log_{a} (x)$ .

$f (\frac{\ln (x)}{\ln (2)}) = 2^{\log_{2} (x)}$

Bước 5.3.4

Lũy thừa và logarit là các hàm nghịch đảo.

$f (\frac{\ln (x)}{\ln (2)}) = x$

Bước 5.4

Vì $f^{- 1} (f (x)) = x$ và $f (f^{- 1} (x)) = x$ , nên $f^{- 1} (x) = \frac{\ln (x)}{\ln (2)}$ là hàm ngược của $f (x) = 2^{x}$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{\ln (x)}{\ln (2)}$