Đại số Ví dụ

$f (x) = 2 x^{2} - 8 x + 1$ , $x \geq 2$

Bước 1

Tìm khoảng biến thiên của hàm số đã cho.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Khoảng biến thiên là tập hợp của tất cả các giá trị $y$ hợp lệ. Sử dụng biểu đồ để tìm khoảng biến thiên.

$[- 7, \infty)$

Bước 1.2

Quy đổi $[- 7, \infty)$ thành một bất đẳng thức.

$y \geq - 7$

Bước 2

Tìm nghịch đảo.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Hoán đổi vị trí các biến.

$x = 2 y^{2} - 8 y + 1$

Bước 2.2

Giải tìm $y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1

Viết lại phương trình ở dạng $2 y^{2} - 8 y + 1 = x$ .

$2 y^{2} - 8 y + 1 = x$

Bước 2.2.2

Trừ $x$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$2 y^{2} - 8 y + 1 - x = 0$

Bước 2.2.3

Sử dụng công thức bậc hai để tìm các đáp án.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Bước 2.2.4

Thay các giá trị $a = 2$ , $b = - 8$ , và $c = 1 - x$ vào công thức bậc hai và giải tìm $y$ .

$\frac{8 \pm \sqrt{{(- 8)}^{2} - 4 \cdot (2 \cdot (1 - x))}}{2 \cdot 2}$

Bước 2.2.5

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.5.1

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.5.1.1

Nâng $- 8$ lên lũy thừa $2$ .

$y = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 4 \cdot 2 \cdot (1 - x)}}{2 \cdot 2}$

Bước 2.2.5.1.2

Nhân $- 4$ với $2$ .

$y = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 8 \cdot (1 - x)}}{2 \cdot 2}$

Bước 2.2.5.1.3

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$y = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 8 \cdot 1 - 8 (- x)}}{2 \cdot 2}$

Bước 2.2.5.1.4

Nhân $- 8$ với $1$ .

$y = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 8 - 8 (- x)}}{2 \cdot 2}$

Bước 2.2.5.1.5

Nhân $- 1$ với $- 8$ .

$y = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 8 + 8 x}}{2 \cdot 2}$

Bước 2.2.5.1.6

Trừ $8$ khỏi $64$ .

$y = \frac{8 \pm \sqrt{56 + 8 x}}{2 \cdot 2}$

Bước 2.2.5.1.7

Đưa $8$ ra ngoài $56 + 8 x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.5.1.7.1

Đưa $8$ ra ngoài $56$ .

$y = \frac{8 \pm \sqrt{8 \cdot 7 + 8 x}}{2 \cdot 2}$

Bước 2.2.5.1.7.2

Đưa $8$ ra ngoài $8 \cdot 7 + 8 x$ .

$y = \frac{8 \pm \sqrt{8 (7 + x)}}{2 \cdot 2}$

Bước 2.2.5.1.8

Viết lại $8 (7 + x)$ ở dạng $2^{2} \cdot (2 (7 + x))$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.5.1.8.1

Đưa $4$ ra ngoài $8$ .

$y = \frac{8 \pm \sqrt{4 (2) (7 + x)}}{2 \cdot 2}$

Bước 2.2.5.1.8.2

Viết lại $4$ ở dạng $2^{2}$ .

$y = \frac{8 \pm \sqrt{2^{2} \cdot (2 (7 + x))}}{2 \cdot 2}$

Bước 2.2.5.1.8.3

Thêm các dấu ngoặc đơn.

$y = \frac{8 \pm \sqrt{2^{2} \cdot (2 (7 + x))}}{2 \cdot 2}$

Bước 2.2.5.1.9

Đưa các số hạng dưới căn thức ra ngoài.

$y = \frac{8 \pm 2 \sqrt{2 (7 + x)}}{2 \cdot 2}$

Bước 2.2.5.2

Nhân $2$ với $2$ .

$y = \frac{8 \pm 2 \sqrt{2 (7 + x)}}{4}$

Bước 2.2.5.3

Rút gọn $\frac{8 \pm 2 \sqrt{2 (7 + x)}}{4}$ .

$y = \frac{4 \pm \sqrt{2 (7 + x)}}{2}$

Bước 2.2.6

Rút gọn biểu thức để giải tìm phần $+$ của $\pm$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.6.1

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.6.1.1

Nâng $- 8$ lên lũy thừa $2$ .

$y = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 4 \cdot 2 \cdot (1 - x)}}{2 \cdot 2}$

Bước 2.2.6.1.2

Nhân $- 4$ với $2$ .

$y = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 8 \cdot (1 - x)}}{2 \cdot 2}$

Bước 2.2.6.1.3

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$y = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 8 \cdot 1 - 8 (- x)}}{2 \cdot 2}$

Bước 2.2.6.1.4

Nhân $- 8$ với $1$ .

$y = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 8 - 8 (- x)}}{2 \cdot 2}$

Bước 2.2.6.1.5

Nhân $- 1$ với $- 8$ .

$y = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 8 + 8 x}}{2 \cdot 2}$

Bước 2.2.6.1.6

Trừ $8$ khỏi $64$ .

$y = \frac{8 \pm \sqrt{56 + 8 x}}{2 \cdot 2}$

Bước 2.2.6.1.7

Đưa $8$ ra ngoài $56 + 8 x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.6.1.7.1

Đưa $8$ ra ngoài $56$ .

$y = \frac{8 \pm \sqrt{8 \cdot 7 + 8 x}}{2 \cdot 2}$

Bước 2.2.6.1.7.2

Đưa $8$ ra ngoài $8 \cdot 7 + 8 x$ .

$y = \frac{8 \pm \sqrt{8 (7 + x)}}{2 \cdot 2}$

Bước 2.2.6.1.8

Viết lại $8 (7 + x)$ ở dạng $2^{2} \cdot (2 (7 + x))$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.6.1.8.1

Đưa $4$ ra ngoài $8$ .

$y = \frac{8 \pm \sqrt{4 (2) (7 + x)}}{2 \cdot 2}$

Bước 2.2.6.1.8.2

Viết lại $4$ ở dạng $2^{2}$ .

$y = \frac{8 \pm \sqrt{2^{2} \cdot (2 (7 + x))}}{2 \cdot 2}$

Bước 2.2.6.1.8.3

Thêm các dấu ngoặc đơn.

$y = \frac{8 \pm \sqrt{2^{2} \cdot (2 (7 + x))}}{2 \cdot 2}$

Bước 2.2.6.1.9

Đưa các số hạng dưới căn thức ra ngoài.

$y = \frac{8 \pm 2 \sqrt{2 (7 + x)}}{2 \cdot 2}$

Bước 2.2.6.2

Nhân $2$ với $2$ .

$y = \frac{8 \pm 2 \sqrt{2 (7 + x)}}{4}$

Bước 2.2.6.3

Rút gọn $\frac{8 \pm 2 \sqrt{2 (7 + x)}}{4}$ .

$y = \frac{4 \pm \sqrt{2 (7 + x)}}{2}$

Bước 2.2.6.4

Chuyển đổi $\pm$ thành $+$ .

$y = \frac{4 + \sqrt{2 (7 + x)}}{2}$

Bước 2.2.7

Rút gọn biểu thức để giải tìm phần $-$ của $\pm$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.7.1

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.7.1.1

Nâng $- 8$ lên lũy thừa $2$ .

$y = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 4 \cdot 2 \cdot (1 - x)}}{2 \cdot 2}$

Bước 2.2.7.1.2

Nhân $- 4$ với $2$ .

$y = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 8 \cdot (1 - x)}}{2 \cdot 2}$

Bước 2.2.7.1.3

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$y = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 8 \cdot 1 - 8 (- x)}}{2 \cdot 2}$

Bước 2.2.7.1.4

Nhân $- 8$ với $1$ .

$y = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 8 - 8 (- x)}}{2 \cdot 2}$

Bước 2.2.7.1.5

Nhân $- 1$ với $- 8$ .

$y = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 8 + 8 x}}{2 \cdot 2}$

Bước 2.2.7.1.6

Trừ $8$ khỏi $64$ .

$y = \frac{8 \pm \sqrt{56 + 8 x}}{2 \cdot 2}$

Bước 2.2.7.1.7

Đưa $8$ ra ngoài $56 + 8 x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.7.1.7.1

Đưa $8$ ra ngoài $56$ .

$y = \frac{8 \pm \sqrt{8 \cdot 7 + 8 x}}{2 \cdot 2}$

Bước 2.2.7.1.7.2

Đưa $8$ ra ngoài $8 \cdot 7 + 8 x$ .

$y = \frac{8 \pm \sqrt{8 (7 + x)}}{2 \cdot 2}$

Bước 2.2.7.1.8

Viết lại $8 (7 + x)$ ở dạng $2^{2} \cdot (2 (7 + x))$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.7.1.8.1

Đưa $4$ ra ngoài $8$ .

$y = \frac{8 \pm \sqrt{4 (2) (7 + x)}}{2 \cdot 2}$

Bước 2.2.7.1.8.2

Viết lại $4$ ở dạng $2^{2}$ .

$y = \frac{8 \pm \sqrt{2^{2} \cdot (2 (7 + x))}}{2 \cdot 2}$

Bước 2.2.7.1.8.3

Thêm các dấu ngoặc đơn.

$y = \frac{8 \pm \sqrt{2^{2} \cdot (2 (7 + x))}}{2 \cdot 2}$

Bước 2.2.7.1.9

Đưa các số hạng dưới căn thức ra ngoài.

$y = \frac{8 \pm 2 \sqrt{2 (7 + x)}}{2 \cdot 2}$

Bước 2.2.7.2

Nhân $2$ với $2$ .

$y = \frac{8 \pm 2 \sqrt{2 (7 + x)}}{4}$

Bước 2.2.7.3

Rút gọn $\frac{8 \pm 2 \sqrt{2 (7 + x)}}{4}$ .

$y = \frac{4 \pm \sqrt{2 (7 + x)}}{2}$

Bước 2.2.7.4

Chuyển đổi $\pm$ thành $-$ .

$y = \frac{4 - \sqrt{2 (7 + x)}}{2}$

Bước 2.2.8

Câu trả lời cuối cùng là sự kết hợp của cả hai đáp án.

$y = \frac{4 + \sqrt{2 (7 + x)}}{2}$

$y = \frac{4 - \sqrt{2 (7 + x)}}{2}$

$y = \frac{4 + \sqrt{2 (7 + x)}}{2}$

$y = \frac{4 - \sqrt{2 (7 + x)}}{2}$

Bước 2.3

Thay thế $y$ bằng $f^{- 1} (x)$ để cho thấy đáp án cuối cùng.

$f^{- 1} (x) = \frac{4 + \sqrt{2 (7 + x)}}{2}, \frac{4 - \sqrt{2 (7 + x)}}{2}$

Bước 3

Tìm hàm nghịch đảo bằng cách sử dụng tập xác định và khoảng biến thiên của hàm số ban đầu.

$f^{- 1} (x) = \frac{4 + \sqrt{2 (7 + x)}}{2}, x \geq - 7$

Bước 4