Đại số Ví dụ

$\cos (x) \leq - \frac{1}{2}$

Bước 1

Lấy cosin nghịch đảo của cả hai vế của phương trình để trích xuất $x$ từ trong cosin.

$x \leq \arccos (- \frac{1}{2})$

Bước 2

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Giá trị chính xác của $\arccos (- \frac{1}{2})$ là $\frac{2 π}{3}$ .

$x \leq \frac{2 π}{3}$

Bước 3

Hàm cosin âm trong góc phần tư thứ hai và thứ ba. Để tìm đáp án thứ hai, hãy trừ góc tham chiếu từ $2 π$ để tìm đáp án trong góc phần tư thứ ba.

$x = 2 π - \frac{2 π}{3}$

Bước 4

Rút gọn $2 π - \frac{2 π}{3}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Để viết $2 π$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{3}{3}$ .

$x = 2 π \cdot \frac{3}{3} - \frac{2 π}{3}$

Bước 4.2

Kết hợp các phân số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.1

Kết hợp $2 π$ và $\frac{3}{3}$ .

$x = \frac{2 π \cdot 3}{3} - \frac{2 π}{3}$

Bước 4.2.2

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$x = \frac{2 π \cdot 3 - 2 π}{3}$

Bước 4.3

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.1

Nhân $3$ với $2$ .

$x = \frac{6 π - 2 π}{3}$

Bước 4.3.2

Trừ $2 π$ khỏi $6 π$ .

$x = \frac{4 π}{3}$

Bước 5

Tìm chu kỳ của $\cos (x)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Chu kỳ của hàm số có thể được tính bằng $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Bước 5.2

Thay thế $b$ với $1$ trong công thức cho chu kỳ.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Bước 5.3

Giá trị tuyệt đối là khoảng cách giữa một số và số 0. Khoảng cách giữa $0$ và $1$ là $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Bước 5.4

Chia $2 π$ cho $1$ .

$2 π$

Bước 6

Chu kỳ của hàm $\cos (x)$ là $2 π$ nên các giá trị sẽ lặp lại sau mỗi $2 π$ radian theo cả hai hướng.

$x = \frac{2 π}{3} + 2 π n, \frac{4 π}{3} + 2 π n$ , cho mọi số nguyên $n$

Bước 7

Sử dụng mỗi nghiệm để tạo các khoảng kiểm định.

$\frac{2 π}{3} < x < \frac{4 π}{3}$

$\frac{4 π}{3} < x < \frac{8 π}{3}$

Bước 8

Chọn một giá trị kiểm định từ mỗi khoảng và điền giá trị này vào bất đẳng thức ban đầu để xác định khoảng nào thỏa mãn bất đẳng thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.1

Kiểm tra một giá trị trong khoảng $\frac{2 π}{3} < x < \frac{4 π}{3}$ để xem nó có làm cho bất đẳng thức đúng không.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.1.1

Chọn một giá trị trên khoảng $\frac{2 π}{3} < x < \frac{4 π}{3}$ và quan sát nếu giá trị này làm cho bất đẳng thức ban đầu đúng.

$x = 3$

Bước 8.1.2

Thay thế $x$ bằng $3$ trong bất đẳng thức ban đầu.

$\cos (3) \leq - \frac{1}{2}$

Bước 8.1.3

Vế trái $- 0.98999249$ nhỏ hơn vế phải $- 0.5$ , có nghĩa là câu đã cho luôn đúng.

Đúng

Bước 8.2

Kiểm tra một giá trị trong khoảng $\frac{4 π}{3} < x < \frac{8 π}{3}$ để xem nó có làm cho bất đẳng thức đúng không.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.2.1

Chọn một giá trị trên khoảng $\frac{4 π}{3} < x < \frac{8 π}{3}$ và quan sát nếu giá trị này làm cho bất đẳng thức ban đầu đúng.

$x = 6$

Bước 8.2.2

Thay thế $x$ bằng $6$ trong bất đẳng thức ban đầu.

$\cos (6) \leq - \frac{1}{2}$

Bước 8.2.3

Vế trái $0.96017028$ lớn hơn vế phải $- 0.5$ , có nghĩa là câu đã cho sai.

Sai

Bước 8.3

So sánh các khoảng để xác định khoảng nào thỏa mãn bất phương trình ban đầu.

$\frac{2 π}{3} < x < \frac{4 π}{3}$ Đúng

$\frac{4 π}{3} < x < \frac{8 π}{3}$ Sai

$\frac{2 π}{3} < x < \frac{4 π}{3}$ Đúng

$\frac{4 π}{3} < x < \frac{8 π}{3}$ Sai

Bước 9

Đáp án bao gồm tất cả các khoảng thực sự.

$\frac{2 π}{3} + 2 π n \leq x \leq \frac{4 π}{3} + 2 π n$ , cho mọi số nguyên $n$

Bước 10