Đại số Ví dụ

$\frac{\sqrt{5} + \sqrt{2}}{\sqrt{5} - \sqrt{8}}$

Bước 1

Rút gọn mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Viết lại $8$ ở dạng $2^{2} \cdot 2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1

Đưa $4$ ra ngoài $8$ .

$\frac{\sqrt{5} + \sqrt{2}}{\sqrt{5} - \sqrt{4 (2)}}$

Bước 1.1.2

Viết lại $4$ ở dạng $2^{2}$ .

$\frac{\sqrt{5} + \sqrt{2}}{\sqrt{5} - \sqrt{2^{2} \cdot 2}}$

Bước 1.2

Đưa các số hạng dưới căn thức ra ngoài.

$\frac{\sqrt{5} + \sqrt{2}}{\sqrt{5} - (2 \sqrt{2})}$

Bước 1.3

Nhân $2$ với $- 1$ .

$\frac{\sqrt{5} + \sqrt{2}}{\sqrt{5} - 2 \sqrt{2}}$

Bước 2

Nhân $\frac{\sqrt{5} + \sqrt{2}}{\sqrt{5} - 2 \sqrt{2}}$ với $\frac{\sqrt{5} + 2 \sqrt{2}}{\sqrt{5} + 2 \sqrt{2}}$ .

$\frac{\sqrt{5} + \sqrt{2}}{\sqrt{5} - 2 \sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{5} + 2 \sqrt{2}}{\sqrt{5} + 2 \sqrt{2}}$

Bước 3

Kết hợp các phân số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Nhân $\frac{\sqrt{5} + \sqrt{2}}{\sqrt{5} - 2 \sqrt{2}}$ với $\frac{\sqrt{5} + 2 \sqrt{2}}{\sqrt{5} + 2 \sqrt{2}}$ .

$\frac{(\sqrt{5} + \sqrt{2}) (\sqrt{5} + 2 \sqrt{2})}{(\sqrt{5} - 2 \sqrt{2}) (\sqrt{5} + 2 \sqrt{2})}$

Bước 3.2

Khai triển mẫu số bằng cách sử dụng phương pháp FOIL.

$\frac{(\sqrt{5} + \sqrt{2}) (\sqrt{5} + 2 \sqrt{2})}{{\sqrt{5}}^{2} + 2 \sqrt{10} - 2 \sqrt{10} - 4 {\sqrt{2}}^{2}}$

Bước 3.3

Rút gọn.

$\frac{(\sqrt{5} + \sqrt{2}) (\sqrt{5} + 2 \sqrt{2})}{- 3}$

Bước 4

Khai triển $(\sqrt{5} + \sqrt{2}) (\sqrt{5} + 2 \sqrt{2})$ bằng cách sử dụng Phương pháp FOIL.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{\sqrt{5} (\sqrt{5} + 2 \sqrt{2}) + \sqrt{2} (\sqrt{5} + 2 \sqrt{2})}{- 3}$

Bước 4.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{\sqrt{5} \sqrt{5} + \sqrt{5} (2 \sqrt{2}) + \sqrt{2} (\sqrt{5} + 2 \sqrt{2})}{- 3}$

Bước 4.3

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{\sqrt{5} \sqrt{5} + \sqrt{5} (2 \sqrt{2}) + \sqrt{2} \sqrt{5} + \sqrt{2} (2 \sqrt{2})}{- 3}$

Bước 5

Rút gọn và kết hợp các số hạng đồng dạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1.1

Kết hợp bằng các sử dụng quy tắc tích số cho các căn thức.

$\frac{\sqrt{5 \cdot 5} + \sqrt{5} (2 \sqrt{2}) + \sqrt{2} \sqrt{5} + \sqrt{2} (2 \sqrt{2})}{- 3}$

Bước 5.1.2

Nhân $5$ với $5$ .

$\frac{\sqrt{25} + \sqrt{5} (2 \sqrt{2}) + \sqrt{2} \sqrt{5} + \sqrt{2} (2 \sqrt{2})}{- 3}$

Bước 5.1.3

Viết lại $25$ ở dạng $5^{2}$ .

$\frac{\sqrt{5^{2}} + \sqrt{5} (2 \sqrt{2}) + \sqrt{2} \sqrt{5} + \sqrt{2} (2 \sqrt{2})}{- 3}$

Bước 5.1.4

Đưa các số hạng dưới dấu căn ra ngoài, giả sử đó là các số thực dương.

$\frac{5 + \sqrt{5} (2 \sqrt{2}) + \sqrt{2} \sqrt{5} + \sqrt{2} (2 \sqrt{2})}{- 3}$

Bước 5.1.5

Nhân $\sqrt{5} (2 \sqrt{2})$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1.5.1

Kết hợp bằng các sử dụng quy tắc tích số cho các căn thức.

$\frac{5 + 2 \sqrt{5 \cdot 2} + \sqrt{2} \sqrt{5} + \sqrt{2} (2 \sqrt{2})}{- 3}$

Bước 5.1.5.2

Nhân $5$ với $2$ .

$\frac{5 + 2 \sqrt{10} + \sqrt{2} \sqrt{5} + \sqrt{2} (2 \sqrt{2})}{- 3}$

Bước 5.1.6

Kết hợp bằng các sử dụng quy tắc tích số cho các căn thức.

$\frac{5 + 2 \sqrt{10} + \sqrt{2 \cdot 5} + \sqrt{2} (2 \sqrt{2})}{- 3}$

Bước 5.1.7

Nhân $2$ với $5$ .

$\frac{5 + 2 \sqrt{10} + \sqrt{10} + \sqrt{2} (2 \sqrt{2})}{- 3}$

Bước 5.1.8

Nhân $\sqrt{2} (2 \sqrt{2})$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1.8.1

Nâng $\sqrt{2}$ lên lũy thừa $1$ .

$\frac{5 + 2 \sqrt{10} + \sqrt{10} + 2 ({\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2})}{- 3}$

Bước 5.1.8.2

Nâng $\sqrt{2}$ lên lũy thừa $1$ .

$\frac{5 + 2 \sqrt{10} + \sqrt{10} + 2 ({\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1})}{- 3}$

Bước 5.1.8.3

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\frac{5 + 2 \sqrt{10} + \sqrt{10} + 2 {\sqrt{2}}^{1 + 1}}{- 3}$

Bước 5.1.8.4

Cộng $1$ và $1$ .

$\frac{5 + 2 \sqrt{10} + \sqrt{10} + 2 {\sqrt{2}}^{2}}{- 3}$

Bước 5.1.9

Viết lại ${\sqrt{2}}^{2}$ ở dạng $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1.9.1

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt{2}$ ở dạng $2^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{5 + 2 \sqrt{10} + \sqrt{10} + 2 {(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}{- 3}$

Bước 5.1.9.2

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{5 + 2 \sqrt{10} + \sqrt{10} + 2 \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{- 3}$

Bước 5.1.9.3

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $2$ .

$\frac{5 + 2 \sqrt{10} + \sqrt{10} + 2 \cdot 2^{\frac{2}{2}}}{- 3}$

Bước 5.1.9.4

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1.9.4.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{5 + 2 \sqrt{10} + \sqrt{10} + 2 \cdot 2^{\frac{2}{2}}}{- 3}$

Bước 5.1.9.4.2

Viết lại biểu thức.

$\frac{5 + 2 \sqrt{10} + \sqrt{10} + 2 \cdot 2^{1}}{- 3}$

Bước 5.1.9.5

Tính số mũ.

$\frac{5 + 2 \sqrt{10} + \sqrt{10} + 2 \cdot 2}{- 3}$

Bước 5.1.10

Nhân $2$ với $2$ .

$\frac{5 + 2 \sqrt{10} + \sqrt{10} + 4}{- 3}$

Bước 5.2

Cộng $5$ và $4$ .

$\frac{9 + 2 \sqrt{10} + \sqrt{10}}{- 3}$

Bước 5.3

Cộng $2 \sqrt{10}$ và $\sqrt{10}$ .

$\frac{9 + 3 \sqrt{10}}{- 3}$

Bước 6

Triệt tiêu thừa số chung của $9 + 3 \sqrt{10}$ và $- 3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Đưa $3$ ra ngoài $9$ .

$\frac{3 (3) + 3 \sqrt{10}}{- 3}$

Bước 6.2

Đưa $3$ ra ngoài $3 \sqrt{10}$ .

$\frac{3 (3) + 3 (\sqrt{10})}{- 3}$

Bước 6.3

Đưa $3$ ra ngoài $3 (3) + 3 (\sqrt{10})$ .

$\frac{3 (3 + \sqrt{10})}{- 3}$

Bước 6.4

Chuyển âm một từ mẫu số của $\frac{3 + \sqrt{10}}{- 1}$ .

$- 1 \cdot (3 + \sqrt{10})$

Bước 7

Viết lại $- 1 \cdot (3 + \sqrt{10})$ ở dạng $- (3 + \sqrt{10})$ .

$- (3 + \sqrt{10})$

Bước 8

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$- 1 \cdot 3 - \sqrt{10}$

Bước 9

Nhân $- 1$ với $3$ .

$- 3 - \sqrt{10}$

Bước 10

Kết quả có thể được hiển thị ở nhiều dạng.

Dạng chính xác:

$- 3 - \sqrt{10}$

Dạng thập phân:

$- 6.16227766 \dots$