Đại số Ví dụ

$f^{- 1} (x) = - \frac{x^{2}}{3} + \frac{4}{3}$

Bước 1

Tìm các thuộc tính của parabol đã cho.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Viết lại phương trình ở dạng đỉnh.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1

Hoàn thành bình phương cho $- \frac{x^{2}}{3} + \frac{4}{3}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1.1

Sử dụng dạng $a x^{2} + b x + c$ , để tìm các giá trị của $a$ , $b$ , và $c$ .

$a = - \frac{1}{3}$

$b = 0$

$c = \frac{4}{3}$

Bước 1.1.1.2

Xét dạng đỉnh của một parabol.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Bước 1.1.1.3

Tìm $d$ bằng cách sử dụng công thức $d = \frac{b}{2 a}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1.3.1

Thay các giá trị của $a$ và $b$ vào công thức $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{0}{2 (- \frac{1}{3})}$

Bước 1.1.1.3.2

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1.3.2.1

Triệt tiêu thừa số chung của $0$ và $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1.3.2.1.1

Đưa $2$ ra ngoài $0$ .

$d = \frac{2 (0)}{2 (- \frac{1}{3})}$

Bước 1.1.1.3.2.1.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1.3.2.1.2.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$d = \frac{2 \cdot 0}{2 (- \frac{1}{3})}$

Bước 1.1.1.3.2.1.2.2

Viết lại biểu thức.

$d = \frac{0}{- \frac{1}{3}}$

Bước 1.1.1.3.2.2

Nhân tử số với nghịch đảo của mẫu số.

$d = 0 (- 1 \cdot 3)$

Bước 1.1.1.3.2.3

Nhân $0 (- 1 \cdot 3)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1.3.2.3.1

Nhân $- 1$ với $3$ .

$d = 0 \cdot - 3$

Bước 1.1.1.3.2.3.2

Nhân $0$ với $- 3$ .

$d = 0$

Bước 1.1.1.4

Tìm $e$ bằng cách sử dụng công thức $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1.4.1

Thay các giá trị của $c$ , $b$ và $a$ vào công thức $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = \frac{4}{3} - \frac{0^{2}}{4 (- \frac{1}{3})}$

Bước 1.1.1.4.2

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1.4.2.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1.4.2.1.1

Nâng $0$ lên bất kỳ số mũ dương nào sẽ cho $0$ .

$e = \frac{4}{3} - \frac{0}{4 (- \frac{1}{3})}$

Bước 1.1.1.4.2.1.2

Rút gọn mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1.4.2.1.2.1

Nhân $- 1$ với $4$ .

$e = \frac{4}{3} - \frac{0}{- 4 (\frac{1}{3})}$

Bước 1.1.1.4.2.1.2.2

Kết hợp $- 4$ và $\frac{1}{3}$ .

$e = \frac{4}{3} - \frac{0}{\frac{- 4}{3}}$

Bước 1.1.1.4.2.1.3

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$e = \frac{4}{3} - \frac{0}{- \frac{4}{3}}$

Bước 1.1.1.4.2.1.4

Nhân tử số với nghịch đảo của mẫu số.

$e = \frac{4}{3} - (0 (- \frac{3}{4}))$

Bước 1.1.1.4.2.1.5

Nhân $0 (- \frac{3}{4})$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1.4.2.1.5.1

Nhân $- 1$ với $0$ .

$e = \frac{4}{3} - (0 (\frac{3}{4}))$

Bước 1.1.1.4.2.1.5.2

Nhân $0$ với $\frac{3}{4}$ .

$e = \frac{4}{3} - 0$

Bước 1.1.1.4.2.1.6

Nhân $- 1$ với $0$ .

$e = \frac{4}{3} + 0$

Bước 1.1.1.4.2.2

Cộng $\frac{4}{3}$ và $0$ .

$e = \frac{4}{3}$

Bước 1.1.1.5

Thay các giá trị của $a$ , $d$ và $e$ vào dạng đỉnh $- \frac{1}{3} {(x + 0)}^{2} + \frac{4}{3}$ .

$- \frac{1}{3} {(x + 0)}^{2} + \frac{4}{3}$

Bước 1.1.2

Đặt $y$ bằng với vế phải mới.

$y = - \frac{1}{3} \cdot {(x + 0)}^{2} + \frac{4}{3}$

Bước 1.2

Sử dụng dạng đỉnh, $y = a {(x - h)}^{2} + k$ , xác định giá trị của $a$ , $h$ và $k$ .

$a = - \frac{1}{3}$

$h = 0$

$k = \frac{4}{3}$

Bước 1.3

Vì giá trị của $a$ âm, nên parabol quay mặt lõm xuống dưới.

Quay mặt lõm xuống

Bước 1.4

Tìm đỉnh $(h, k)$ .

$(0, \frac{4}{3})$

Bước 1.5

Tìm $p$ , khoảng cách từ đỉnh đến tiêu điểm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.5.1

Tìm khoảng cách từ đỉnh đến tiêu điểm của đường parabol bằng công thức sau.

$\frac{1}{4 a}$

Bước 1.5.2

Thay giá trị của $a$ vào công thức.

$\frac{1}{4 \cdot (- \frac{1}{3})}$

Bước 1.5.3

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.5.3.1

Triệt tiêu thừa số chung của $1$ và $- 1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.5.3.1.1

Viết lại $1$ ở dạng $- 1 (- 1)$ .

$\frac{- 1 (- 1)}{4 \cdot (- \frac{1}{3})}$

Bước 1.5.3.1.2

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$- \frac{1}{4 (\frac{1}{3})}$

Bước 1.5.3.2

Kết hợp $4$ và $\frac{1}{3}$ .

$- \frac{1}{\frac{4}{3}}$

Bước 1.5.3.3

Nhân tử số với nghịch đảo của mẫu số.

$- (1 (\frac{3}{4}))$

Bước 1.5.3.4

Nhân $\frac{3}{4}$ với $1$ .

$- \frac{3}{4}$

Bước 1.6

Tìm tiêu điểm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.6.1

Có thể tìm tiêu điểm của một parabol bằng cách cộng $p$ vào tọa độ y $k$ nếu parabol quay mặt lõm trên hoặc xuống dưới.

$(h, k + p)$

Bước 1.6.2

Thay các giá trị đã biết của $h$ , $p$ , và $k$ vào công thức và rút gọn.

$(0, \frac{7}{12})$

Bước 1.7

Tìm trục đối xứng bằng cách tìm một đường thẳng đi qua đỉnh và tiêu điểm.

$x = 0$

Bước 1.8

Tìm đường chuẩn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.8.1

Đường chuẩn của một parabol là đường thẳng nằm ngang tìm được bằng cách trừ $p$ từ tọa độ y $k$ của đỉnh nếu parabol lõm hoặc lồi.

$y = k - p$

Bước 1.8.2

Thay các giá trị đã biết của $p$ và $k$ vào công thức và rút gọn.

$y = \frac{25}{12}$

Bước 1.9

Sử dụng các tính chất của parabol để phân tích và vẽ đồ thị đường parabol.

Hướng: Quay mặt lõm xuống

Đỉnh: $(0, \frac{4}{3})$

Tiêu điểm: $(0, \frac{7}{12})$

Trục đối xứng: $x = 0$

Đường chuẩn: $y = \frac{25}{12}$

Hướng: Quay mặt lõm xuống

Đỉnh: $(0, \frac{4}{3})$

Tiêu điểm: $(0, \frac{7}{12})$

Trục đối xứng: $x = 0$

Đường chuẩn: $y = \frac{25}{12}$

Bước 2

Chọn một vài giá trị $x$ và điền chúng vào phương trình để tìm các giá trị $y$ tương ứng. Các giá trị $x$ nên được chọn xung quanh đỉnh.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Thay thế biến $x$ bằng $- 1$ trong biểu thức.

$f (- 1) = - \frac{{(- 1)}^{2}}{3} + \frac{4}{3}$

Bước 2.2

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$f (- 1) = \frac{- {(- 1)}^{2} + 4}{3}$

Bước 2.2.2

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.2.1

Nhân $- 1$ với ${(- 1)}^{2}$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.2.1.1

Nhân $- 1$ với ${(- 1)}^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.2.1.1.1

Nâng $- 1$ lên lũy thừa $1$ .

$f (- 1) = \frac{(- 1) {(- 1)}^{2} + 4}{3}$

Bước 2.2.2.1.1.2

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$f (- 1) = \frac{{(- 1)}^{1 + 2} + 4}{3}$

Bước 2.2.2.1.2

Cộng $1$ và $2$ .

$f (- 1) = \frac{{(- 1)}^{3} + 4}{3}$

Bước 2.2.2.2

Nâng $- 1$ lên lũy thừa $3$ .

$f (- 1) = \frac{- 1 + 4}{3}$

Bước 2.2.3

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.3.1

Cộng $- 1$ và $4$ .

$f (- 1) = \frac{3}{3}$

Bước 2.2.3.2

Chia $3$ cho $3$ .

$f (- 1) = 1$

Bước 2.2.4

Câu trả lời cuối cùng là $1$ .

$1$

Bước 2.3

Giá trị $y$ tại $x = - 1$ là $1$ .

$y = 1$

Bước 2.4

Thay thế biến $x$ bằng $- 2$ trong biểu thức.

$f (- 2) = - \frac{{(- 2)}^{2}}{3} + \frac{4}{3}$

Bước 2.5

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.5.1

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$f (- 2) = \frac{- {(- 2)}^{2} + 4}{3}$

Bước 2.5.2

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.5.2.1

Nâng $- 2$ lên lũy thừa $2$ .

$f (- 2) = \frac{- 1 \cdot 4 + 4}{3}$

Bước 2.5.2.2

Nhân $- 1$ với $4$ .

$f (- 2) = \frac{- 4 + 4}{3}$

Bước 2.5.3

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.5.3.1

Cộng $- 4$ và $4$ .

$f (- 2) = \frac{0}{3}$

Bước 2.5.3.2

Chia $0$ cho $3$ .

$f (- 2) = 0$

Bước 2.5.4

Câu trả lời cuối cùng là $0$ .

$0$

Bước 2.6

Giá trị $y$ tại $x = - 2$ là $0$ .

$y = 0$

Bước 2.7

Thay thế biến $x$ bằng $1$ trong biểu thức.

$f (1) = - \frac{{(1)}^{2}}{3} + \frac{4}{3}$

Bước 2.8

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.8.1

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$f (1) = \frac{- {(1)}^{2} + 4}{3}$

Bước 2.8.2

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.8.2.1

Một mũ bất kỳ số nào là một.

$f (1) = \frac{- 1 \cdot 1 + 4}{3}$

Bước 2.8.2.2

Nhân $- 1$ với $1$ .

$f (1) = \frac{- 1 + 4}{3}$

Bước 2.8.3

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.8.3.1

Cộng $- 1$ và $4$ .

$f (1) = \frac{3}{3}$

Bước 2.8.3.2

Chia $3$ cho $3$ .

$f (1) = 1$

Bước 2.8.4

Câu trả lời cuối cùng là $1$ .

$1$

Bước 2.9

Giá trị $y$ tại $x = 1$ là $1$ .

$y = 1$

Bước 2.10

Thay thế biến $x$ bằng $2$ trong biểu thức.

$f (2) = - \frac{{(2)}^{2}}{3} + \frac{4}{3}$

Bước 2.11

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.11.1

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$f (2) = \frac{- {(2)}^{2} + 4}{3}$

Bước 2.11.2

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.11.2.1

Nâng $2$ lên lũy thừa $2$ .

$f (2) = \frac{- 1 \cdot 4 + 4}{3}$

Bước 2.11.2.2

Nhân $- 1$ với $4$ .

$f (2) = \frac{- 4 + 4}{3}$

Bước 2.11.3

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.11.3.1

Cộng $- 4$ và $4$ .

$f (2) = \frac{0}{3}$

Bước 2.11.3.2

Chia $0$ cho $3$ .

$f (2) = 0$

Bước 2.11.4

Câu trả lời cuối cùng là $0$ .

$0$

Bước 2.12

Giá trị $y$ tại $x = 2$ là $0$ .

$y = 0$

Bước 2.13

Vẽ đồ thị parabol bằng các thuộc tính của nó và các điểm đã chọn.

$\begin{array}{c} x & y \\ - 2 & 0 \\ - 1 & 1 \\ 0 & \frac{4}{3} \\ 1 & 1 \\ 2 & 0 \end{array}$

Bước 3

Vẽ đồ thị parabol bằng các thuộc tính của nó và các điểm đã chọn.

Hướng: Quay mặt lõm xuống

Đỉnh: $(0, \frac{4}{3})$

Tiêu điểm: $(0, \frac{7}{12})$

Trục đối xứng: $x = 0$

Đường chuẩn: $y = \frac{25}{12}$

$\begin{array}{c} x & y \\ - 2 & 0 \\ - 1 & 1 \\ 0 & \frac{4}{3} \\ 1 & 1 \\ 2 & 0 \end{array}$

Bước 4