Đại số Ví dụ

$f (x) = 4 \sin (2 x + 5) - 7$

Bước 1

Viết $f (x) = 4 \sin (2 x + 5) - 7$ ở dạng một phương trình.

$y = 4 \sin (2 x + 5) - 7$

Bước 2

Hoán đổi vị trí các biến.

$x = 4 \sin (2 y + 5) - 7$

Bước 3

Giải tìm $y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Viết lại phương trình ở dạng $4 \sin (2 y + 5) - 7 = x$ .

$4 \sin (2 y + 5) - 7 = x$

Bước 3.2

Cộng $7$ cho cả hai vế của phương trình.

$4 \sin (2 y + 5) = x + 7$

Bước 3.3

Chia mỗi số hạng trong $4 \sin (2 y + 5) = x + 7$ cho $4$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.1

Chia mỗi số hạng trong $4 \sin (2 y + 5) = x + 7$ cho $4$ .

$\frac{4 \sin (2 y + 5)}{4} = \frac{x}{4} + \frac{7}{4}$

Bước 3.3.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $4$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{4 \sin (2 y + 5)}{4} = \frac{x}{4} + \frac{7}{4}$

Bước 3.3.2.1.2

Chia $\sin (2 y + 5)$ cho $1$ .

$\sin (2 y + 5) = \frac{x}{4} + \frac{7}{4}$

Bước 3.4

Lấy nghịch đảo sin của cả hai vế của phương trình để trích xuất $y$ từ trong hàm sin.

$2 y + 5 = \arcsin (\frac{x}{4} + \frac{7}{4})$

Bước 3.5

Trừ $5$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$2 y = \arcsin (\frac{x}{4} + \frac{7}{4}) - 5$

Bước 3.6

Chia mỗi số hạng trong $2 y = \arcsin (\frac{x}{4} + \frac{7}{4}) - 5$ cho $2$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.6.1

Chia mỗi số hạng trong $2 y = \arcsin (\frac{x}{4} + \frac{7}{4}) - 5$ cho $2$ .

$\frac{2 y}{2} = \frac{\arcsin (\frac{x}{4} + \frac{7}{4})}{2} + \frac{- 5}{2}$

Bước 3.6.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.6.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.6.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{2 y}{2} = \frac{\arcsin (\frac{x}{4} + \frac{7}{4})}{2} + \frac{- 5}{2}$

Bước 3.6.2.1.2

Chia $y$ cho $1$ .

$y = \frac{\arcsin (\frac{x}{4} + \frac{7}{4})}{2} + \frac{- 5}{2}$

Bước 3.6.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.6.3.1

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$y = \frac{\arcsin (\frac{x}{4} + \frac{7}{4})}{2} - \frac{5}{2}$

Bước 4

Thay thế $y$ bằng $f^{- 1} (x)$ để cho thấy đáp án cuối cùng.

$f^{- 1} (x) = \frac{\arcsin (\frac{x}{4} + \frac{7}{4})}{2} - \frac{5}{2}$

Bước 5

Kiểm tra xem $f^{- 1} (x) = \frac{\arcsin (\frac{x}{4} + \frac{7}{4})}{2} - \frac{5}{2}$ có là hàm ngược của $f (x) = 4 \sin (2 x + 5) - 7$ không.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Để kiểm tra có phải là hàm ngược không, ta kiểm tra xem $f^{- 1} (f (x)) = x$ và $f (f^{- 1} (x)) = x$ không.

Bước 5.2

Tính $f^{- 1} (f (x))$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.1

Lập hàm hợp.

$f^{- 1} (f (x))$

Bước 5.2.2

Tính $f^{- 1} (4 \sin (2 x + 5) - 7)$ bằng cách thay giá trị của $f$ vào $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (4 \sin (2 x + 5) - 7) = \frac{\arcsin (\frac{4 \sin (2 x + 5) - 7}{4} + \frac{7}{4})}{2} - \frac{5}{2}$

Bước 5.2.3

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.3.1

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$f^{- 1} (4 \sin (2 x + 5) - 7) = \frac{\arcsin (\frac{4 \sin (2 x + 5) - 7 + 7}{4})}{2} - \frac{5}{2}$

Bước 5.2.3.2

Kết hợp các số hạng đối nhau trong $4 \sin (2 x + 5) - 7 + 7$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.3.2.1

Cộng $- 7$ và $7$ .

$f^{- 1} (4 \sin (2 x + 5) - 7) = \frac{\arcsin (\frac{4 \sin (2 x + 5) + 0}{4})}{2} - \frac{5}{2}$

Bước 5.2.3.2.2

Cộng $4 \sin (2 x + 5)$ và $0$ .

$f^{- 1} (4 \sin (2 x + 5) - 7) = \frac{\arcsin (\frac{4 \sin (2 x + 5)}{4})}{2} - \frac{5}{2}$

Bước 5.2.3.3

Triệt tiêu thừa số chung $4$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.3.3.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$f^{- 1} (4 \sin (2 x + 5) - 7) = \frac{\arcsin (\frac{4 \sin (2 x + 5)}{4})}{2} - \frac{5}{2}$

Bước 5.2.3.3.2

Chia $\sin (2 x + 5)$ cho $1$ .

$f^{- 1} (4 \sin (2 x + 5) - 7) = \frac{\arcsin (\sin (2 x + 5))}{2} - \frac{5}{2}$

Bước 5.3

Tính $f (f^{- 1} (x))$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.1

Lập hàm hợp.

$f (f^{- 1} (x))$

Bước 5.3.2

Tính $f (\frac{\arcsin (\frac{x}{4} + \frac{7}{4})}{2} - \frac{5}{2})$ bằng cách thay giá trị của $f^{- 1}$ vào $f$ .

$f (\frac{\arcsin (\frac{x}{4} + \frac{7}{4})}{2} - \frac{5}{2}) = 4 \sin (2 (\frac{\arcsin (\frac{x}{4} + \frac{7}{4})}{2} - \frac{5}{2}) + 5) - 7$

Bước 5.3.3

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.3.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.3.1.1

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$f (\frac{\arcsin (\frac{x}{4} + \frac{7}{4})}{2} - \frac{5}{2}) = 4 \sin (2 (\frac{\arcsin (\frac{x + 7}{4})}{2} - \frac{5}{2}) + 5) - 7$

Bước 5.3.3.1.2

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$f (\frac{\arcsin (\frac{x}{4} + \frac{7}{4})}{2} - \frac{5}{2}) = 4 \sin (2 (\frac{\arcsin (\frac{x + 7}{4}) - 5}{2}) + 5) - 7$

Bước 5.3.3.1.3

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.3.1.3.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$f (\frac{\arcsin (\frac{x}{4} + \frac{7}{4})}{2} - \frac{5}{2}) = 4 \sin (2 (\frac{\arcsin (\frac{x + 7}{4}) - 5}{2}) + 5) - 7$

Bước 5.3.3.1.3.2

Viết lại biểu thức.

$f (\frac{\arcsin (\frac{x}{4} + \frac{7}{4})}{2} - \frac{5}{2}) = 4 \sin (\arcsin (\frac{x + 7}{4}) - 5 + 5) - 7$

Bước 5.3.3.2

Kết hợp các số hạng đối nhau trong $\arcsin (\frac{x + 7}{4}) - 5 + 5$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.3.2.1

Cộng $- 5$ và $5$ .

$f (\frac{\arcsin (\frac{x}{4} + \frac{7}{4})}{2} - \frac{5}{2}) = 4 \sin (\arcsin (\frac{x + 7}{4}) + 0) - 7$

Bước 5.3.3.2.2

Cộng $\arcsin (\frac{x + 7}{4})$ và $0$ .

$f (\frac{\arcsin (\frac{x}{4} + \frac{7}{4})}{2} - \frac{5}{2}) = 4 \sin (\arcsin (\frac{x + 7}{4})) - 7$

Bước 5.3.3.3

Hàm sin và arcsin là nghịch đảo.

$f (\frac{\arcsin (\frac{x}{4} + \frac{7}{4})}{2} - \frac{5}{2}) = 4 (\frac{x + 7}{4}) - 7$

Bước 5.3.3.4

Triệt tiêu thừa số chung $4$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.3.4.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$f (\frac{\arcsin (\frac{x}{4} + \frac{7}{4})}{2} - \frac{5}{2}) = 4 (\frac{x + 7}{4}) - 7$

Bước 5.3.3.4.2

Viết lại biểu thức.

$f (\frac{\arcsin (\frac{x}{4} + \frac{7}{4})}{2} - \frac{5}{2}) = x + 7 - 7$

Bước 5.3.4

Kết hợp các số hạng đối nhau trong $x + 7 - 7$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.4.1

Trừ $7$ khỏi $7$ .

$f (\frac{\arcsin (\frac{x}{4} + \frac{7}{4})}{2} - \frac{5}{2}) = x + 0$

Bước 5.3.4.2

Cộng $x$ và $0$ .

$f (\frac{\arcsin (\frac{x}{4} + \frac{7}{4})}{2} - \frac{5}{2}) = x$

Bước 5.4

Vì $f^{- 1} (f (x)) = x$ và $f (f^{- 1} (x)) = x$ , nên $f^{- 1} (x) = \frac{\arcsin (\frac{x}{4} + \frac{7}{4})}{2} - \frac{5}{2}$ là hàm ngược của $f (x) = 4 \sin (2 x + 5) - 7$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{\arcsin (\frac{x}{4} + \frac{7}{4})}{2} - \frac{5}{2}$