Đại số Ví dụ

$9 y^{2} - 25 x^{2} - 100 x - 108 y - 1 = 0$

Bước 1

Tìm dạng chính tắc của hyperbol.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Cộng $1$ cho cả hai vế của phương trình.

$9 y^{2} - 25 x^{2} - 100 x - 108 y = 1$

Bước 1.2

Hoàn thành bình phương cho $9 y^{2} - 108 y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.1

Sử dụng dạng $a x^{2} + b x + c$ , để tìm các giá trị của $a$ , $b$ , và $c$ .

$a = 9$

$b = - 108$

$c = 0$

Bước 1.2.2

Xét dạng đỉnh của một parabol.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Bước 1.2.3

Tìm $d$ bằng cách sử dụng công thức $d = \frac{b}{2 a}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.3.1

Thay các giá trị của $a$ và $b$ vào công thức $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{- 108}{2 \cdot 9}$

Bước 1.2.3.2

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.3.2.1

Triệt tiêu thừa số chung của $- 108$ và $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.3.2.1.1

Đưa $2$ ra ngoài $- 108$ .

$d = \frac{2 \cdot - 54}{2 \cdot 9}$

Bước 1.2.3.2.1.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.3.2.1.2.1

Đưa $2$ ra ngoài $2 \cdot 9$ .

$d = \frac{2 \cdot - 54}{2 (9)}$

Bước 1.2.3.2.1.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$d = \frac{2 \cdot - 54}{2 \cdot 9}$

Bước 1.2.3.2.1.2.3

Viết lại biểu thức.

$d = \frac{- 54}{9}$

Bước 1.2.3.2.2

Triệt tiêu thừa số chung của $- 54$ và $9$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.3.2.2.1

Đưa $9$ ra ngoài $- 54$ .

$d = \frac{9 \cdot - 6}{9}$

Bước 1.2.3.2.2.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.3.2.2.2.1

Đưa $9$ ra ngoài $9$ .

$d = \frac{9 \cdot - 6}{9 (1)}$

Bước 1.2.3.2.2.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$d = \frac{9 \cdot - 6}{9 \cdot 1}$

Bước 1.2.3.2.2.2.3

Viết lại biểu thức.

$d = \frac{- 6}{1}$

Bước 1.2.3.2.2.2.4

Chia $- 6$ cho $1$ .

$d = - 6$

Bước 1.2.4

Tìm $e$ bằng cách sử dụng công thức $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.4.1

Thay các giá trị của $c$ , $b$ và $a$ vào công thức $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{{(- 108)}^{2}}{4 \cdot 9}$

Bước 1.2.4.2

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.4.2.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.4.2.1.1

Nâng $- 108$ lên lũy thừa $2$ .

$e = 0 - \frac{11664}{4 \cdot 9}$

Bước 1.2.4.2.1.2

Nhân $4$ với $9$ .

$e = 0 - \frac{11664}{36}$

Bước 1.2.4.2.1.3

Chia $11664$ cho $36$ .

$e = 0 - 1 \cdot 324$

Bước 1.2.4.2.1.4

Nhân $- 1$ với $324$ .

$e = 0 - 324$

Bước 1.2.4.2.2

Trừ $324$ khỏi $0$ .

$e = - 324$

Bước 1.2.5

Thay các giá trị của $a$ , $d$ và $e$ vào dạng đỉnh $9 {(y - 6)}^{2} - 324$ .

$9 {(y - 6)}^{2} - 324$

Bước 1.3

Thay $9 {(y - 6)}^{2} - 324$ cho $9 y^{2} - 108 y$ trong phương trình $9 y^{2} - 25 x^{2} - 100 x - 108 y = 1$ .

$9 {(y - 6)}^{2} - 324 - 25 x^{2} - 100 x = 1$

Bước 1.4

Di chuyển $- 324$ sang vế phải của phương trình bằng cách cộng $324$ vào cả hai vế.

$9 {(y - 6)}^{2} - 25 x^{2} - 100 x = 1 + 324$

Bước 1.5

Hoàn thành bình phương cho $- 25 x^{2} - 100 x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.5.1

Sử dụng dạng $a x^{2} + b x + c$ , để tìm các giá trị của $a$ , $b$ , và $c$ .

$a = - 25$

$b = - 100$

$c = 0$

Bước 1.5.2

Xét dạng đỉnh của một parabol.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Bước 1.5.3

Tìm $d$ bằng cách sử dụng công thức $d = \frac{b}{2 a}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.5.3.1

Thay các giá trị của $a$ và $b$ vào công thức $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{- 100}{2 \cdot - 25}$

Bước 1.5.3.2

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.5.3.2.1

Triệt tiêu thừa số chung của $- 100$ và $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.5.3.2.1.1

Đưa $2$ ra ngoài $- 100$ .

$d = \frac{2 \cdot - 50}{2 \cdot - 25}$

Bước 1.5.3.2.1.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.5.3.2.1.2.1

Đưa $2$ ra ngoài $2 \cdot - 25$ .

$d = \frac{2 \cdot - 50}{2 (- 25)}$

Bước 1.5.3.2.1.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$d = \frac{2 \cdot - 50}{2 \cdot - 25}$

Bước 1.5.3.2.1.2.3

Viết lại biểu thức.

$d = \frac{- 50}{- 25}$

Bước 1.5.3.2.2

Triệt tiêu thừa số chung của $- 50$ và $- 25$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.5.3.2.2.1

Đưa $- 25$ ra ngoài $- 50$ .

$d = \frac{- 25 (2)}{- 25}$

Bước 1.5.3.2.2.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.5.3.2.2.2.1

Đưa $- 25$ ra ngoài $- 25$ .

$d = \frac{- 25 \cdot 2}{- 25 \cdot 1}$

Bước 1.5.3.2.2.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$d = \frac{- 25 \cdot 2}{- 25 \cdot 1}$

Bước 1.5.3.2.2.2.3

Viết lại biểu thức.

$d = \frac{2}{1}$

Bước 1.5.3.2.2.2.4

Chia $2$ cho $1$ .

$d = 2$

Bước 1.5.4

Tìm $e$ bằng cách sử dụng công thức $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.5.4.1

Thay các giá trị của $c$ , $b$ và $a$ vào công thức $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{{(- 100)}^{2}}{4 \cdot - 25}$

Bước 1.5.4.2

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.5.4.2.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.5.4.2.1.1

Nâng $- 100$ lên lũy thừa $2$ .

$e = 0 - \frac{10000}{4 \cdot - 25}$

Bước 1.5.4.2.1.2

Nhân $4$ với $- 25$ .

$e = 0 - \frac{10000}{- 100}$

Bước 1.5.4.2.1.3

Chia $10000$ cho $- 100$ .

$e = 0 - - 100$

Bước 1.5.4.2.1.4

Nhân $- 1$ với $- 100$ .

$e = 0 + 100$

Bước 1.5.4.2.2

Cộng $0$ và $100$ .

$e = 100$

Bước 1.5.5

Thay các giá trị của $a$ , $d$ và $e$ vào dạng đỉnh $- 25 {(x + 2)}^{2} + 100$ .

$- 25 {(x + 2)}^{2} + 100$

Bước 1.6

Thay $- 25 {(x + 2)}^{2} + 100$ cho $- 25 x^{2} - 100 x$ trong phương trình $9 y^{2} - 25 x^{2} - 100 x - 108 y = 1$ .

$9 {(y - 6)}^{2} - 25 {(x + 2)}^{2} + 100 = 1 + 324$

Bước 1.7

Di chuyển $100$ sang vế phải của phương trình bằng cách cộng $100$ vào cả hai vế.

$9 {(y - 6)}^{2} - 25 {(x + 2)}^{2} = 1 + 324 - 100$

Bước 1.8

Rút gọn $1 + 324 - 100$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.8.1

Cộng $1$ và $324$ .

$9 {(y - 6)}^{2} - 25 {(x + 2)}^{2} = 325 - 100$

Bước 1.8.2

Trừ $100$ khỏi $325$ .

$9 {(y - 6)}^{2} - 25 {(x + 2)}^{2} = 225$

Bước 1.9

Chia mỗi số hạng cho $225$ để làm cho vế phải bằng một.

$\frac{9 {(y - 6)}^{2}}{225} - \frac{25 {(x + 2)}^{2}}{225} = \frac{225}{225}$

Bước 1.10

Rút gọn từng số hạng trong phương trình để đặt vế phải bằng $1$ . Dạng chính tắc của hình elip hoặc hyperbol yêu cầu phía vế phải của phương trình bằng $1$ .

$\frac{{(y - 6)}^{2}}{25} - \frac{{(x + 2)}^{2}}{9} = 1$

Bước 2

Đây là dạng của một hyperbol. Sử dụng dạng này để xác định các giá trị được sử dụng để tìm các đỉnh và các tiệm cận của hyperbol.

$\frac{{(y - k)}^{2}}{a^{2}} - \frac{{(x - h)}^{2}}{b^{2}} = 1$

Bước 3

Tương ứng các giá trị trong hyperbol này với dạng chính tắc. Biến $h$ là khoảng cách theo trục x tính từ gốc tọa độ, $k$ là khoảng cách theo trục y tính từ gốc tọa độ, $a$ .

$a = 5$

$b = 3$

$k = 6$

$h = - 2$

Bước 4

Tìm các đỉnh.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Có thể tìm đỉnh đầu tiên của một hyperbol bằng cách cộng $a$ vào $k$ .

$(h, k + a)$

Bước 4.2

Thay các giá trị đã biết của $h$ , $a$ , và $k$ vào công thức và rút gọn.

$(- 2, 11)$

Bước 4.3

Có thể tìm đỉnh thứ hai của một hyperbol bằng cách trừ $a$ từ $k$ .

$(h, k - a)$

Bước 4.4

Thay các giá trị đã biết của $h$ , $a$ , và $k$ vào công thức và rút gọn.

$(- 2, 1)$

Bước 4.5

Các đỉnh của một hyperbol có dạng $(h, k \pm a)$ . Hyperbol có hai đỉnh.

$(- 2, 11), (- 2, 1)$

Bước 5