Đại số Ví dụ

$- 2 y^{2} + x - 20 y - 49 = 0$

Bước 1

Di chuyển tất cả các số hạng không chứa $x$ sang vế phải của phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Cộng $2 y^{2}$ cho cả hai vế của phương trình.

$x - 20 y - 49 = 2 y^{2}$

Bước 1.2

Cộng $20 y$ cho cả hai vế của phương trình.

$x - 49 = 2 y^{2} + 20 y$

Bước 1.3

Cộng $49$ cho cả hai vế của phương trình.

$x = 2 y^{2} + 20 y + 49$

Bước 2

Tìm các thuộc tính của parabol đã cho.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Viết lại phương trình ở dạng đỉnh.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.1

Hoàn thành bình phương cho $2 y^{2} + 20 y + 49$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.1.1

Sử dụng dạng $a x^{2} + b x + c$ , để tìm các giá trị của $a$ , $b$ , và $c$ .

$a = 2$

$b = 20$

$c = 49$

Bước 2.1.1.2

Xét dạng đỉnh của một parabol.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Bước 2.1.1.3

Tìm $d$ bằng cách sử dụng công thức $d = \frac{b}{2 a}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.1.3.1

Thay các giá trị của $a$ và $b$ vào công thức $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{20}{2 \cdot 2}$

Bước 2.1.1.3.2

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.1.3.2.1

Triệt tiêu thừa số chung của $20$ và $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.1.3.2.1.1

Đưa $2$ ra ngoài $20$ .

$d = \frac{2 \cdot 10}{2 \cdot 2}$

Bước 2.1.1.3.2.1.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.1.3.2.1.2.1

Đưa $2$ ra ngoài $2 \cdot 2$ .

$d = \frac{2 \cdot 10}{2 (2)}$

Bước 2.1.1.3.2.1.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$d = \frac{2 \cdot 10}{2 \cdot 2}$

Bước 2.1.1.3.2.1.2.3

Viết lại biểu thức.

$d = \frac{10}{2}$

Bước 2.1.1.3.2.2

Triệt tiêu thừa số chung của $10$ và $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.1.3.2.2.1

Đưa $2$ ra ngoài $10$ .

$d = \frac{2 \cdot 5}{2}$

Bước 2.1.1.3.2.2.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.1.3.2.2.2.1

Đưa $2$ ra ngoài $2$ .

$d = \frac{2 \cdot 5}{2 (1)}$

Bước 2.1.1.3.2.2.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$d = \frac{2 \cdot 5}{2 \cdot 1}$

Bước 2.1.1.3.2.2.2.3

Viết lại biểu thức.

$d = \frac{5}{1}$

Bước 2.1.1.3.2.2.2.4

Chia $5$ cho $1$ .

$d = 5$

Bước 2.1.1.4

Tìm $e$ bằng cách sử dụng công thức $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.1.4.1

Thay các giá trị của $c$ , $b$ và $a$ vào công thức $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 49 - \frac{20^{2}}{4 \cdot 2}$

Bước 2.1.1.4.2

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.1.4.2.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.1.4.2.1.1

Nâng $20$ lên lũy thừa $2$ .

$e = 49 - \frac{400}{4 \cdot 2}$

Bước 2.1.1.4.2.1.2

Nhân $4$ với $2$ .

$e = 49 - \frac{400}{8}$

Bước 2.1.1.4.2.1.3

Chia $400$ cho $8$ .

$e = 49 - 1 \cdot 50$

Bước 2.1.1.4.2.1.4

Nhân $- 1$ với $50$ .

$e = 49 - 50$

Bước 2.1.1.4.2.2

Trừ $50$ khỏi $49$ .

$e = - 1$

Bước 2.1.1.5

Thay các giá trị của $a$ , $d$ và $e$ vào dạng đỉnh $2 {(y + 5)}^{2} - 1$ .

$2 {(y + 5)}^{2} - 1$

Bước 2.1.2

Đặt $x$ bằng với vế phải mới.

$x = 2 {(y + 5)}^{2} - 1$

Bước 2.2

Sử dụng dạng đỉnh, $x = a {(y - k)}^{2} + h$ , xác định giá trị của $a$ , $h$ và $k$ .

$a = 2$

$h = - 1$

$k = - 5$

Bước 2.3

Vì giá trị của $a$ dương, nên parabol quay mặt lõm sang phải.

Quay mặt lõm sang phải

Bước 2.4

Tìm đỉnh $(h, k)$ .

$(- 1, - 5)$

Bước 2.5

Tìm $p$ , khoảng cách từ đỉnh đến tiêu điểm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.5.1

Tìm khoảng cách từ đỉnh đến tiêu điểm của đường parabol bằng công thức sau.

$\frac{1}{4 a}$

Bước 2.5.2

Thay giá trị của $a$ vào công thức.

$\frac{1}{4 \cdot 2}$

Bước 2.5.3

Nhân $4$ với $2$ .

$\frac{1}{8}$

Bước 2.6

Tìm tiêu điểm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.6.1

Có thể tìm tiêu điểm của một parabol bằng cách cộng $p$ vào tọa độ x $h$ nếu parabol quay mặt lõm sang trái hoặc phải.

$(h + p, k)$

Bước 2.6.2

Thay các giá trị đã biết của $h$ , $p$ , và $k$ vào công thức và rút gọn.

$(- \frac{7}{8}, - 5)$

Bước 2.7

Tìm trục đối xứng bằng cách tìm một đường thẳng đi qua đỉnh và tiêu điểm.

$y = - 5$

Bước 2.8

Tìm đường chuẩn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.8.1

Đường chuẩn của một parabol là đường thẳng đứng tìm được bằng cách trừ $p$ khỏi tọa độ x $h$ của đỉnh nếu parabol quay mặt lõm sang trái hoặc phải.

$x = h - p$

Bước 2.8.2

Thay các giá trị đã biết của $p$ và $h$ vào công thức và rút gọn.

$x = - \frac{9}{8}$

Bước 2.9

Sử dụng các tính chất của parabol để phân tích và vẽ đồ thị đường parabol.

Hướng: Quay mặt lõm sang phải

Đỉnh: $(- 1, - 5)$

Tiêu điểm: $(- \frac{7}{8}, - 5)$

Trục đối xứng: $y = - 5$

Đường chuẩn: $x = - \frac{9}{8}$

Hướng: Quay mặt lõm sang phải

Đỉnh: $(- 1, - 5)$

Tiêu điểm: $(- \frac{7}{8}, - 5)$

Trục đối xứng: $y = - 5$

Đường chuẩn: $x = - \frac{9}{8}$

Bước 3

Chọn một vài giá trị $x$ và điền chúng vào phương trình để tìm các giá trị $y$ tương ứng. Các giá trị $x$ nên được chọn xung quanh đỉnh.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Thay $x$ giá trị $0$ vào $f (x) = - \frac{10 + \sqrt{2 (x + 1)}}{2}$ . Trong trường hợp này, điểm là $(0, - 5.70710678)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1.1

Thay thế biến $x$ bằng $0$ trong biểu thức.

$f (0) = - \frac{10 + \sqrt{2 ((0) + 1)}}{2}$

Bước 3.1.2

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1.2.1

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1.2.1.1

Cộng $0$ và $1$ .

$f (0) = - \frac{10 + \sqrt{2 \cdot 1}}{2}$

Bước 3.1.2.1.2

Nhân $2$ với $1$ .

$f (0) = - \frac{10 + \sqrt{2}}{2}$

Bước 3.1.2.2

Câu trả lời cuối cùng là $- \frac{10 + \sqrt{2}}{2}$ .

$y = - \frac{10 + \sqrt{2}}{2}$

Bước 3.1.3

Quy đổi $- \frac{10 + \sqrt{2}}{2}$ thành số thập phân.

$= - 5.70710678$

Bước 3.2

Thay $x$ giá trị $0$ vào $f (x) = - \frac{10 - \sqrt{2 (x + 1)}}{2}$ . Trong trường hợp này, điểm là $(0, - 4.29289321)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.1

Thay thế biến $x$ bằng $0$ trong biểu thức.

$f (0) = - \frac{10 - \sqrt{2 ((0) + 1)}}{2}$

Bước 3.2.2

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.2.1

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.2.1.1

Cộng $0$ và $1$ .

$f (0) = - \frac{10 - \sqrt{2 \cdot 1}}{2}$

Bước 3.2.2.1.2

Nhân $2$ với $1$ .

$f (0) = - \frac{10 - \sqrt{2}}{2}$

Bước 3.2.2.2

Câu trả lời cuối cùng là $- \frac{10 - \sqrt{2}}{2}$ .

$y = - \frac{10 - \sqrt{2}}{2}$

Bước 3.2.3

Quy đổi $- \frac{10 - \sqrt{2}}{2}$ thành số thập phân.

$= - 4.29289321$

Bước 3.3

Thay $x$ giá trị $1$ vào $f (x) = - \frac{10 + \sqrt{2 (x + 1)}}{2}$ . Trong trường hợp này, điểm là $(1, - 6)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.1

Thay thế biến $x$ bằng $1$ trong biểu thức.

$f (1) = - \frac{10 + \sqrt{2 ((1) + 1)}}{2}$

Bước 3.3.2

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.2.1

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.2.1.1

Cộng $1$ và $1$ .

$f (1) = - \frac{10 + \sqrt{2 \cdot 2}}{2}$

Bước 3.3.2.1.2

Nhân $2$ với $2$ .

$f (1) = - \frac{10 + \sqrt{4}}{2}$

Bước 3.3.2.1.3

Viết lại $4$ ở dạng $2^{2}$ .

$f (1) = - \frac{10 + \sqrt{2^{2}}}{2}$

Bước 3.3.2.1.4

Đưa các số hạng dưới dấu căn ra ngoài, giả sử đó là các số thực dương.

$f (1) = - \frac{10 + 2}{2}$

Bước 3.3.2.1.5

Cộng $10$ và $2$ .

$f (1) = - \frac{12}{2}$

Bước 3.3.2.2

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.2.2.1

Chia $12$ cho $2$ .

$f (1) = - 1 \cdot 6$

Bước 3.3.2.2.2

Nhân $- 1$ với $6$ .

$f (1) = - 6$

Bước 3.3.2.3

Câu trả lời cuối cùng là $- 6$ .

$y = - 6$

Bước 3.3.3

Quy đổi $- 6$ thành số thập phân.

$= - 6$

Bước 3.4

Thay $x$ giá trị $1$ vào $f (x) = - \frac{10 - \sqrt{2 (x + 1)}}{2}$ . Trong trường hợp này, điểm là $(1, - 4)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.1

Thay thế biến $x$ bằng $1$ trong biểu thức.

$f (1) = - \frac{10 - \sqrt{2 ((1) + 1)}}{2}$

Bước 3.4.2

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.2.1

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.2.1.1

Cộng $1$ và $1$ .

$f (1) = - \frac{10 - \sqrt{2 \cdot 2}}{2}$

Bước 3.4.2.1.2

Nhân $2$ với $2$ .

$f (1) = - \frac{10 - \sqrt{4}}{2}$

Bước 3.4.2.1.3

Viết lại $4$ ở dạng $2^{2}$ .

$f (1) = - \frac{10 - \sqrt{2^{2}}}{2}$

Bước 3.4.2.1.4

Đưa các số hạng dưới dấu căn ra ngoài, giả sử đó là các số thực dương.

$f (1) = - \frac{10 - 1 \cdot 2}{2}$

Bước 3.4.2.1.5

Nhân $- 1$ với $2$ .

$f (1) = - \frac{10 - 2}{2}$

Bước 3.4.2.1.6

Trừ $2$ khỏi $10$ .

$f (1) = - \frac{8}{2}$

Bước 3.4.2.2

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.2.2.1

Chia $8$ cho $2$ .

$f (1) = - 1 \cdot 4$

Bước 3.4.2.2.2

Nhân $- 1$ với $4$ .

$f (1) = - 4$

Bước 3.4.2.3

Câu trả lời cuối cùng là $- 4$ .

$y = - 4$

Bước 3.4.3

Quy đổi $- 4$ thành số thập phân.

$= - 4$

Bước 3.5

Vẽ đồ thị parabol bằng các thuộc tính của nó và các điểm đã chọn.

$\begin{array}{c} x & y \\ - 1 & - 5 \\ 0 & - 5.71 \\ 0 & - 4.29 \\ 1 & - 6 \\ 1 & - 4 \end{array}$

Bước 4

Vẽ đồ thị parabol bằng các thuộc tính của nó và các điểm đã chọn.

Hướng: Quay mặt lõm sang phải

Đỉnh: $(- 1, - 5)$

Tiêu điểm: $(- \frac{7}{8}, - 5)$

Trục đối xứng: $y = - 5$

Đường chuẩn: $x = - \frac{9}{8}$

$\begin{array}{c} x & y \\ - 1 & - 5 \\ 0 & - 5.71 \\ 0 & - 4.29 \\ 1 & - 6 \\ 1 & - 4 \end{array}$

Bước 5